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重难点突破11 导数中的同构问题
目录
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式 图像 函数表达式 图像
函数极值点函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为方程
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
ex ≥x+1(x=0);ex ≥ex(x=1)
3、常见的指数放缩：
1 x
1− ≤lnx≤x−1(x=1);lnx≤ (x=e)
x e
4、常见的对数放缩：
( π)
x∈ 0, ,sinx0令
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；.
（2） 在 单调递增； 上单调递减； ；
在 上单调递增； 上单调递减；
.
当 时， ；当 时， 在 上单调递减；
,
在 上有唯一的零点
当 时， 无零点.
综上，存在唯一的 使 ，
即 与 有唯一的交点 ，
令 ，构造 ，
显然 与 单调性相同，且 在 上有一个零点 ，另一
个零点为 ，
构造 与 单调性相同，
且 ，
一个零点为 ，另一个零点 .
故存在直线 与 和 共有三个不同的交点 ，.
且由 ，而 有 在 单调递增；
且由 ，而 ，由 在 上单调递减；， ，
由 ，
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式 对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数 ，其中 ，若 恒成立，则实数a与b的大小关系
是_______；
（6）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式 ，对 恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
【答案】 ； ； ； ； ；
； ； ; .
【解析】解析：（1） ，
．又 ， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以
在 ， 递减，在 递增，
所以，当 时， ， 时，
（2） ，
当 时，原不等式恒成立；
当 时， ，由于 ，
当且仅当 等号成立，所以 ．
（3） ，
当 时，原不等式恒成立；当 时， ，由（1）中可得 ，当 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 等号成立，
所以 ．
（4） ，由于 ，所以 ．
（5） ．
由于 ，当且仅当 等号成立，所以 ．
（6） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，则
，所以 ．
（7） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，
则 ，所以 ．
（8） ，由于 ，两者都是当且仅当 等号成立，所
以 ，则 ，所以 ．
（9） ，当且仅当 ，即
时等号成立．由 有解，
， ，易知 在 上递增，在 递减，
所以
故答案为: ； ； ； ； ； ； ； ；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知 .设实数 ，若对任意的正实数 ，不等式
恒成立，则 的最小值为___________.
【答案】【解析】因为 仅在 时取等号，
故 为R上的单调递增函数，
故由设实数 ，对任意的正实数 ，不等式 恒成立，
可得 ， 恒成立，
，即 恒成立，
当 时， ， 恒成立，
当 时，
构造函数 ， 恒成立，
当 时， 递增，则不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 恒成立，故需 ，
设 ， ，
在 ， 上递增，在 ， 递减，
，故 的最小值为 ，
故答案为：
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式 对 恒成
立，则实数m的最小值为__________.
【答案】
【解析】 可变为 ，
再变形可得， ，设 ，原不等式等价于
，因为 ，所以函数 在 上单调递减，在
上单调递增，而 ， ，
当 时， ，所以由 可得， ，
因为 ，所以 ．
设 ， ，所以函数 在 上递增，在 上递减，所以，即 ．
当 时，不等式 在 恒成立；
当 时， ，无论是否存在 ，使得 在 上恒成立，都可判断实
数m的最小值为 ．
故答案为： ．
变式10．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解析】解：实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，
即为 ，
设 ， ， ，
令 ，可得 ，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得 和 有且只有一个交点，
设为 ，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减．
即有 在 处取得极小值，且为最小值．
即有 ，令 ，
可得 ， ．
则当 时，不等式 恒成立．
则 的最小值为 ．
另解1：由于 与 互为反函数，
故图象关于 对称，考虑极限情况， 恰为这两个函数的公切线，
此时斜率 ，再用导数求得切线斜率的表达式为 ，即可得 的最小值为 ．
另解2：不等式 恒成立，即为 ，
即有 ，可令 ，可得 在 递增，
由选项可得 ，所以 ，若 ，则 ，
所以 ，即有 ，
由 的导数为 ，当 时， 递减． 时， 递增，
可得 时， 取得最大值 ．则 ，
的最小值为 ．
故选： ．
变式11．设实数 ，若对任意的 ， ，不等式 恒成立，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解析】解：因为对任意的 ， ，不等式 恒成立，
所以 ，
即 ，
令 ， ，
则 ，
故 在 上单调递增，
由题意得 ，
所以 ，即 对任意的 ， 恒成立，
故只需 ，
易得 在 ， 上单调递增，
故 （e） ，
所以 ．故选： ．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，由 ，可得 ，
不等式两边同时除以 可得 ，
即 ，
令 ， ，其中 ， ，
所以，函数 在 上为增函数，且 ，由 ，可得 ，
所以，对任意的 ， ，即 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，解得 .
故选：B.
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 ，无极小值.（2）若选①：由 恒成立，即 恒成立，
整理得： ，即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 处取得极大值， 的最大值为 ，故 ，即 .
故当 时， 恒成立.
若选择②：由关于 的方程 有两个实根，
得 有两个实根，
整理得 ，
即 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，即 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 在 处取得极大值，
的最大值为 ，又因为
所以要想 有两个根，只需要 ，
即 ，所以 的取值范围为 .
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成 ，的变形技巧.已知函数 ， ，若 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
即 ，所以， ，
令 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
由 可得 ，所以 ，
令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
故选：B.
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数 ，若 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以 ，
则 ．
于是 ．所以 ．
构造函数 ，
易知当 时， 单调递增．所以， ．
于是 ，令 ，则 ． 在 上单调递减，
在 单调递增．所以 ，即 ．
故选：A
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数 ， ，若
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，所以 ， . .
， ，则 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
，当 时， ， 递增，
所以 ，则 ，
， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增，
所以 的最小值为 ，即B选项正确.
故选：B
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
故选：A
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数 ， 满足 ，则正整数 的最大值为
（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上递增，在 ， 上递减，
则 的最大值是 ，
令 ， ，则 ，
当 时，此题无解，故 ，则 时， ，当 ， ，当 ，解得： ，
故 在 递减，在 ， 递增，
则 的最小值是 ，
若 成立，只需 ，
即 ，即 ，
两边取对数可得： ， ，
故 的最大正整数为5，
故选：C．
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数 、 满足 ，
在 上均恒成立，记 、 的最大值分别为 、 ，那么
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，利用导数证明出 ，可得出 ，
，求得 ， ，可求得 、 的值，由此可
得出合适的选项.设 ，该函数的定义域为 ，则 .
当 时， ，此时，函数 单调递减；
当 时， ，此时，函数 单调递增.
所以， ，即 ，
令 ，则函数 在 上为增函数，且 ， ，
所以，存在 使得 ，
令 ，其中 ， .
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.所以， ，又 ，
所以，存在 使得 .
，
当且仅当 时，等号成立；
，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ， ，即 ．
故选：B.
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
【解析】解：（1） 的定义域为 ，
，
①当 时， ，此时 在 上单调递减，
②当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
③当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
证明（2）设 ，则 ，
由（1）可得 在 上单调递增，
（1） ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，，
．
例15．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，下面证 ，即证2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，即当 时， ．
法二： ，即 ，
令 ，则原不等式等价于 ，
，令 ，则 ， 递减，
故 ， ， 递减，
又 ，故 ，原结论成立．
例16．已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
【解析】（1）解：函数 定义域为 ，则 ，
故 在 ， 递增，
当 时， ，没有零点；
当 时， 单调递增， ， （1） ，
由函数零点存在定理得 在区间 ， 内有唯一零点，
综上可得，函数 只有一个零点．
（2）证明：法一：要证 ，即证 ，
令 ，定义域为 ，
则 ，
由（1）知， 在区间 ， 内有唯一零点，设其为 ，
则 ①，因 ，且 在区间 上单调递增，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 ， 时， ， ， 单调递增；
所以 ，
由式①可得 ， ，
所以 ，
又 时， 恒成立，
所以 ，得证．
法二：问题转化为证明 ，
令 ，易知 ，（当且仅当 时“ ”成立）
又 ，则 ，
故 （当且仅当 时“ ”成立）．
变式17．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
【解析】（1）解： ，得 ， 得 ，
在 上递减，在 上递增．
（2）解： 函数 在 处取得极值，
，
，
令 ，则 ，
由 得， ，由 得， ，
在 ， 上递减，在 ， 上递增，
，即 ．
（3）证明： ，即证 ，
令 ，
则只要证明 在 上单调递增，
又 ，
显然函数 在 上单调递增．
，即 ，
在 上单调递增，即 ，
当 时，有 ．
变式18．已知函数 ，函数 ， ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
（3）证明：当 时， ．
【解析】解：（1） 的定义域为 ， ，当 ， 时， ，则 在 上单调递增；
当 ， 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ， 时， ，则 在 上单调递减；
当 ， 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）证明：设函数 ，则 ．
， ， ， ，
则 ，从而 在 ， 上单调递减，
，即 ．
（3）证明：方法一：当 时， ．
由（1）知， （1） ， ，即 ．
当 时， ， ，则 ，
即 ，又 ，
，
即 ．
方法二：当 时，要证 ，
只需证
即证 ，
令 ，易证 ，
故 ，
所以当 时， ．
