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第 03 讲 极值与最值
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考点要求 考题统计 考情分析
（1）借助函数图象，了解函 高考对最值、极值的考查相对稳定，
数在某点取得极值的必要和充 属于重点考查的内容．高考在本节内
分条件．
2022年乙卷第16题，5分
容上无论试题怎样变化，我们只要把
（2）会用导数求函数的极大 2022年I卷第10题，5分 握好导数作为研究函数的有力工具这
值、极小值． 2022年甲卷第6题，5分 一点，将函数的单调性、极值、最值
（3）会求闭区间上函数的最 2021年I卷第15题，5分 等本质问题利用图像直观明了地展示
大值、最小值． 2021年乙卷第10题，5分 出来，其余的就是具体问题的转化
了．最终的落脚点一定是函数的单调
性与最值，因为它们是导数永恒的主
题．知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极
大值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记
作 ．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
注：①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在
左侧与右侧， 的符号导号．
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点．
另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论：为可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点．
2、函数的最值
函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极
大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当 时，最大值是 与 中的最大者；最小值是 与 中的最小者．
（2）当 时，最大值是 与 中的最大者；最小值是 与 中的最小者．
一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最
值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ．
不等式 在区间D上恒成立 ．
（3）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；（4）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以下结
论：
不等式 在区间D上有解
不等式 在区间D上有解
（5）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（6）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（7）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（8）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（9）对于任意的 ， 使得 ；
（10）对于任意的 ， 使得 ；
（11）若存在 ，总存在 ，使得
（12）若存在 ，总存在 ，使得 ．
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在一个极大值 与一个极小值 满足
，则 至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数 的大致图象如
图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 在x＝c处取得最大值，在 处取得最小值
C．函数 在x＝c处取得极大值，在 处取得极小值D．函数 的最小值为
【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，则“ 在 上有两个
零点”是“ 在 上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数 ， ，
为 的导函数．
(1)当 时，过点 作曲线 的切线，求切点坐标；
(2)若 ， ，且 和 的零点均在集合 中，求 的极小值．
【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)证明：当 时， 有唯一的极值点为 ，并求 取最大值时 的值；
(2)当 时，讨论 极值点的个数．
【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 .求 的极值；
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程 根左右的符号，更要注意变号后极大值与
极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否
则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 在 处取得极大值4，则 （ ）
A．8 B． C．2 D．
【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数 在区间 上存
在极值，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极小值，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数
有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数 的
极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值；
【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数 在区间 上
最大值为M，最小值为m，则 的值是_______.
【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ，则 的最大值是
________．
【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ，则函数
的最小值为______.
【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，且 ，则 的最
小值为__________.
【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数 ， 满足： ，则 的最小
值为______.
【解题方法总结】
求函数 在闭区间 上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ，
与 的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数 ， ，其中 .
(1)若曲线 在 处的切线 与曲线 在 处的切线 平行，求 的值；
(2)若 时，求函数 的最小值；
(3)若 的最小值为 ，证明：当 时， .【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．讨论函数 的最值；
【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数
，其中 ．
(1)若a=2，求 的单调区间；
(2)已知 ，求 的最小值．（参考数据： ）
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 在 上的单调性；
(2)当 时，求 在 内的最大值；
【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 存在最大值M，证明： ；
(2)在（1）的条件下，设函数 ，求 的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解题方法总结】
若所给的闭区间 含参数，则需对函数 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)若 ， 的最小值是 ，求实数m的所有可能值.
【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在
最小值，则整数 的取值可以是______．
【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上有最小值，则实
数 的取值范围为________.
【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数 的最小值为0，则a的
取值范围为______________．
【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 的最小值为 ，则
______．
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上存在最大值，
则实数 的取值范围为_______
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在
上存在最小值.则实数 的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知 ，函数 ，其中e是自然对数的底
数.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)求证：函数 存在极值点，并求极值点 的最小值.
【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 内的极值；
(2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围．
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知 ．
(1)求函数 在 内的极值点；
(2)求函数 在 上的最值．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，已知 是函数 的极值
点．
(1)若函数 在 内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)求 在 内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数 （ ），使得关于x的不等式对 恒成立，则b的最大值是_________.
【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对
恒成立，则a的取值范围是______.
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则m的
取值范围为______
【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为___________.
【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是 上
的奇函数，当 时， 取得极值 ．
(1)求函数 的单调区间和极大值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若对任意 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最
值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．13．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
