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第 24 讲 不等式的证明问题
知识梳理
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造
辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
必考题型全归纳
题型一：直接法
例1．（2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线平行于直线 ，求切点P的坐标及此切
线方程；
(2)求证：当 时， ．（其中 ）
【解析】（1）由题意得， ，所以切线斜率 ，
所以 ，即 ，此时切线方程为 ；
（2）令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
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又 ， ，
所以 ，即 恒成立，
所以当 时， ．
例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： .
【解析】（1） , ，
,所以切点为 ，由点斜式可得， ，
所以切线方程为： .
（2）由题可得，
设 ，
，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
即 .
例3．已知函数 ， ．
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（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明： ， ．
【解析】解：（1） ，
因 ， ，
①当 时， ，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，在
内单调递增；
②当 时， ，函数 在 内单调递增；
③当 时， ，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，在
内单调递增；
综上：当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内
单调递增；
当 时，函数 在 内单调递增；
当 时，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，在 内单调递增；
（2）当 时，由（1）得，函数 在 内单调递增，在 内单调递减，在
内单调递增，
函数 在 内的最小值为 ，
欲 证 不 等 式 成 立 ， 即 证 ， 即 证
，
因 ，所以只需证 ，
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令 ，则 ，
所以，函数 在 ， 内单调递减， （1） ，
又因 ，即 ．所以 ，
即当 时， 成立，
综上，当 时， ， ．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)讨论 的单调性，并证明：当 时， ．
【解析】（1）证明：令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ．
令 ，则有 ，
所以 ，所以 ，即 ．
（2）由 可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
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所以 在 上单调递增， ．
令 ，则有 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
所以对于 ，有 ，
所以 ，所以 ，
即 ，
整理得： ．
例5．已知曲线 与曲线 在公共点 处的切线相同，
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求证：当 时， ．
【解析】（Ⅰ）解： ， ，
依题意 （1） （1）， ；
（Ⅱ）证明：由 ，得 ，
令 ，则 ，
时， ， 递减；
时， ， 递增．
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时， （1） ，即 ，
综上所述， 时， ．
例6．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若直线 是函数 图象的切线，求证：当 时， ．
【解析】（1）解： ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上可得，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）证明：直线 是函数 图象的切线，设切点为 ， ，
则 ，即 ，
切点在切线上， ，
，
，解得 ，
当 时， 等价于 ，
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等价于 ，
设 ，
则 ，
， ，由 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
（1） ，即 ，
．
变式1．已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）数列 满足： ， ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： ， ．
【解析】证明：（1）由题意知， ， ，
①当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，
②当 时，令 ，因为 ，
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所以 在区间 上单调递增，因此 ，
故当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，
因此当 时， ，
所以 ；
（2）（ⅰ）由（1）知， 在区间 上单调递增， ，
因为 ，
故 ，
所以 ，
因此当 时， ，又因为 ，
所以 ，
（ⅱ）函数 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增；
因此 ，
所以 在区间 上单调递减，所以 ，
因此 ，
所以对 ， ．
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变式2．讨论函数 的单调性，并证明当 时， ．
【解析】解： ， ，
当 时， 或 ，
在 和 上单调递增，
证明： 时，
．
题型三：分析法
例7．已知函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求 ；
（2）设函数 ．证明： ．
【解析】（1）解：由题意， 的定义域为 ，
令 ，则 ， ，
则 ，
因为 是函数 的极值点，则有 ，即 ，所以 ，
当 时， ，且 ，
因为 ，
则 在 上单调递减，
所以当 时， ，
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当 时， ，
所以 时， 是函数 的一个极大值点．
综上所述， ；
（2）证明：由（1）可知， ，
要证 ，即需证明 ，
因为当 时， ，
当 时， ，
所以需证明 ，即 ，
令 ，
则 ，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 为 的极小值点，
所以 ，即 ，
故 ，
所以 ．
例8．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求 在 处的切线;
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(2)若 ，证明当 时， .
【解析】（1）因为 ，所以 ， 切线斜率为
因为 ，所以切点为
切线方程为 即
（2）法一：令 ，所以 ，
所以 在 单调递增， ，
所以 ，所以 ，
所以要证 只需证明
变形得
因为
所以只需证明 ，即
两边同取对数得：
令 ，
则
显然 在 递增，
所以存在 当 时 递减，
当 时 递增;
因为
所以 在 上恒成立，所以原命题成立
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法二：设 则 ，
要证：
需证：
即证：
因为 ，需证 ，即证：
① 时 必然成立
② 时，因为 所以只需证明 ，
令 ， ，
令 ，
∴ 在上 为增函数
因为
，所以
所以存在 ，使得
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数
∴
综上可知，不等式成立
例9．已知 ，函数 ，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 为函数 在 上的零点，证明：
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（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【解析】证明：（Ⅰ） ， 恒成立，
在 上单调递增，
， （2） ，又 ，
函数 在 上有唯一零点．
（Ⅱ） ， ，
， ，
令 ， ， ，
一方面， ， ，
， 在 单调递增，
，
， ，
另一方面， ， ，
当 时， 成立，
只需证明当 时， ，
， ， ，
当 时， ，当 时， ，
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， （1） ， ， （1） ，
， 在 单调递减，
， ，
综上， ，
．
要证明 ，只需证 ，
由 得只需证 ，
， 只需证 ，
只需证 ，即证 ，
， ，
，
．
变式3．已知函数 在 上有零点 ，其中 是自然对
数的底数．
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）记 是函数 的导函数，证明： ．
【解析】（Ⅰ）解：函数 ，则 ，
①当 时， 恒成立，
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则 在 上单调递增，
所以 ，故函数无零点，不符合题意；
②当 时，由 ，得 ，
若 ，即 ，此时 在 上单调递增，不符合题意；
若 ，即 ，则 在 上单调递减， 在 上单调递增，
又 ，故 ，使得 ，
而当 时， 时，
故 ，使得 ，
根据零点存在定理， ， ，使得 ，符合题意；
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（Ⅱ）证明： ，
所以 ，即 ，
由（Ⅰ）知 且 在 上单调递减，在 上单调递增，
故只要证明： ，
即 ， ，
设 ，
则 ，
故 在 上单调递增，即 （1） ，
所以 成立；
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综上所述， 成立．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2024·北京·高三专题练习）已知函数 ，当 ， 时，
证明：任意的 ，都有 恒成立.
【解析】由题设有 ，设 ， ，
要证 即证 .
下面证明：当 时， .
此时 ， ，
当 时， ，
故 在 上为减函数， 在 上为增函数，
当 时， ，
故 在 上为增函数， 在 上为减函数，
故在 上，有 ， ，
故当 时， .
当 ， ， ，
当 时，要证 即证 即证 ，
设 ，其中 ，故 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
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故在 上， ，
故 ，所以当 时， 成立.
综上，任意的 ，都有 恒成立.
例11．（2024·河南开封·校考模拟预测）设函数 ， ．
(1)若函数 在 上存在最大值，求实数 的取值范围；
(2)当 时，求证： ．
【解析】（1）（1）由 得： （ ），
①当 时， ，所以 在 上单调递增，在 不存在最大值，
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
所以 在 时，取得最大值 ，
又由函数 在 上存在最大值，
因此 ，解得： ，
所以 的取值范围为 .
（2）证明：当 时， ，且函数 的定义域为 ，
要证明 ，即证明 时， ，
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只需要证明： 时， ，
因为 ，所以不等式等价于
设 （ ），则 ，
令 得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，且当 时，等号成立；
又设 （ ），则 ，
令 得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，且当 时，等号成立；
综上可得： 时， ，且等号不同时成立，
所以 时， ，
即当 时， 得证.
例12．已知函数 ．
（Ⅰ）若 是 的极小值点，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ， 为 的导函数，证明：当 时， ．
【解析】解：（Ⅰ） 的定义域是 ，
则 ，
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若 ，则当 时， ，当 ， 时， ，
故 是函数 的极小值点，符合条件，
若 ，令 ，解得： 或 ，
若 ，则当 和 ， 时 ，
当 时， ，
故 是 的极小值点，符合条件，
若 ，则 恒成立， 没有极值点，不符合条件，
若 ，则当 和 时 ，
当 ， 时 ，故 是 的极大值点，不符合条件，
故 的取值范围是 ， ；
（Ⅱ）当 时， ， ，
则 ， ， ，
设 ， ， ， ，
由 ，可得 （1） ，当且仅当 时“ ”成立，
，
设 ，则 在 ， 上递减，
（1） ， （2） ，
故存在 ， ，使得当 时， ，当 ， 时， ，
故 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
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由于 （1） ， （2） ，故 （2） ，当且仅当 时“ ”成立，
故当 时， （1） （2） ．
变式4．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证： ．
【解析】解
当 时， 恒成立，故函数 在 上单调递增
当 时，由 可得 或
由 可得
综上可得， 时， 恒成立，故函数 在 上单调递增
当 时，函数 的单调递增区间为 ， ， ，单调递减区间
证明：原不等式可化为
容易得 ，上式两边同乘以 可得
设 ，
则由 可得 （舍 或
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时， ， 时，
当 时，函数 取得最小值
当且仅当 即 时取等号
令 ，可得 在 上单调递增，且 （1）
当 时， 有最小值
由于上面两个等号不能同时取得，故有 ，则原不等式成立
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 在 ， 上最大值及最小值；
（Ⅱ）当 时，求证 ．
【解析】解：（Ⅰ） ， ；
时， ； ， 时， ；
（1） 是函数 的极小值，即 的最小值；又 ， （2）
；
的最大值是 ；
函数 在 上的最小值是0，最大值是 ；
（Ⅱ） ， 要证明原不等式成立，只要证明 ；
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设 ，则 ；
函数 在 上是增函数， （1） ；
；
原不等式成立．
例14．已知函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为
．
（1）求 、 的值；
（2）当 且 时．求证： ．
【解析】解：（1）函数 的导数为 ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
可得 （1） ， （1） ，
解得 ；
（2）证明：当 时， ，
即为 ，
即 ，
当 时， ，
即为 ，
设 ， ，
可得 在 递增，
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当 时， （1） ，即有 ；
当 时， （1） ，即有 ．
综上可得，当 且 时， 都成立．
例 15．已知二次函数 对任意实数 都满足 ，且
（1） ，令 ．
（1）求 的表达式；
（2）设 ， ．证明：对任意 ， ， ，恒有
．
【 解 析 】 （ 1 ） 解 ： 设 ， 于 是
，
所以 ， ，
又 （1） ，则 ．
所以 ． （5分）
（2）证明：因为对 ， ， ，
所以 在 ， 内单调递减．
于是 （1）
证明 ，即证明 ，
记 ，
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则 ，
所以函数 在 ， 是单调增函数，
所以 （e） ，故命题成立． （12分）
变式5．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 图象过点 ，求证： ．
【解析】解：（1）函数 的定义域为 ，又 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，
若 ，则 在 上单调递增；
若 ，则 在 上单调递减；
（2）证明：函数 图象过点 ，可得 ，此时 ，
要 证 ， 令 ， 则
，
令 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
由 ，即 ，故存在 使得 ，此时 ，故 ，
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当 时， ，当 ， 时， ，
函数 在 上单减，在 ， 上单增，
故当 时， 有最小值 ，
成立，即得证．
变式6．已知函数 ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 图象过点 ，求证： ．
【解析】解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ．
若 ， ， 单调递增；
若 ， ， 单调递减
综合上述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数 图象过点 ，
，解得 ．
．即 ． ．
令 ． ． ．
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令 ， ，
函数 在 上单调递增，
存在 ，使得 ，可得 ， ．
．
成立．
题型六：放缩法
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【解析】（1） ，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
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（2）显然 ，要证： ，
即证： ，即证： ，
即证： ．
令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．
故 ，即 ．
例17．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （ ，
为自然对数的底数）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： .
【解析】（1） ，
（ⅰ）当 时， ，所以 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）当 时，令 ，得 ，
① 时， ，
所以 或 ， ，
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则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
② 时， ，则 在 上单调递增；
③ 时， ，所以 或 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调
递增；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）方法一： 等价于 ，
当 时， ，
则当 时， ，则 ，
令 ，
令 ，
因为函数 在区间 上都是增函数，
所以函数 在区间 上单调递增 ，
∵ ，∴存在 ，使得 ，
即 ，
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当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，故 .
方法二：当 时， ，
令 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在区间 上单调递减， 上单调递增，
∴ ，即 ，
∴ .
例18．已知函数 ．（其中常数 ，是自然对数的底数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：对任意的 ，当 时， ．
【解析】（1）解：由 ，得 ．
①当 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
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综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
（2）证明： ．
令 ，则 ．
当 时， ．
令 ，则当 时， ．
当 时， 单调递增， ．
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
（1） ．
即 ，故 ．
变式7．已知函数 ，
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求证：当 时， ．
【解析】解：（1） ，
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增
当 ，即 时，
由 解得 ，由 解得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
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综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）令
当 时，欲证，即证 ．即证 ，即 ，
即证
先证： ．
设 则设 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增
， ，则 ，
即 ，当且仅当 ， 时取等号．
再证： ．
设 ，则 ．
在 上单调递增，则 ，即 ．
，所以 ．．当且仅当 时取等号．
又 与 ．两个不等式的等号不能同时取到，
成立，
即当 时， 成立．
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变式8．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）解关于 的不等式
【解析】解：（1）函数 ．定义域为： ．
， （1） ．
令 ， ，
函数 在定义域上单调递增．
， ． ，函数 单调递减． 时， ，函数 单
调递增．
（2）不等式 ，即 ．
， ，舍去．
当 时，不等式的左边 右边，舍去．
，且 ．
① 时，由 ，要证不等式 ．可以证明： ．
等价于证明： ．
令 ．
，
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函数 在 上单调递减，
（1） ．
②当 时，不等式 ．
令 ， ．
，函数 在 上单调递增，
（1） ．
由 ，
．
不等式 成立．
综上可得：不等式 的解集为： ．
题型七：虚设零点
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
【解析】（1）由题可知函数 的定义域为 ，
，
即 ，
(i)若 ，
则 在定义域 上恒成立，
此时函数 在 上单调递增；
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(ii) 若 ，
令 ，即 ，解得 ,
令 ，即 ，解得 ,
所以 在 上单调递减， 上单调递增.
综上， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减， 上单调递增.
（2）当 时， ，
要证明 ，只用证明 ，
令 ， ，
令 ，即 ，可得方程有唯一解设为 ，且 ，
所以 ，
当 变化时， 与 的变化情况如下，
单调递
单调递增
减
所以 ，
因为 ，因为 ，所以不取等号，
即 ，即 恒成立，
所以， 恒成立，
得证.
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例20．（2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在区间 上有极小值，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【解析】（1）函数 ，定义域为 ，
， 在 上单调递增，
若 在区间 上有极小值，则有 ，解得 .
故实数 的取值范围为 .
（2） ，即 ，由 ，可化简得
，
要证 ，即证 .
设 ， ，
由 ，则有 ，得 ，即 ，
函数 在 上单调递减，
时 ， 时 ，
则 ， ，此时 ，
则 时 ， 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
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，
函数 在 上单调递减， ，
故 ，即 .
设 ，
， 解得 ， 解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 ，得 ，则有 ，即
故 ，即有 .
所以 ，即 .
例21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 处取
得极小值 ．
(1)求实数 的值；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1） ，由题意知 ，则 ，
即 ，
由 ，知 ，即 ．
（2）由（1）得 ，设 ，
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则 ．
设 ，则 在 上单调递增，
且 ，所以存在唯一 ，使得
，即 ．
当 时， 单调递减；当 时， 单
调递增．
．
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，所以 ，所以 ，
故当 时， ．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．当 时，证
明： ．
【解析】记 ．
．
令 ，
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则 ，所以 即 在 上单调递增．
由 ，知 ．
．即 ，
当 单调递减；当 单调递增．
故 在 处取得极小值，也是最小值，
，
由（*）式，可得 ．
代入 式，得 ．
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，
故 ，即 ，
故 ． ．
由 ．
故 ，即 ，原不等式得证．
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变式10．（2024·山东淄博·统考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时， .
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
令函数 ， .
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，
故 的单调递增区间是 和 .
（2）当 时， ，即当 时， .
令 ， ，
令 ， ，
令 ， .
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ， ，
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所以存在 ，使得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
，故当 时， ；当 时， ，
即当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
于是 ，所以 .
令函数 ， .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
则 .
因为 ，所以 ，故 ，
得 .
综上所述：当 时， .
题型八：同构法
例22．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
【解析】解：（1） 的定义域为 ，
，
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①当 时， ，此时 在 上单调递减，
②当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
③当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
证明（2）设 ，则 ，
由（1）可得 在 上单调递增，
（1） ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，
，
．
例23．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
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（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
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所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
下面证 ，即证2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，即当 时， ．
法二： ，即 ，
令 ，则原不等式等价于 ，
，令 ，则 ， 递减，
故 ， ， 递减，
又 ，故 ，原结论成立．
例24．已知函数 ．
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（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
【解析】（1）解： ，
得 ， 得 ，
在 上递减，在 上递增．
（2）解： 函数 在 处取得极值，
，
，
令 ，则 ，
由 得， ，由 得， ，
在 ， 上递减，在 ， 上递增，
，即 ．
（3）证明： ，即证 ，
令 ，
则只要证明 在 上单调递增，
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又 ，
显然函数 在 上单调递增．
，即 ，
在 上单调递增，即 ，
当 时，有 ．
变式11．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求
实数 的取值范围；
（3）当 时，证明不等式 ．
【解析】解：（1） ．
当 时， ，从而 ，函数 在 单调递减；
当 时，若 ，则 ，从而 ，
若 ，则 ，从而 ，
函数在 单调递减，在 单调递增． （4分）
（2）根据（1）函数的极值点是 ，若 ，则 ，
，即 ，
，即 ，
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令 ，则 ，
得： 是函数 在 内的唯一极小值点，也是最小值点，
故 ，
故 ；
（3）由 即 ，
构造函数 ，则 ， ， ，
即 在 递增，
，
，
．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2024·全国·高三专题练习）证明不等式： ．
【解析】设 ，则 ，
，
代入 的二阶泰勒公式，有 ，
．
所以原题得证．
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例26．（2024·全国·高三专题练习）证明：
【解析】证明：设 ，则 在 处带有拉格朗日余项．
三阶泰勒公式
例27．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列 满足
，且 .（函数 求导 次可用 表示）
(1)求 的通项公式.
(2)求证：对任意的 ， ，都有 .
【解析】（1）由 ，得
，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
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（2）证明：当 时， 恒成立，
令 ，
即 ，
则
，
……
，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上递增，
……
所以 在 上递增，
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所以 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
综上对任意的 ， ，都有 .
变式12．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数a的值；
(2)已知 且 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以函数 定义域为 ，
.
因为 ，且 ，所以 是函数 的极小值点，则 ，所以
，得 .
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，满足条件，故 .
（2）由（1）可得， .令 ，则 ，所以 ，即
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， ，
所以 .证毕.
变式13．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时 ．若正实数 ， 满足 ， ， ，
，证明： ．
【解析】解：（1） ， ，△ ，
① 时， 恒成立，
故函数 在 递增，无递减区间，
② 时， 或 ，
故函数 在 ， ， 递增，在 ， 递
减，
综上， 时，函数 在 递增，无递减区间，
时，函数 在 ， ， 递增，在 ，
递减，
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（2） ，对 ， 恒成立，
即 ， 时， 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，
则 ， 在 递减且 （1） ，
时， ， ， 递增，
当 ， ， ， 递减，
（1） ，
综上， 的范围是 ， ．
（3）证明：当 时， ，
，不妨设 ，
下先证：存在 ， ，使得 ，
构造函数 ，
显然 ，且 ，
则由导数的几何意义可知，存在 ， ，使得 ，
即存在 ， ，使得 ，
又 为增函数，
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，即 ，
设 ，则 ， ，
①，
②，
由① ② 得， ，
即 ．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常
把导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 ．类似地，二阶导数的导数叫做
三阶导数，记作 ，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫
做 阶导数，记作 ．②若 ，定义
．③若函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶
的导数，那么对于任一 有
，我
们将 称为函数 在点 处的 阶泰勒展开式．例如， 在点 处的 阶
泰勒展开式为 ．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
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（1）求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点
处的 阶泰勒展开式 ；
（2）比较（1）中 与 的大小．
（3）已知 不小于其在点 处的 阶泰勒展开式，证明： ．
【解析】（1） ， ， ，
， ， ，
，即 ；
同理可得： ；
（2）由（1）知： ， ，
令 ，则 ，
， ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增；
， ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
综上所述：当 时， ；当 时， ；当 时，
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．
（3）令 ，则 ，
， 在 上单调递增，又 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
在点 处的 阶泰勒展开式为： ，
，
①由（2）知：当 时， ，
当 时， ；
②由（2）知：当 时， ，
，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即当 时， ，
， ；
综上所述： ．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论函数 的导函数的单调性；
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（2）若 ，求证：对 ， 恒成立．
【解析】（1）由已知可得， ，设 ，
则 ．
当 时，有 恒成立，所以 ，即 在R上单调递增；
当 时，由 可得， ．
由 可得， ，所以 ，即 在 上单调递减；
由 可得， ，所以 ，即 在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调
递减，在 上单调递增．
（2）因为 ，所以对 ，有 ．
设 ，则
．
解 可得， 或 或 ．
由 可得， ，所以，函数 在 上单调递增；
由 可得， 或 ，所以，函数 在 上单调递减，在
上单调递减．
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所以， 在 处取得极大值，在 处取得极小值．
又 ，所以 ，即 ．
所以，有 ，
整理可得， ，
所以，有 ， 恒成立．
例29．（2024·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
【解析】（1） ， ，
①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增．
②当 ，即 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减．
③当 ，即 时，
若 ，则 ， 在区间 单调递增．
若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增．
综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减；
时， 在区间 单调递增
时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增．
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（2）证明：要证 ，即证 ，
即证 ．
令 ， ，则 ，
所以 在区间 单调递增，所以 时， ，
即 时， ．
令 ， ，则 在 时恒成立，
所以 ，且 时， 单调递增，
因为 时， ， ，且 ，
所以 ，且 时， ，即 ．
所以 ，且 时， ．
例 30 ． 若 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ，
， ．
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 ．当 且 时，
试比较 和 哪个更接近 ，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得 （1） ，
所以 （1） （1） ，即 ．
又 （1） ，
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所以 ．
（Ⅱ） ，
，
① 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得 ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（Ⅲ）解：设 ， ，
，
在 ， 上为减函数，又 （e） ，
当 时， ；当 时， ．
， ，
在 ， 上为增函数，又 （1） ，
， 时， ，
在 ， 上为增函数，
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（1） ．
①当 时， ，
设 ，
则 ，
在 ， 上为减函数，
（1） ，
当 ，
，
，
比 更接近 ．
②当 时， ，
设 ，则 ， ，
在 时为减函数，
（e） ，
在 时为减函数，
（e） ，
，
比 更接近 ．
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综上：在 且 时时， 比 更接近 ．
变式15．已知函数 ，其中 ， 为自然对
数的底数．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：对任意的 ， ， ．
【解析】解：（1）当 时， ，
则 ，
，
故
则 在 上单调递减．
（2）当 时， ，
要证明对任意的 ， ， ．
则只需要证明对任意的 ， ， ．
设 （a） ，
看作以 为变量的一次函数，
要使 ，
则 ，即 ，
恒成立， ①恒成立，
对于②，令 ，
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则 ，
设 时， ，即 ．
， ，
在 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减，
则当 时，函数 取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的 ， ， ．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线 在原点处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个正实数根 ， ，求证： ．
【解答】解：（1） ， ， ，
故曲线 在原点处的切线方程为 ．
（2）①当 时， ；
②当 时，问题等价于 恒成立．
设 ，则 ，
在 上单调递增，且 （1）
在 递减，在 递增．
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在 的最小值为 （1） ；
③当 时，问题等价于 恒成立．
设 ，则 ，
在 上单调递减，且 时， ．
，
综上所述： ．
（3）依（2）得 时， ，
曲线 在原点处的切线方程为
设 ，
， ，
令 ，解得 ，或 ．
在 ， 递增，在 递减．
， 时， ， 递增，而 ，
当 时， ，
设 ，分别与 ， 交点的横坐标为 ， ，
， ．
则 ， ，（证毕）
例 32．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
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．
（1）求 ， 的值；
（2）证明： ；
（3）若函数 有两个零点 ， ，证明 ．
【解答】（1）解：函数 的定义域为 ，
，
（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为 即 ，
， ；
（2）证明：令 ，
则 ，
令 ，则 ，
单调递增，又 （1） ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
（1） ，
，
，
（3）证明： 的两个零点 ， ，即为 的两根，不妨设
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，
由题知，曲线 在 处的切线方程为 ，
令 ，即 即 的根为 ，则 ，
由（2）知，
，
单调递增，
，
设曲线 在 处的切线方程为 ，
，
，
设方程 即 的根为 ，则 ，
令 ，
由（2）同理可得 ，即 ，
，
又 单调递减，
，
．
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例33．设函数 ．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（ 2 ） 若 关 于 的 方 程 有 两 个 实 根 ， 设 为 ， ， 证 明 ：
．
【解答】解：（1） ，则 ，又 ，
切线方程为 ，即 ；
（2）证明：先证明 ，
令 ，则 ，
易知函数 在 上递减，在 ， 上递增，
则 ，即 ，
再证明 ，令 ，则 ，
易知函数 在 上递减，在 上递增，
则 （1） ，即 ，
如图，设直线 与直线 ， 相交点的横坐标分别为 ， ，
由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
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由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，
，即得证．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)已知 且 ，求证： .
【解析】（1）由 ，得 .
令 ，则 .
注意到 ，所以 是函数 的极小值点，则 ，
所以 ，得 .
当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，满足条件，故 .
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（2）由（1）可得， .
令 ，则 ，
所以 ，即 .
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以函数 在 上单调递增，
故 ，则 ，
所以 ，
令 分别取 ，累加得：
.
即证.
例35．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.
【解析】（1）函数 ，求导得 ，
由于函数 在R上单调递增，则 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，不满足条件；
当 时， ， 在R上单调递增，
又 ，即 ，不满足条件；
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当 时，令 ，得 ，
则当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
于是当 时， 取得最小值 ，
于是 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
则 ，由于 恒成立，因此 ，则有 ，
所以 单调递增时， 的值为1.
（2）由（1）知，当 时， ，即有 ，当且仅当 时取等号，即当
时， ，
因此当 且 时，
，
而当 时， ，
所以 ，
则 ，所以， .
例36．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数 .
(1) 是 的导函数，求 的最小值；
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(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自
然对数的底数）
【解析】（1）由题意， ，
，
，
令 ，解得 ，
又 时， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
，即 的最小值为0.
（2）证明：由（1）得， ，
可知 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则 .
，
即 ，
也即 ，
所以 ，
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故对任意正整数 ，都有 .
变式16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求 的极值；
(2)对任意的 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，
则 ，
当 时， ， 时，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值 ，无极大值.
（2）由（1）知 在 上单调递增，
故 时，
即： ，令 得，
化简得： ，
于是有： ， ， ，
累加得：
即
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变式17．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1） ，可得 .
令 ，其中 ，则 .
①当 时， ，合乎题意；
②当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成
立，
所以， ，
所以， 不恒成立，不合乎题意；
③当 时， ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以，
，可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（2）当 时， ，所以 .
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由（1）知： ，即 ，所以 .
令 ，得 ，即 ，所以 .
当 时， ，则 ，显然 ，结论成立；
当 时，
，
结论成立.因此，当 时， 成立.
题型十三：三角函数
例37．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．当 ，
时，求证： ．
【解析】证明：要证 ，即证 ，只需证 ，
因为 ，也就是要证 ，令 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，
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所以 ，所以 得证．
例38．（2024·河北·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
当 时，可得 ，解得 ，即函数的定义域为 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值 ；
当 时，可得 ，解得 ，即函数的定义域为 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值 ，
综上可得，函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）证明：因为 ，所以 ，解得 ，即函数的定义域为 ，
令 ，可得 ，所以 在 单调递增，
所以 ，即 ，
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要证不等式 ，
只需证明 ，
又由函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以，当 时， ，
只需证明： ，即 ，
即 ，即 ，
令 ，可得 ，
设 ，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以 .
例39．已知函数 在 ， （1） 处的切线为 ．
（1）求 的单调区间与最小值；
（2）求证： ．
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【解析】解：（1） ，
故 （1） ，得 ，又 （1） ，
所以 ，得 ．
则 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
（2）证明：令 ， ， ， 递增，
所以 ，所以当 时， ，
令 ， ， ， 递增，
，所以当 时， ，
要证 ，由 ， ，及 ，
得， ，故原不等式成立，
只需证 ，
即证 ．由（1）可得 ，且 ，
所以 ，则原不等式成立
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