文档内容
第 4 讲 基本不等式
知识点目录
【知识点1】基本不等式的理解及常见变形..........................................2
【知识点2】利用基本不等式求最值................................................3
【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题....................................4
【知识点4】基本不等式的实际应用................................................5
【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题..................................7
基础知识
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S 2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
第1页 共9页知识点1
知识点
【知识点1】基本不等式的理解及常见变形
基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
典型例题
例1：
【例1】（2022秋•射阳县校级月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【例2】（2024秋•城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法
是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图
形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， ，
为 的中点，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线交半圆于点 ，连接 ， ，
，过点 作 的垂线，垂足为点 ，则该图形可以完成的无字证明为
A． B．
C． D．
第2页 共9页【例3】（2021秋•浙江月考）已知命题 ，命题 ，则 是 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4】（2022秋•三水区校级月考）设 ， ，则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．
【例5】（2025•河北模拟）已知 ， ， ，则 的最小值为
A．2 B． C．4 D．9
知识点2
知识点
【知识点2】利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
典型例题
例1：
【例6】（2025•五华区模拟）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
第3页 共9页【例7】（2025•广东模拟）若 ， ，且 ，则 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【例8】（2024秋•漯河期末）已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为
A． B． C．8 D．12
【例9】（2025春•深圳期中）函数 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【例10】（2025•新疆校级一模）已知 ，则 的最小值为
A．3 B．4 C． D．6
知识点3
知识点
【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)
max
≥a；
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)
min
≤a.
典型例题
例1：
【例11】（2024秋•郑州期末）设正数 ， 满足 ，若不等式 对
第4页 共9页任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【例12】（2025•宜春校级开学）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则
实数 的取值范围为 ．
【例 13】（2024 秋•红河州期末）已知 ， 为正实数，且满足 ，若对于任意
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ， ．
【例14】（2024秋•榆林期末）已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的
是
A． B． C． D．
【例15】（2024•湖南学业考试）已知 ， ， ，若不等式 恒
成立，则实数 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
知识点4
知识点
第5页 共9页【知识点4】基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽
象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
典型例题
例1：
【例16】（2024秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元，
若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．12件 B．24件 C．36件 D．40件
【例17】（2024秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为 400元，每次制作
个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为 天，为了使每个面
包的总成本最小，则每天应制作
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【例18】（2024秋•广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，
深为 ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最
低总造价是
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
【例19】（2024秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为 的篱
第6页 共9页笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是 ．
A．289 B．104 C．162 D．138
【例20】（2024秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为 100平方米
的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为 ，宽为 ．则至少需要 4 0 米棚栏．
知识点5
知识点
【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几
何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值
问题．
典型例题
例1：
【例21】（2025春•吉林期中）在函数 的图象与 轴围成的封闭图形内作一内接
第7页 共9页矩形 ，则可作矩形的最大面积为
A． B． C． D．27
【例22】（2025春•莲湖区期中）已知复数 ， ，且 ，若 是纯虚数，
则 的最小值是
A．9 B．4 C．1 D．
【例23】（2025春•太原期中）已知△ 中，过 中点 的直线分别与直线 ， 交于
点 ， ，且 ，
，则 的最小值为
A．9 B． C．7 D．
【例24】（2024秋•石嘴山期末）函数 且 的图象恒过定点 ，若
且 ， ，则 的最小值为
A．8 B．9 C． D．
第8页 共9页【例 25】（2024秋•光明区校级期末）已知函数 ，正实数 ， 满足
，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
第9页 共9页
