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第 37 节 不等式选讲+复数
基本技能要落实
考点一 绝对值不等式性质的应用
【例1】设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.
【例2】 若f(x)＝＋3|x－a|的最小值为4，求a的值.
【方法技巧】
1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.
(3)利用零点分区间法.
2.含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用.
【跟踪训练】
设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|<1.
(1)解不等式|f(x)|>5；
(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
考点二 绝对值不等式恒成立与能成立问题
【例3】(2022·陇南二诊)已知a≠0，函数f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|.
(1)若f(x)<g(x)，求x的取值范围；
(2)若f(x)＋g(x)≥|2×10a－7|对x∈R恒成立，求a的最大值与最小值之和.
【例4】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x＜2；
(2)若存在a∈时，使不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围.
【方法技巧】
1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.
2.(1)在例6第(1)问，可作出函数y＝|2x＋2|与y＝1－x的图象，观察、计算边界，
直观求得不等式的解集.
(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.
存在性问题转化方法：f(x)＞a有解⇔f(x) ＞a；f(x)＜a有解⇔f(x) ＜a.
max min
【跟踪训练】1. (2022·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋2|x＋1|.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≤6；
(2)已知g(x)＝|x－1|＋2，若对任意x ∈R，都存在x ∈R，使得f(x )＝g(x )成立，
1 2 1 2
求实数a的取值范围.
考点三 比较法证明不等式
【例3】设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：＜；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
【方法技巧】
比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.
(2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论.
【跟踪训练】
设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是________.
考点四 综合法证明不等式
【例4】(2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
【方法技巧】
1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的
差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这
些性质时，要注意性质成立的前提条件.
【跟踪训练】
1. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
考点五 复数的运算
【例5】1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i
2．(2022·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
3．(2022·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．i B．－1＋i
C．－1－i D．－i
解析：选C 由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D.
【方法技巧】
复数的 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加
加减法 减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作一类同类项，
乘法 不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i的幂写成最简
除法 形式
考点六 复数的几何意义
【例6】1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【方法技巧】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ.
⇔ ⇔(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何
联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面
上的点(a，b)一一对应．
达标检测要扎实
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知纯虚数 满足 ，则 的虚部可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数 满足： ，则 （ ）
A． B． C．5 D．
4． 则z的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．5
二、解答题
6．已知函数 ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)当 时，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
当 时，令 解得 ；当 时，令 ，无解；
当 时，令 解得 .
综上所述，不等式 的解集为 或 ．
（2）当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为2，
存在实数 ，使得 成立，
， 解得 ，
的取值范围是 ．
7．已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数 有零点，求实数 的取值范围.
8．已知不等式 的解集为A．
(1)求集合A；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
9．已知 ， ， ，且 .
(1)求证： ；
(2)若不等式 对一切实数 ， ， 恒成立，求 的取值范围.
10．己知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围．
11．已知不等式 的解集为 ．求
(1)常数 的值
(2)不等式 的解
12．已知 均为正数，且满足 .证明：
(1) ；
(2) .13．已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
14．已知 均为正实数，且 .
(1)求 的最小值;
(2)证明: .
15．设函数
(1)当 ，求不等式 的解集：
(2)已知 的最小值为1，求证
