文档内容
第 4 讲 基本不等式
知识点目录
【知识点1】基本不等式的理解及常见变形..........................................2
【知识点2】利用基本不等式求最值................................................5
【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题....................................8
【知识点4】基本不等式的实际应用...............................................11
【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................15
基础知识
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S 2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
第1页 共21页知识点1
知识点
【知识点1】基本不等式的理解及常见变形
基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
典型例题
例1：
【例1】（2022秋•射阳县校级月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】举反例 ， 可判断 错误，利用基本不等式可判断 正确．
【解答】解：对于 ，若 ， ，则 ，故 错误，
对于 ，若 ， ，则 ，故 错误，
对于 ， ， ， ，又 ，
，故 正确，
对于 ，若 ， ，则 ，故 错误，
故选： ．
【例2】（2024秋•城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法
是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图
形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， ，
第2页 共21页为 的中点，以 为直径作半圆，过点 作 的垂线交半圆于点 ，连接 ， ，
，过点 作 的垂线，垂足为点 ，则该图形可以完成的无字证明为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】先明确 的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得
相应的比例式，结合不等关系，即可证明 ， 选项；由于 在该图中没有相应的线段与
之对应，可判断 ， 选项．
【解答】解：由 为线段 上的点，且 ， ， 为 的中点，以 为直径作半
圆，
可知 ，
由 △ △ 可知 ，即 ，
所以 ；在 △ 中， ，即
当 时， ， 点重合， ，此时 ，所以 错误；
在 △ 中， △ △ 可得 ，
所以 ，
第3页 共21页由于 ，所以 ，
当 时， ，此时 ，所以 正确；
由于 在该图中没有相应的线段与之对应，故 ， 中的不等式无法证明．
故选： ．
【例3】（2021秋•浙江月考）已知命题 ，命题 ，则 是 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】命题 ，可解决此题．
【解答】解：命题 ，对任意 、 都
成立，
是 成立的充分不必要条件．
故选： ．
【例4】（2022秋•三水区校级月考）设 ， ，则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用基本不等式，分别判断 ，再用作差法判断 ．
【解答】解： ， ，
第4页 共21页，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，故 正确；
， ，故 正确；
， ，
当且仅当 时取等号， 不一定成立，故 错误；
，当且仅当 时，取等号，故 正确．
故选： ．
【例5】（2025•河北模拟）已知 ， ， ，则 的最小值为
A．2 B． C．4 D．9
【答案】
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．
【解答】解：由 ， ， ，得 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号．
故选： ．
知识点2
知识点
【知识点2】利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
第5页 共21页(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
典型例题
例1：
【例6】（2025•五华区模拟）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】
【分析】根据基本不等式的解法求解即可．
【解答】解：由题意可知 ，
即 ．
令 ，则 ．
解得 或 （舍 ．
即 ， ．
当且仅当 时，等号成立．
故选： ．
【例7】（2025•广东模拟）若 ， ，且 ，则 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【分析】由题意可得 的表达式，由基本不等式可得 的最小值．
【解答】解：因为 ， ，且 ，可得 ，可得 ，
第6页 共21页所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选： ．
【例8】（2024秋•漯河期末）已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为
A． B． C．8 D．12
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解： ， ，且 ，
则 ，当且仅当 ，集 ， 时取等号．
故选： ．
【例9】（2025春•深圳期中）函数 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】根据基本不等式求解即可．
【解答】解：当 时， ，
第7页 共21页则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故选： ．
【例10】（2025•新疆校级一模）已知 ，则 的最小值为
A．3 B．4 C． D．6
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：因为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选： ．
知识点3
知识点
【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)
max
≥a；
∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)
min
≤a.
典型例题
例1：
【例11】（2024秋•郑州期末）设正数 ， 满足 ，若不等式 对
第8页 共21页任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合基本不等式可求 的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化及二
次函数性质即可求解．
【解答】解：因为正数 ， 满足 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
若不等式 对任意实数 恒成立，则 恒成立，
所以 恒成立，
根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值4，
故 ．
故选： ．
【例12】（2025•宜春校级开学）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则
实数 的取值范围为 ．
【答案】 ．
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出 的最小值，即可得解．
【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
第9页 共21页所以 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
又 恒成立，所以 ．
故答案为： ．
【例 13】（2024 秋•红河州期末）已知 ， 为正实数，且满足 ，若对于任意
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得 的最小值，从而得到任意 ，不等式恒
成立，再利用二次函数的性质与恒成立问题的解法即可得解．
【解答】解：因为 ， 为正实数，且满足 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
则由题意可得 在 ， 上恒成立，即 在 ， 上恒成立，
只需 ，
设函数 ，其在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
第10页 共21页所以 在 处取得最大值 （4） ，
所以 ，故实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
【例14】（2024秋•榆林期末）已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的
是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由重要不等式可得出 ，可判断 选项；利用基本不等式可得出
，再利用基本不等式及不等式的性质可判断 选项；分析可知，关于 的二次方程
有实根，由△ 可判断 选项；由基本不等式可得出 ，再利用立方
和公式可判断 选项．
【解答】解：因为 ， ，且 ，
对于 ，由重要不等式可得 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 错；
对于 ，由重要不等式可得 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 对；
对于 ，由题意可知，关于 的二次方程 有实根，
第11页 共21页则△ ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以， ，故 对；
对于 ，由 可得 ，
由基本不等式可得 ，
可得 ，即 ，
因为 ， ，则 ，所以， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以， ，故 对．
故选： ．
【例15】（2024•湖南学业考试）已知 ， ， ，若不等式 恒
成立，则实数 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以
，当且仅当 ，即 时等号成立，
第12页 共21页故 ．
故选： ．
知识点4
知识点
【知识点4】基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽
象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
典型例题
例1：
【例16】（2024秋•昌吉州期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元，
若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．12件 B．24件 C．36件 D．40件
【答案】
【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 ，则 ，利用基本不等式，
即可求得 和此时 的值．
【解答】解：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 ，
则由题意可得 ，当且仅当 时取得最小值，
即当每批应生产产品40件时 最小．
故选： ．
第13页 共21页【例17】（2024秋•成都期末）已知某糕点店制作一款面包的固定成本为 400元，每次制作
个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为 天，为了使每个面
包的总成本最小，则每天应制作
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【答案】
【分析】根据题设有每个面包的总成本 ，应用基本不等式求结果．
【解答】解：因为固定成本为400元，每次制作 个，每天每个面包的存留成本为1元，若每
个面包的平均存留时间为 天，
所以总成本为 ，
则每个面包的总成本 ，
当且仅当 时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个．
故选： ．
【例18】（2024秋•广州期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，
深为 ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最
低总造价是
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
【答案】
【分析】设池底的长为 ，宽为 ，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一
个面，计算出建造这个水池的总造价是 ，结合基本不等关系求得最小值．
【解答】解：设池底的长为 ，宽为 ，
第14页 共21页则 ，即 ，
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建 造 这 个 水 池 的 总 造 价 是
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以贮水池的最低总造价是198400元．
故选： ．
【例19】（2024秋•科尔沁区校级期末）一天，陶渊明采菊东篱下．想用一段长为 的篱
笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是 ．
A．289 B．104 C．162 D．138
【答案】
【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为 ，由已知表示出另一边长，再求出矩形面积的表
达式，法 利用基本不等式即可求出菜园的最大面积；法 由二次函数的性质可得函数的最
大值．
【解答】解：设矩形菜园的靠墙的一边长为 ， ，
因为篱笆的长为 ，则宽为 ，
法 所以矩形菜园的面积为： ，
第15页 共21页当且仅当 ，即 时等号成立，
所以矩形菜园的最大面积是 ．
法 ， ，
开口向下，对称轴 ，而 ，
所以 时，则 ．
即矩形的面积的最大值为 ．
故选： ．
【例20】（2024秋•柳州期末）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为 100平方米
的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为 ，宽为 ．则至少需要 4 0 米棚栏．
【答案】40．
【分析】根据面积可得 ，周长为 ，然后根据基本不等式求最小值．
【解答】解：由题意可得 ，且周长 ，
， ，则 ，
当 取等号，
即至少需要40米棚栏．
故答案为：40．
第16页 共21页知识点5
知识点
【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几
何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值
问题．
典型例题
例1：
【例21】（2025春•吉林期中）在函数 的图象与 轴围成的封闭图形内作一内接
矩形 ，则可作矩形的最大面积为
A． B． C． D．27
【答案】
【分析】设 、 在抛物线上，若 ，则点 ，所以矩形 的面积可
表示为 ， ，再利用导数求出其最大值即可．
【解答】解：设 、 在抛物线上，若 ，则点 的坐标为 ，
所以矩形 的面积可表示为 ， ，
第17页 共21页所以 ，
令 ，解得 或 （舍去），又因为 在 上单调递增，在
， 上单调递减，
所以矩形的最大面积为 ．
故选： ．
【例22】（2025春•莲湖区期中）已知复数 ， ，且 ，若 是纯虚数，
则 的最小值是
A．9 B．4 C．1 D．
【答案】
【分析】结合复数的基本运算及概念先求出 ， 的关系，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为复数 ， ，且 ，
若 是纯虚数，
则 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选： ．
【例23】（2025春•太原期中）已知△ 中，过 中点 的直线分别与直线 ， 交于
第18页 共21页点 ， ，且 ，
，则 的最小值为
A．9 B． C．7 D．
【答案】
【分析】结合向量的线性运算求出 ，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为 为 的中点，且 ， ，
则 ，
所以 ，即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选： ．
【例24】（2024秋•石嘴山期末）函数 且 的图象恒过定点 ，若
且 ， ，则 的最小值为
A．8 B．9 C． D．
【答案】
【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出 和 的值，进而得到 的值．然后利用
均值不等式来求 的最小值．
【解答】解：函数 且 的图象，令 时，则 ，
第19页 共21页即函数 的图象恒过定点 ，所以 ， ，
已知 ，把 ， 代入可得 ，即 ，
所以 ．
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故选： ．
【例 25】（2024秋•光明区校级期末）已知函数 ，正实数 ， 满足
，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】结合函数的对称性可得 ，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为数 ，
所以
，
所以 关于 对称，
正实数 ， 满足 ，
则 ，即 ，
则 ，
第20页 共21页当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选： ．
第21页 共21页
