第24讲：不等式的证明问题_2027年高考数学一轮复习讲义_2027年高考一轮复习讲义-原卷版

第24讲 不等式的证明问题
知识梳理
利用导数证明不等式问题，方法如下：
(1)直接构造函数法：证明不等式fx  >gx  (或fx  <gx  )转化为证明fx  -gx  >0
(或fx  -gx  <0)，进而构造辅助函数hx  =fx  -gx  ；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
(4)对数单身狗，指数找基友
(5)凹凸反转，转化为最值问题
(6)同构变形
必考题型全归纳
1 题型一：直接法
915 (2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测)已知函数fx  =2lnx+1  ．
(1)若函数fx  在点P x 0 ,fx 0    处的切线平行于直线y=2x-2，求切点P的坐标及此
切线方程；
(2)求证：当x∈0,e-1  时，fx  ≥x2-2x．(其中e=2.71828⋯)
lnx 1
916 (2024·北京·高二北京二十中校考期中)已知函数f(x)= - .
x x
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求证：f(x)≤2x-3.
a
917 已知函数f(x)=(a-1)lnx+x+ ，a<0．
x
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a<-1时，证明：∀x∈(1,+∞)，f(x)>-a-a2．
2 题型二：构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
918 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数fx 
1
=1+
x

x
(x>0)．
(1)证明：fx  <e；
(2)讨论fx  的单调性，并证明：当n∈N*时，2n+1  lnn+1  <nlnn+
n+1  lnn+2  ．
x2-1
919 已知曲线f(x)= 与曲线g(x)=alnx在公共点(1,0)处的切线相同，
2
(Ⅰ)求实数a的值；
x2-1
(Ⅱ)求证：当x>0时， ≥x-1≥lnx．
2
920 已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R)，g(x)=xlnx．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若直线y=x-1是函数y=f(x)图象的切线，求证：当x>0时，f(x)≥g(x)．
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182 1043x2
921 已知函数f(x)=sinx+ -ln(1+x)．
2
(1)证明：f(x)≥0；
1
(2)数列{a }满足：0<a < ，a =f(a )(n∈N*)．
n 1 2 n+1 n
1
(ⅰ)证明：0<a < (n∈N*)；
n 2
(ⅱ)证明：∀n∈N*，a <a ．
n+1 n
x-2
922 讨论函数f(x)= ex的单调性，并证明当x>0时，(x-2)ex+x+2>0．
x+2
3 题型三：分析法
923 已知函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．
(1)求a；
x+f(x)
(2)设函数g(x)= ．证明：g(x)<1．
xf(x)
924 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知函数f(x)=ea-x
(1)求y=f(x)在x=a处的切线;
a
(2)若0<a<2，证明当x>0时，f(x)< +2.
x
925 已知1<a≤2，函数f(x)=ex-x-a，其中e=2.71828⋯为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点，证明：
0
(ⅰ) a-1≤x ≤ 2(a-1)；
0
(ⅱ)x f(ex0)≥(e-1)(a-1)a．
0
926 已知函数f(x)=ex-ax-1在(0,+∞)上有零点x ，其中e=2.71828⋅⋅⋅是自然对数的
0
底数．
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)记g(x)是函数y=f(x)的导函数，证明：g(x )<a(a-1)．
0
4 题型四：凹凸反转、拆分函数
927 (2024·北京·高三专题练习)已知函数fx  =x3+ax2+bx+a2，当a=0，b=-3时，证明：
任意的x∈R，都有fx 
x 1
+2≥ - 恒成立.
ex e
928 (2024·河南开封·校考模拟预测)设函数fx  =x2-2x  ex，gx  =e2lnx-aex．
(1)若函数gx  在e,+∞  上存在最大值，求实数a的取值范围；
(2)当a=2时，求证：fx  >gx  ．
1
929 已知函数f(x)=alnx+
x2

x2+2
+ (a∈R)．
x
(Ⅰ)若x= 2是f(x)的极小值点，求a的取值范围；
3
(Ⅱ)若a=-1，f′(x)为f(x)的导函数，证明：当1≤x≤2时，f(x)-f(x)> ．
2
930 已知函数f(x)=x3-ax．(a∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
x 3
(Ⅱ)求证： ⋅e-x+xlnx> -ex-2．
f(x)+ax 2ex
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183 10435 题型五：对数单身狗，指数找朋友
1-x
931 已知函数f(x)= +lnx．
ax
1
(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在  ，2
 2
 上最大值及最小值；
(Ⅱ)当1<x<2时，求证(x+1)lnx>2(x-1)．
b(x+1)
932 已知函数f(x)=alnx+ ，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2．
x
(1)求a、b的值；
(x+1)lnx
(2)当x>0且x≠1时．求证：f(x)> ．
x-1
933 已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1，且g(1)=-1，
1
令f(x)=gx+
2

9
+mlnx+ (m∈R,x>0)．
8
(1)求g(x)的表达式；
(2)设1<m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x．证明：对任意x ，x ∈[1，m]，恒有|H(x)-H
1 2 1
(x )|<1．
2
934 已知函数f(x)=lnx+ax-l(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
e-x
(2)若函数f(x)图象过点(1,0)，求证： +lnx+x-1≥0．
x
935 已知函数f(x)=lnx+ax-1(a∈R)．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若函数f(x)图象过点(1,0)，求证：e-x+xf(x)≥0．
6 题型六：放缩法
936 (2024·全国·高三专题练习)已知fx 
2
=ex+1- ，gx
x

a+x+lnx
= ，a∈R．
x
(1)当x∈1,+∞  时，求函数gx  的极值；
(2)当a=0时，求证：fx  ≥gx  ．
937 (2024·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数fx  =axex-x+1  2(a∈R，e为自然
对数的底数)．
(1)讨论函数fx  的单调性；
1
(2)当a≥ 时，求证：fx
e2
 ≥lnx-x2-x-2.
938 已知函数f(x)=aex+2x-1．(其中常数e=2.71828⋯，是自然对数的底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x+ae)x．
a-1 a(sinx+1)-2
939 已知函数f(x)=lnx+ ，g(x)=
x x
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)求证：当0≤a≤1时，f(x)>g(x)．
ex-1
940 已知函数f(x)= ．
1+lnx
(1)求函数f(x)的单调区间；
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184 10431 1
(2)解关于x的不等式f(x)> x+
2 x

7 题型七：虚设零点
941 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R)．
(1)求函数y=f(x)的单调区间；
(2)当a=1时，证明：对任意的x>0，f(x)+ex>x2+x+2．
942 (2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测)已知函数fx  =xlnx+m  .
(1)若fx  在区间1,e  上有极小值，求实数m的取值范围；
(2)求证：fx  <x3ex+m-1  x.
943 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =mx+n  ex+mx2+2m+n  x在x=-1处取得
1
极小值- -1．
e
(1)求实数m,n的值；
(2)当x∈0,+∞  时，证明：fx 
16
>lnx+x+ ．
9
944 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =lnx+a-1,a∈R．当a∈0,1  时，证明：
fx 
x-1
≤
 ex
．
ea
ex-1
945 (2024·山东淄博·统考三模)已知函数f(x)= .
x
(1)求函数fx  的单调区间；
(2)证明：当x>0时，fx  >xlnx+1  .
8 题型八：同构法
946 已知函数f(x)=axlnx-x+1，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)当p>q>1时，证明qlnp+lnq<plnq+lnp．
2a
947 已知函数f(x)=lnx+ -2(a∈R)．
x+1
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，求证：f(x)>0在(1,+∞)上恒成立；
x2
(3)求证：当x>0时，ln(x+1)> ．
ex-1
948 已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R)．
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx-2恒成立，求实数b的
取值范围；
ln(x+1)
(3)当x>y>e-1时，求证：ex-y> ．
ln(y+1)
949 已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R)．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx-2对∀x∈(0,+∞)恒成立，求实
数b的取值范围；
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185 1043(3)当x>y>e时，证明不等式exlny>eylnx．
9 题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
x x2
950 (2024·全国·高三专题练习)证明不等式：1+ - < 1+x(x>0)．
2 8
x2 x3
951 (2024·全国·高三专题练习)证明：ln(1+x)≤x- + (-1<x<1)
2 3
952 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)已知正数数列a
n
 满足a2+
n
n-1 a2
n a n a n-1 - n n-1 =0n≥2  ，且a 1 =1.(函数fx  求导n次可用fn  x  表示)
(1)求a
n
 的通项公式.
n
(2)求证：对任意的n∈N*，x≥0，都有ex≥1+axi.
i
i=1
953 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx 
1
=lnx-a1-
x
 .
(1)若fx  ≥0，求实数a的值；
1 1 1
(2)已知n∈N*且n≥2，求证： + +⋅⋅⋅+ <lnn.
2 3 n
954 已知函数f(x)=x2+lnx-ax．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤2x2，对x∈[0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a=1时,设gx  =xex2-fx  -x-1．若正实数λ ，λ 满足λ +λ =1，x ，x ∈(0， 1 2 1 2 1 2
+∞)(x ≠x )，证明：g(λx +λ x )<λ g(x)+λ g(x )．
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
955 (2024·全国·高三专题练习)给出以下三个材料：①若函数fx  可导，我们通常把导函数
fx  的导数叫做fx  的二阶导数，记作fx  ．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，
记作fx  ，三阶导数的导数叫做四阶导数⋯⋯一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导
数，记作fn  x  = fn-1  x    ,n≥4．②若n∈N∗，定义n!=n×n-1  ×n-2  ×⋅⋅⋅×3
×2×1．③若函数fx  在包含x 0 的某个开区间a,b  上具有n阶的导数，那么对于任一
x∈a,b  有gx  =fx 0  + fx 0  1! x-x 0  + fx 0  2! x-x 0  2+ fx 0  3! x-x 0  3+⋅⋅⋅
fn +  x 0  n! x-x 0  n，我们将gx  称为函数fx  在点x=x 处的n阶泰勒展开式．例如， 0
1 1
y=ex在点x=0处的n阶泰勒展开式为1+x+ x2+⋅⋅⋅+ xn．
2 n!
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出f 1x  =sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g 1x  ，并直接写出f 2x  =cosx在
点x=0处的3阶泰勒展开式g 2x  ；
(2)比较(1)中f 1x  与g 1x  的大小．
(3)已知y=ex不小于其在点x=0处的3阶泰勒展开式，证明：ex+sinx+cosx≥2+
2x．
10 题型十：分段分析法、主元法、估算法
956 (2024·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数fx  =ex+ax2-1．
(1)讨论函数fx  的导函数的单调性；
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186 10437-e2
(2)若a≥ ，求证：对∀x≥0，fx
4

1
≥ x3+x恒成立．
2
957 (2024·山东泰安·校考模拟预测)已知函数f(x)=(m+1)x-mlnx-m．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当m≤1，且x>1时，f(x)<ex-1．
f′(1) x
958 若定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ⋅e2x-2+x2-2f(0)x，g(x)=f
2 2

1
- x2
4
+(1-a)x+a，a∈R．
(Ⅰ)求函数f(x)解析式；
(Ⅱ)求函数g(x)单调区间；
(Ⅲ)若x、y、m满足|x-m|≤|y-m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比
e
较 和ex-1+a哪个更接近lnx，并说明理由．
x
959 已知函数f(x)=ex(sinx-ax2+2a-e)，其中a∈R，e=2.71828⋯为自然对数的底
数．
(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；
1
(2)当 ≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞)，f(x)<0．
2
11 题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
960 已知函数f(x)=(x2-x)ex
(1)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；
(2)若f(x)-ax+e≥0恒成立，求实数a的取值范围；
m
(3)若方程f(x)=m(m∈R)有两个正实数根x ，x ，求证：|x -x |< +m+1．
1 2 1 2 e
961 已知函数f(x)=(x-1)ln(x+1)，曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=kx+
b(k,b∈R)．
(1)求k，b的值；
(2)证明：f(x)≥kx+b；
m
(3)若函数g(x)=f(x)+m(m∈R)有两个零点x ，x ，证明|x -x|≤1-m- ．
1 2 2 1 ln2
962 设函数f(x)=xlnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(e-2，f(e-2))处的切线方程；
(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实根，设为x ，x (x <x )，证明：x -x <1+2a+
1 2 1 2 2 1
e-2．
12 题型十二：函数与数列不等式问题
963 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx  =xlnx-ax-1  .
(1)若fx  ≥0，求实数a的值；
1 1 1
(2)已知n∈N*且n≥2，求证：sin +sin +⋯+sin <lnn.
2 3 n
1
964 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数f(x)=ex- ax2-x.
2
(1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a的值；
1
(2)证明：(1+1)1+
4

1
⋅⋅⋅1+
n2
 <e2(n∈N*且n≥2).
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187 1043965 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)已知函数fx 
1
= x2-xlnx+tt∈R
2
 .
(1)gx  是fx  的导函数，求gx  的最小值；
(2)证明：对任意正整数nn≥2 
1
，都有1+
22

1
⋅1+
32

1
⋅1+
42

1
⋯1+
n2
 <e(其中
e为自然对数的底数)
966 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数fx  =lnx+1 
x
- .
x+1
(1)求fx  的极值；
1 1 1
(2)对任意的n∈N*，求证： + +⋯+ <ln2.
n+1 n+2 2n
967 (2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)已知函数fx 
alnx+a-1
= .
x
(1)若xfx  ≤x-1恒成立，求a的取值范围；
f2
(2)当a=1时，证明：
 f3
+
2
 fn
+⋯+
3
 n 1 19
< + - .
n 2 2n+2 24
13 题型十三：三角函数
968 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
=sinx-axcosx，a∈R．当a≥ ，x∈
3
0,+∞  时，求证：fx  ≤2ax．
969 (2024·河北·统考模拟预测)已知函数fx  =-lnax  +ax-2a≠0  .
(1)讨论fx  的极值；
(2)当a>0时，证明：fx  >lnx-xex+1+sinx+1.
970 已知函数f(x)=xlnx+ax+b在(1，f(1))处的切线为2x-2y-1=0．
(1)求f(x)的单调区间与最小值；
sinx-1
(2)求证：ex+lnx>cosx+ ．
x
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188 1043