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第 24 讲 不等式的证明问题
知识梳理
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造
辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
必考题型全归纳
题型一：直接法
例1．（2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线平行于直线 ，求切点P的坐标及此切
线方程；
(2)求证：当 时， ．（其中 ）
例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： .
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例3．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明： ， ．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)讨论 的单调性，并证明：当 时， ．
例5．已知曲线 与曲线 在公共点 处的切线相同，
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）求证：当 时， ．
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例6．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若直线 是函数 图象的切线，求证：当 时， ．
变式1．已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）数列 满足： ， ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： ， ．
变式2．讨论函数 的单调性，并证明当 时， ．
题型三：分析法
例7．已知函数 ，已知 是函数 的极值点．
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（1）求 ；
（2）设函数 ．证明： ．
例8．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求 在 处的切线;
(2)若 ，证明当 时， .
例9．已知 ，函数 ，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 为函数 在 上的零点，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
变式3．已知函数 在 上有零点 ，其中 是自然对
数的底数．
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（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）记 是函数 的导函数，证明： ．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2024·北京·高三专题练习）已知函数 ，当 ， 时，
证明：任意的 ，都有 恒成立.
例11．（2024·河南开封·校考模拟预测）设函数 ， ．
(1)若函数 在 上存在最大值，求实数 的取值范围；
(2)当 时，求证： ．
例12．已知函数 ．
（Ⅰ）若 是 的极小值点，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ， 为 的导函数，证明：当 时， ．
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变式4．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证： ．
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求 在 ， 上最大值及最小值；
（Ⅱ）当 时，求证 ．
例14．已知函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为
．
（1）求 、 的值；
（2）当 且 时．求证： ．
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例 15．已知二次函数 对任意实数 都满足 ，且
（1） ，令 ．
（1）求 的表达式；
（2）设 ， ．证明：对任意 ， ， ，恒有
．
变式5．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 图象过点 ，求证： ．
变式6．已知函数 ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若函数 图象过点 ，求证： ．
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题型六：放缩法
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
例17．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （ ，
为自然对数的底数）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： .
例18．已知函数 ．（其中常数 ，是自然对数的底数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：对任意的 ，当 时， ．
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变式7．已知函数 ，
（1）讨论函数 的单调性；
（2）求证：当 时， ．
变式8．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）解关于 的不等式
题型七：虚设零点
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：对任意的 ， ．
例20．（2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数 .
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(1)若 在区间 上有极小值，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
例21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 处取
得极小值 ．
(1)求实数 的值；
(2)当 时，证明： ．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．当 时，证
明： ．
变式10．（2024·山东淄博·统考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
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(2)证明：当 时， .
题型八：同构法
例22．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
例23．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
例24．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
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（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
变式11．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求
实数 的取值范围；
（3）当 时，证明不等式 ．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2024·全国·高三专题练习）证明不等式： ．
例26．（2024·全国·高三专题练习）证明：
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例27．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列 满足
，且 .（函数 求导 次可用 表示）
(1)求 的通项公式.
(2)求证：对任意的 ， ，都有 .
变式12．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数a的值；
(2)已知 且 ，求证： .
变式13．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
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（3）当 时 ．若正实数 ， 满足 ， ， ，
，证明： ．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常
把导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 ．类似地，二阶导数的导数叫做
三阶导数，记作 ，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫
做 阶导数，记作 ．②若 ，定义
．③若函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶
的导数，那么对于任一 有
，我
们将 称为函数 在点 处的 阶泰勒展开式．例如， 在点 处的 阶
泰勒展开式为 ．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点
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处的 阶泰勒展开式 ；
（2）比较（1）中 与 的大小．
（3）已知 不小于其在点 处的 阶泰勒展开式，证明： ．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论函数 的导函数的单调性；
（2）若 ，求证：对 ， 恒成立．
例29．（2024·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
例 30 ． 若 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ，
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， ．
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 ．当 且 时，
试比较 和 哪个更接近 ，并说明理由．
变式15．已知函数 ，其中 ， 为自然对
数的底数．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：对任意的 ， ， ．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线 在原点处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个正实数根 ， ，求证： ．
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例 32．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
（1）求 ， 的值；
（2）证明： ；
（3）若函数 有两个零点 ， ，证明 ．
例33．设函数 ．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（ 2 ） 若 关 于 的 方 程 有 两 个 实 根 ， 设 为 ， ， 证 明 ：
．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)已知 且 ，求证： .
例35．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
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(2)证明： （ 且 ）.
例36．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数 .
(1) 是 的导函数，求 的最小值；
(2)证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自
然对数的底数）
变式16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求 的极值；
(2)对任意的 ，求证： .
变式17．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
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(2)当 时，证明： .
题型十三：三角函数
例37．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．当 ，
时，求证： ．
例38．（2024·河北·统考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，证明： .
例39．已知函数 在 ， （1） 处的切线为 ．
（1）求 的单调区间与最小值；
（2）求证：
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