文档内容
第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 模拟基础练.................................................................................................................................................2
题型一：不等式性质的应用..............................................................................................................................2
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式...........................................................................................2
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围...........................................................................................2
题型四：不等式的综合问题..............................................................................................................................3
题型五：糖水不等式.........................................................................................................................................3
02 重难创新练.................................................................................................................................................4
03 真题实战练.................................................................................................................................................6题型一：不等式性质的应用
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知 ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选题）下列不等式中，推理正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（多选题）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
5．设 ， ，则 、 的大小关系是 .
6．若 ， ，则 与 的大小关系为 .（用“ ”连接）
7．若 ，则 、 、 、 中最小的是 .
8． ，则 的大小关系为 ．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
9．（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为C．ab的取值范围为 D． 的取值范围为
10．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）已知实数 ， 满足 ， ，则 可能取的值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：不等式的综合问题
13．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
14．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
15．（多选题）已知a，b＞0且2a＋b＝1，则 的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
题型五：糖水不等式
16．糖水不等式： 成立的实数 是有条件限制的，使糖水不等式： 不
成立的 的值可以是 （只需填满足题意的一个值即可）．
17．已知 克糖水中含有 克糖（ ），再添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并加以证明；
(2)已知 ，小明同学判断添加 克糖前后的两杯糖水中的含糖浓度值之差的绝对值肯定小于 ，
判断是否正确，并说明理由.（ ）
18．（多选题）在a克的糖水中含有b克的糖（ ），再添加少许的糖m克（ ），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式 ，若 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．当 时， ．
19．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如
糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果 克糖水中含有 克糖（ ），再
添加 克糖（ ）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）若 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·江西·模拟预测）已知 ， ， ，则下列选项中是“ ”的一个充分不必要条件的是
（ ）A． B．
C． D．
6．（2024·山东潍坊·模拟预测）若正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． ， B．
C． 的最小值为 ，最大值为4 D． 的最小值为12
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在 使得 D．若 且 ，则
12．（多选题）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．当 最小时，
13．若 ， ， ，则 的取值范围为
14．购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量
一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济.15．（2024·湖北·三模）若实数x，y，z，t满足 则 的最小值为 .
16． 表示三个数中的最大值，对任意的正实数 ， ，则 的最小值是
．
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））已知实数 满足 ，
则下列关系式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））若 ， ，则
A． B． C． D．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：
每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ，
，且 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 ．在不同的方案
中，最低的总费用（单位：元）是
A． B． C． D．
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））若 则一定有
A． B． C． D．6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版））能够说明“设 是任意实数,
若 ,则 ”是假命题的一组整数 的值依次为 .
7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知 且 ，则
的取值范围是 （答案用区间表示）
8．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题）设实数 满足 ，
则 的最大值是_____ ____
