第25讲：函数的零点问题_2027年高考数学一轮复习讲义_2027年高考一轮复习讲义-原卷版

第25讲 函数的零点问题
知识梳理
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点
情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴(或直线y=k)在
某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图
像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<
0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐
标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将fx  整理变
形成fx  =gx  -hx  的形式，通过gx  ,hx  两函数图象的交点确定函数的零点个数；
三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导
数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处
理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形
结合思想研究；③构造辅助函数研究.
必考题型全归纳
1 题型一：零点问题之一个零点
971 (2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测)已知函数fx  =lnx,gx 
1
= x2-
2
2x+1.
(1)求函数φx  =gx  -3fx  的单调递减区间；
(2)设hx  =afx  -gx  ，a∈R.
①求证：函数y=hx  存在零点；
②设a<0，若函数y=hx  的一个零点为m.问：是否存在a，使得当x∈0,m  时，函数
y=hx  有且仅有一个零点，且总有hx  ≥0恒成立？如果存在，试确定a的个数；如果
不存在，请说明理由.
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189 1043972 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=ex-asinx-1，gx 
2x+a+2
=- +
ex
acosx-sinx  +2，fx  在0,π  上有且仅有一个零点x . 0
(1)求a的取值范围；
(2)证明：若1<a<2，则gx  在-π,0  上有且仅有一个零点x ，且x +x <0. 1 0 1
973 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
x-1
=alnx+ .
ex
(1)当a=1时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)证明：当a≥0时，fx  有且只有一个零点；
(3)若fx  在区间0,1  ,1,+∞  各恰有一个零点，求a的取值范围.
974 (2024·广东茂名·高三统考阶段练习)已知a>0，函数fx  =xex-a，gx  =xlnx-a.
(1)证明：函数fx  ，gx  都恰有一个零点；
(2)设函数fx  的零点为x 1 ，gx  的零点为x ，证明xx =a. 2 1 2
2 题型二：零点问题之二个零点
975 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知函数f(x)=xex+2.
(1)求f(x)的最小值；
(2)设F(x)=f(x)+a(x+1)2(a>0).
(ⅰ)证明：F(x)存在两个零点x ，x ；
1 2
(ⅱ)证明：F(x)的两个零点x ，x 满足x +x +2<0.
1 2 1 2
976 (2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+
1)x．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=0时，g(x)=(x-1)f(x)-x2-1，证明：函数g(x)有且仅有两个零点，两个零点
互为倒数．
977 (2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当a=0时，g(x)=(x-1)f(x)-x2-1，证明：函数g(x)有且仅有两个零点，且两个零
点互为倒数．
978 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-lnx-a.
(1)若a=3.证明函数f(x)有且仅有两个零点；
(2)若函数f(x)存在两个零点x,x ，证明：ex1x2>ex1+ex2+2-2a.
1 2
979 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)在其定
义域内有两个不同的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)记两个零点为x 1 ,x 2 ，且x 1 <x 2 ，已知λ>0，若不等式λlnx 2 -1  +lnx -1>0恒成 1
立，求λ的取值范围．
980 (2024·江苏·高三专题练习)已知函数fx 
1
=ax4- x2，x∈(0,+∞)，gx
2
 =fx  -
fx  ．
(1)若a>0，求证：
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190 1043(ⅰ)fx  在f(x)的单调减区间上也单调递减；
(ⅱ)gx  在(0,+∞)上恰有两个零点；
(2)若a>1，记gx  的两个零点为x,x ，求证：4<x +x <a+4． 1 2 1 2
3 题型三：零点问题之三个零点
981 (2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数fx 
ax2
= -lnx-lna-1有三
ex-1
个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设函数fx  的三个零点由小到大依次是x,x ,x .证明：aex1x3>e. 1 2 3
x-1
982 (2024·广东深圳·校考二模)已知函数f(x)= -alnx.
x+1
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
1
(2)①当0<a< 时，试证明函数f(x)恰有三个零点；
2
②记①中的三个零点分别为x ，x ，x ，且x <x <x ，试证明x2(1-x )>a(x2-1).
1 2 3 1 2 3 1 3 1
983 (2024·广西柳州·统考三模)已知f(x)=x3-ax+1  lnx．
(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x,x ,x 且x <x <x ，当x +x >2时，求实数a
1 2 3 1 2 3 1 3
的取值范围．
984 (2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测)已知函数fx 
1
= x3+ax2+bx+1(a，
3
b∈R).
(1)若b=0，且fx  在0，+∞  内有且只有一个零点，求a的值；
(2)若a2+b=0，且fx  有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数
列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
e
985 (2024·浙江·校联考二模)设a< ，已知函数fx
2
 =x-2  ex-ax2-2x  +2有3个不
同零点.
(1)当a=0时，求函数fx  的最小值：
(2)求实数a的取值范围；
(3)设函数fx  的三个零点分别为x 、x 、x ，且x ⋅x <0，证明：存在唯一的实数a，使得 1 2 3 1 3
x 、x 、x 成等差数列.
1 2 3
lnx ax
986 (2024·山东临沂·高三统考期中)已知函数f(x)= 和g(x)= 有相同的最大值.
x ex
(1)求a，并说明函数h(x)=f(x)-g(x)在(1，e)上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
4 题型四：零点问题之max，min问题
987 (2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模)已知函数fx  =xsinx+cosx+ax2,gx 
x
=xln ．
π
(1)当a=0时，求函数fx  在-π,π  上的极值；
(2)用maxm,n  表示m,n中的最大值，记函数hx  =max fx  ,gx    (x>0)，讨论函
数hx  在0,+∞  上的零点个数．
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191 10431 x
988 (2024·四川南充·统考三模)已知函数f(x)=xsinx+cosx+ ax2，g(x)=xln ．
2 π
(1)当a=0时，求函数f(x)在[-π,π]上的极值；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)，讨论函
数h(x)在(0,+∞)上的零点个数．
989 (2024·四川南充·统考三模)已知函数fx 
ax x2
= + -x，gx
ex 2
 =lnx其中e为自然对数
的底数.
(1)当a=1时，求函数fx  的极值；
(2)用maxm,n  表示m，n中的最大值，记函数hx  =max fx  ,gx    (x>0)，当a≥
0时，讨论函数hx  在0,+∞  上的零点个数.
1
990 (2024·广东·高三专题练习)已知函数f(x)=-lnx，g(x)=x3-ax+ ，a∈R.
4
(1)若函数g(x)存在极值点x 0 ，且gx 1  =gx 0  ，其中x ≠x ，求证：x +2x =0； 1 0 1 0
(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，记函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，若函数
h(x)有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
991 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-ax2(a∈R)，gx  =x-1．
(1)若直线y=gx  与曲线y=fx  相切，求a的值；
(2)用minm,n  表示m，n中的最小值，讨论函数h(x)=min{f(x),g(x)}的零点个数．
992 (2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末)已知函数fx 
1
=x3+ax+ ,gx
4
 =
1-x-lnx.
(1)若过点1,0  可作fx  的两条切线，求a的值.
(2)用minm,n  表示m,n中的最小值，设函数hx  =min fx  ,gx    (0<x<1)，讨论
hx  零点的个数.
5 题型五：零点问题之同构法
ax
993 已知函数f(x)= +x-ln(ax)-2(a>0)，若函数f(x)在区间(0,+∞)内存在零
ex-1
点，求实数a的取值范围
a
994 已知f(x)=xlnx+ x2+1．
2
π
(1)若函数g(x)=f(x)+xcosx-sinx-xlnx-1在0,
2
 上有1个零点，求实数a的取
值范围．
a
(2)若关于x的方程xex-a=f(x)- x2+ax-1有两个不同的实数解，求a的取值范围．
2
995 已知函数f(x)=aex-ln(x+1)+lna-1．
(1)若a=1，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围．
6 题型六：零点问题之零点差问题
996 已知关于x的函数y=f(x)，y=g(x)与h(x)=kx+b(k，b∈R)在区间D上恒有f(x)
≥h(x)≥g(x)．
(1)若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(-∞,+∞)，求h(x)的表达式；
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192 1043(2)若f(x)=x2-x+1，g(x)=klnx，h(x)=kx-k，D=(0,+∞)，求k的取值范围；
(3)若f(x)=x4-2x2，g(x)=4x2-8，h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0<|t|≤ 2)，D=
[m，n]⊂[- 2， 2]，求证：n-m≤ 7．
997 已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x．
(1)如a=b=-3，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(-∞,α)，(2,β)单调增加，在(α,2)，(β,+∞)单调减少，证明：β-α>6．
1
998 已知函数f(x)= ae2x-x2-ax，a∈R．
2
(1)当a=1时，求函数g(x)=f(x)+x2的单调区间；
4
(2)当0<a< ，时，函数f(x)有两个极值点x ，x (x <x )，证明：x -x >2．
e4-1 1 2 1 2 2 1
7 题型七：零点问题之三角函数
999 (2024·山东·山东省实验中学校考一模)已知函数fx  =asinx-ln1+x  ．
(1)若对∀x∈-1,0  时，fx  ≥0，求正实数a的最大值；
n 1
(2)证明：sin <ln2；
k2
k=2
(3)若函数gx  =fx  +ex+1-asinx的最小值为m，试判断方程e1+x-m-ln1+x  =0
实数根的个数，并说明理由．
1000 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx 
πx
=x-sin .
2
(1)证明：当x∈0,1  时，fx  ≤0；
(2)记gx  =fx  -alnx  ，若gx  有且仅有2个零点，求a的值.
1
1001 (2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测)已知f(x)=asinx-x+ (x>-1)，且0
x+1
为f(x)的一个极值点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：①函数f(x)在区间(-1,+∞)上存在唯一零点；
1 1 n 1
② - <sin <1，其中n∈N*且n≥2．
2 n+1 k2
k=2
1002 (2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模)已知fx  =sinnx，gx  =lnx+mex(n
为正整数，m∈R)．
(1)当n=1时，设函数hx  =x2-1-2fx  ，x∈0,π  ，证明：hx  有且仅有1个零点；
fx
(2)当n=2时，证明：

+gx
2
 <x+m  ex-1．
8 题型八：零点问题之取点技巧
1003 已知函数f(x)=ex[ex-2(a+1)]+2ax(e为自然对数的底数，且a≤1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
1004 已知函数f(x)=xex+a(x+1)2(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
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193 10431 1005 已知函数f(x)=x-
2
 1 ex+ax+
2
 2 ．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
1
1006 已知函数f(x)= ex+a
2
 ex-(a+1)x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
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194 1043