文档内容
第 07 讲 函数与方程
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：求函数的零点或零点所在区间....................................................................................................................2
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围........................................................................................................3
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题....................................................................................................5
题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................................................................................7
题型五：函数的对称问题..........................................................................................................................................10
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型..........................................................................................................14
题型七：唯一零点求值问题......................................................................................................................................16
题型八：分段函数的零点问题..................................................................................................................................18
题型九：零点嵌套问题..............................................................................................................................................21
题型十：等高线问题..................................................................................................................................................24
题型十一：二分法.......................................................................................................................................................28
重难创新练..........................................................................................................................................31
真题实战练..........................................................................................................................................45题型一：求函数的零点或零点所在区间
1．（2024·高三·北京东城·开学考试）已知函数 则函数 的零点为
【答案】
【解析】当 时，由 ，即 ，解得 或 （舍），
当 时，由 ，解得 ，
综上可得，函数 的零点为 ．
故答案为： ．
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，可知 为增函数，
且 ，
，
根据零点存在定理，函数 在 有零点，且零点是唯一的.
故选：B
3．函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，
又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 ，
根据函数零点存在性定理可得函数 的零点所在的大致区间为 ，
故选：B.
4．（2024·高三·江苏常州·开学考试）已知函数 则函数 的所有零点构
成的集合为 ．
【答案】
【解析】函数 的零点，即方程 的所有根，
令 ，根据函数 ，方程 的解是 ，
则方程 的根，即为方程 的根，
当 时， ，由 ， ，
当 时， ，由 ， ，
综上，函数 所有零点构成的集合是 .
故答案为： .
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
5．（2024·高三·广东深圳·期末）已知函数 在 内有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是增函数， 也是增函数，所以 是 上的增函数.
因为 在 内有零点，
所以 ，解得 .
故选：A
6．（2024·宁夏银川·三模）函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若函数 在区间 上存在零点，
由函数 在 的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 ，
即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
7．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 存在1个零点位于 内，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 存在1个零点位于 内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
8．函数 的一个零点在区间 内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ， 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 的一个零点在区间 内得 ，解得 ，
故选：A
9．已知函数 的零点位于区间 内，则整数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为函数 与 在 上均为增函数，
所以函数 在 上为增函数，
因为 ， ， ，
所以函数 的零点位于区间 内，故 .
故选：B.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
10．函数 的零点个数为
【答案】6
【解析】 ，故 ，
画出 和 ，两函数交点个数即为 的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以 的零点个数为6.
故答案为：6
11．已知函数 ，则方程 的解的个数是 .
【答案】4【解析】依题意可得， ，
当 时，由 得 ；
当 时，由 ，即 ，得 ；
当 时，由 ，即 ，得 ；
当 时，由 ，即 ，得 .
综上可得，方程 有4个实数根，
故答案为：4
12．（2024·青海西宁·二模）记 是不小于 的最小整数,例如 ,则函数
的零点个数为 .
【答案】3
【解析】令 ,则 ,
令 ,
则 与 的交点个数即为 的零点个数,
当 时, ,
又 ,
所以 是周期为1的函数,
在 上单调递减,且 ,
所以可作出 与 的图象如图,所以 与 有3个交点，故 的零点个数为3,
故答案为：3.
13．函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，不合乎题意.
当 时，由于函数 、 在 上均为增函数，
此时函数 在 上为增函数.
当 时，由于函数 、 在 上均为减函数，
此时函数 在 上为减函数.
因为函数 在区间 上有零点，则 ，
即 ，解得 .
故选：D.
题型四：嵌套函数的零点问题
14．已知函数 ,若关于 的方程 恰有5个不同的实数
解，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】作出函数 的大致图象，如图所示，
令 ，则 可化为
，
则 或 ，
则关于 的方程 恰有5个不同的实数解等价于 的图象与直线 ，
的交点个数之和为5个，
由图可得函数 的图象与直线 的交点个数为2，
所以 的图象与直线 的交点个数为3个，
即此时 ，
解得 ，
故选：C.
15．已知函数 ，方程 有6个不同的实数解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， 图象如下图示，令 ，要使原方程有6个不同的实数解，则 有两个不同实根 且 ，
若 ，则 ，则 ，此时 ， ，显然此时不合题意，
故由图知： ，即 的两个零点分别在区间 和 内，
而 开口向上，故 .
故选：C
16．（2024·高三·天津滨海新·开学考试）已知函数 ，关于x的方程
在 上有四个不同的解 ，且 ，若
恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 整理可得： ，故 或 ，由
于 ，故 无解，由基本不等式， 时， ，故
无解，依题意，于是 在 上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作
出 的图像如下：
结合图像可知，当 时， 在 上有四个解 如图所示，由于 是
的一条对称轴，根据对称性， ，由 ，即 ，整理可
得 ，由于 ，故 ，即 .于是 可以整理为 ，又 ，解得 ，结
合图像可知 ，，即 ，故 ，当 时取得等号，为
使得 恒成立，只需 ，即 ，解得 .
故选：B
17．定义域为 的函数 ，若关于x的方程 恰有5个不同的实数解 ，
， ， ， ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】令 ，作出函数 的大致图象，
当 时， ，
故函数 的图象关于直线 对称，
因为关于 的方程 恰有 个不同的实数根，
则关于 的方程 恰有两根，设为 、 ，且必有一根为 ，设 ，
设方程 的两根分别为 、 ，且 ，则 ，
所以， ， ，
因此， .
故选：C.
题型五：函数的对称问题
18．（2024·河南洛阳·一模）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上
存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 与函数 的图象关于x轴对称，
根据已知得函数 的图象与函数 的图象有交点，
即方程 在 上有解，
即 在 上有解．
令 ， ，
则 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
由于 ， ，且 ，
所以 ．
故选：A．
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上
存在点 ，且点 关于原点对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原题等价于函数 的图象与函数 的图象有交点，即方程
有解，即 有解，令 ，利用导数法
求出函数的值域，即可求得答案函数 的图象与函数 的图象关于原点对称，
则原题等价于函数 的图象与函数 的图象有交点，
即方程 有解，即 有解，
令 ，
则 ，
当 时， ，
当 ， ，故 ，
由 ， ，
故当 时，
故 的取值范围为 .
故选：B.
20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同两点 、 均在函数 的图象上，且点 、 关于原点对
称，则称 是函数 的一个“匹配点对”（点对 与 视为同一个“匹配点对”）.已知
恰有两个“匹配点对”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图象关于原点对称的图象所对应的函数为 ，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数 与函数 有两个交点，
即方程 有两个不等式的正实数根，
即 有两个不等式的正实数根，
即转化为函数 图象与函数 图象有2个交点.
，
当 时， ， 单调递增.当 时， ， 单调递减.且 时， ， 时，
所以
所以 图象与函数 图象有2个交点.
则 ，解得 .
故选：B
21．（2024·江西·一模）已知函数 ，与函数 ，若 与 的图象上分别
存在点 ，使得 关于直线 对称，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设问题可化为函数 的反函数 的图像与 在区间 上有解的问
题.即方程 在区间 上有解，由此可得 ，即 ，所以 .
22．（2024·江西·模拟预测）函数 ， （ ），若 与 的图象上分别
存在点 ， 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 为函数 上一点，则 关于 对称的点为 ，
且在函数 图象上，所以 ，
得 ， ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ，所以 单调递增，所以 在 有最小值为 ，， ，所以 ，故 .
故选：B.
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
23．（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 至少存在一个零点
所以 有解
即 有解
令 ，
则
因为 ，且由图
象可知 ，所以
所以 在 上单调递减，令 得
当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减
所以
且当 时
所以 的取值范围为函数 的值域，即
故选：A
24．已知函数 的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则由题意可得函数 的图象与函数
的图象有三个交点，即方程 有三个不同的实数根．由 可得
，即 ，令 ，则直线 与函
数 的图象有三个交点，易得 ，当 或 时 ，当 时
，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数
的极小值为 ，极大值为 ．又 ， ，所以当
时，直线 与函数 的图象有三个交点，故实数 的取值范围为 ．故选B．
25．（2024·全国·高三假期作业）若存在两个正实数 、 ，使得等式 成立，
其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由 得 ，设 ， ，
则 ，则 有解，设 ，
为增函数， ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以当 时函数 取极小值， ，即 ，
若 有解，则 ，即 ，
所以 或 ，故选：B．
题型七：唯一零点求值问题
26．已知函数 有唯一零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 有零点，则 ，
令 ，则上式可化为 ，
因为 恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
故 为偶函数，
因为 有唯一零点，所以函数 的图象与 有唯一交点，
结合 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，
故 .
故选：D
27．（2024·全国·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数 的值为（ ）
A．0 B．－2 C．2 D．－1
【答案】B
【解析】设 ，
∴
故函数 为偶函数，则函数 的图像关于 轴对称，故函数 的图像关于直线 对称，
∵ 有唯一零点
∴ ，即 ，
经检验， 仅有1个零点 .
故选：B.28．已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】把函数等价转化为偶函数 ，利用偶函数性质， 有唯一零点，由
得解.因为 ，
令 则 ，
因为函数 有唯一零点，
所以 也有唯一零点，且 为偶函数，图象关于 轴对称，由偶函数对称性得 ，所以
，解得 ，
故选：D.
29．（2024·广东茂名·二模）已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题设， ，可得： ，
由 ，易知： 关于 对称.
当 时， ，则 ，
所以 单调递增，故 时 单调递减，且当 趋向于正负无穷大时 都趋向于正无穷大，
所以 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即 ，解得 .
故选：C
30．已知关于 的函数 有唯一零点 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．4
【答案】B
【解析】 ，令 ，
则有 是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即 ，从而 .
当 时，有3个零点，舍去.故 ，此时 ，则 ，故 .
故选：B
题型八：分段函数的零点问题
31．（2024·河南开封·模拟预测）已知 若函数 有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ,
则 ,
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
所以 时， .
当 时， ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
所以 时， .
画出函数 的图象如图所示：
因为函数 有两个零点，
所以 与 的图象有两个交点，由图可知 或 .
所以 的取值范围为 .
故选:C.
32．（2024·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①当 时， 则 只有一个零点0，不符合题意；
②当 时，作出函数 的大致图象，如图1， 在 和 上各有一个零点，符合题意；
③当 时，作出函数 的大致图象，如图2， 在 上没有零点．
则 在 上有两个零点，此时必须满足 ，解得 ．
综上，得 或 ．
故选：A
33．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，则 ，
在同一直角坐标系中分别作出 ， 的大致图像如图所示，
观察可知，它们有2个交点，即函数 有2个零点；
综上所述，函数 的零点个数为3.
故选：C.34．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数 ， 若函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，
，
，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，
所以我们求出 时零点个数即可，
， ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，而 ，故 在 有1零点，
，故 在 上有1零点，图像大致如图所示：
故 在 上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在 上也有2个零点，且 ，故
共5个零点，
故选：D.
35．若函数 有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】根据题意， 时， ，此时
时， ; 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
时，
所以 在 上无零点
从而 时， 有2个零点，根据二次函数的性质可得
故选：D.
题型九：零点嵌套问题
36．（2024·辽宁·二模）已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，
且 ，则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
【答案】A
【解析】把f（x）的零点转化为 的零点，令 ， ，可得方
程 有两实根 ， ，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得
， ，进一步得到 ， ，结合 ，可得 ，
， ，则可知 ， ，则
.
∴∴
令 ， ，则 ，
∴
令 ，解得
∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
∴ ， ，
∴a﹣3
∴ .
设关于t的一元二次方程有两实根 ， ，
∴ ，可得 或 .
∵ ，故
∴ 舍去
∴ 6， .
又∵ ，当且仅当 时等号成立，
由于 ，∴ ， （不妨设 ）.
∵ ，可得 ， ， .
则可知 ， .
∴ .
故选：A.
37．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个不同的零点 ，且．则实数 的值为（ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】D
【解析】令 ，则 ，当 时 ， 是增函数，当 时 ， 是减函
数；
又 趋向于0时 趋向负无穷， 趋向于正无穷时 趋向0，且 ，
令 ，则 ，要使 有3个不同零点，
则 必有2个零点 ，若 ，则 或 ，
所以 有两个不同的根 ，则 ，
所以 或 ，且 ， ，
①若 ， ，与 的范围相矛盾，故不成立；
②若 ，则方程的两个根 一正一负，即 ， ；
又 ，则 ，且 ， ，
故 .
故选：D
38．（2024·高三·浙江绍兴·期中）已知函数 有三个不同的零点 .其中
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
故当 时， ， 是增函数，
当 时， ， 是减函数，
可得 处 取得最小值 ，
， ，画出 的图象，由 可化为 ，
故结合题意可知， 有两个不同的根，
故 ，故 或 ，
不妨设方程的两个根分别为 ， ，
①若 ， ，
与 相矛盾，故不成立；
②若 ，则方程的两个根 ， 一正一负；
不妨设 ，结合 的性质可得， ， ， ，
故
又 ， ，
．
故选：A．
题型十：等高线问题
39．已知函数 若函数 有四个不同的零点，记作
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于 ，可知其对称轴为 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
作出函数 的图象如图所示：
若函数 有四个不同的零点，
即方程 有四个不同的实根 ，
则 与 有四个不同的交点，交点横坐标依次为 ，
对于 ， ，可得 ，所以 ；
对于 ， ， ， ， ，可得 ；
故
由对钩函数性质可知 在 上单调递增，
得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B.
40．设函数 若关于 的方程 有四个实根 ，则
的最小值为（ ）
A． B．23 C． D．24
【答案】B【解析】
做出函数 的图像如图所示，
由图可知， ，由 ，可得 或 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
41．已知函数 ，若 ，且 ，则 ·c的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，
当 时，可得 ，可得 ，
所以 在 上单调递减，且 ；
当 时，可得 ，可得 ，所以 在 上单调递增，且 ；
当 时， 在 单调递减，且 ，
画出函数 的图象，如图所示：
若 ，且 ，则 且 ，
所以 .
故选：B.
42．（2024·贵州贵阳·一模）设函数 ，则下列判断错误的是（ ）
A．方程 的实数根为-2，0， ，2
B．若方程 有3个互不相等的实数根，则 的取值范围为
C．若方程 有4个互不相等的实数根 ，则 的取
值范围为
D．若方程 有3个互不相等的实数根 ，则 的取值范围为
【答案】D
【解析】A.当 时， ，得 或 ，
当 时， ，解得： 或 ，
所以方程 的实数根为-2，0， ，2，故A正确；
B.如图，若方程 有3个互不相等的实数根，则 与 有3个交点，则 ，故B正确；C.如图，根据对称性可知 ， ，即
，则 ，
则 ，由 的实数根并结合函数的图象，可知 ，函数
在 上单调递增，所以 ，所以 的取值范围为 ，故C
正确；
D.如图，由C的说明可知， ， ，若方程 有3个互不相等的实数根，则 ，当
时， ，所以 时， ，则 的取值范围为 ，故D错误.
故选：D题型十一：二分法
43．某同学用二分法求函数 的零点时，计算出如下结果： ，
，下列说法正确的有（ ）
A． 是满足精度为 的近似值.
B． 是满足精度为 的近似值
C． 是满足精度为 的近似值
D． 是满足精度为 的近似值
【答案】B
【解析】 ，又
A错误；
，又 ，
满足精度为 的近似值在 内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
44．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根(精确度为 )可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由表格可得，函数 的零点在 之间．
结合选项可知，方程 的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.
故选：C.
45．用二分法求函数 的零点时，初始区间可选为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】 ，
则 ，即初始区间可选 ．
故选：C.
46．函数 在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间 至少二等分
（ ）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】C
【解析】区间 的长度为 ，第 次二等分，区间长度变为 ；
第 次二等分，区间长度变为 ；第 次二等分，区间长度变为 ；第 次二等分，区间长度变为 ；
第 次二等分，区间长度变为 ；第 次二等分，区间长度变为 ，
第 次二等分，区间长度变为 .
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间 至少二等分 次.
故选：C
47．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
48．函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数 在区间 内有一个根，
因为 ， ，
所以根在 内，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，
因为 ， ，
所以根在区间 ，
因为 ，所以不满足精确度，
继续取区间中点 ，
因为 ， ，
所以根在区间 内，
因为 满足精确度，
因为 ，所以根在 内，
所以方程的一个近似解为 ，
故选：C
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程 在 上恰有一个实数根 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】若关于 的方程 在 上恰有一个实数根 ，则 ，即 在
上恰有一个实数根 ，
因为 恰为 的最小正周期，且当 时， ，所以 ，
若 ，则关于 的方程 在 上有两个实数根，因为 ，所以 ，此时
，
即 ，解得 ，所以 ．
故选：A
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【答案】A
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 的实数根，令 ，
则 ，显然 ，所以 ，
构造函数 与函数 ，则方程 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 有两个零点，
设为 ，所以 ， ，
即 ，
另外发现，将 代入，可得 ，
所以 也是函数 的零点，说明 ，即 .
故选:A.3．（2024·内蒙古·三模）已知奇函数 的定义域为R ，且 ，则 在
上的零点个数的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解析】由 ，可得 的图象关于点 对称，
又 是奇函数，所以 ，则 的周期为3，
所以 ，
则 .故 在 上的零点个数的最小值为9.
取 ，显然满足题意，且恰好在 上有9个零点.
故选：B.
4．（2024·四川内江·三模）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知函数 有两个零点，即 有两个不等实数根，
即函数 的图象有两个不同交点；
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，当 时， ，
作出 的图象如图：当直线 与 图象相切时，设切点为 ，
此时 ，则 ，
故此时 ，
结合图象可知，要使函数 的图象有两个不同交点，
需满足 ，
故 ，
故选：D
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的方程
有两个不等实根 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得：
函数 的定义域为 ， ，
所以函数 在 上单调递增.
令 .
因为关于 的方程 有两个不等实根 ， ，
则关于 的方程 有两个不等实根 ， .
作出函数 的图象，如图所示：.
所以结合图形可知 .
由 可得： ， ，
解得： ，即有 .
设 ，
则 .
令 ，得： ；令 ，得： ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 .
故选：B.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，由 ，故 ，
由 与 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
又 ， ，故 ，故B错误；
令 ，由函数 的图象及 的图象可得 在 上只有一个零点，
由 ，故 ，
又 ，
，故 ，故C错误；
有 ，故A错误； ，故D正确.
故选：D.
7．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ，
其图象如下图，则
因为 ， ，令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又因为关于x的方程 恰有3个不同的实数根，
即 和 共有3个不同的实数根，
由 的图象知， 只有一个解为 ，
所以 有两个不同的解，且根中不含 ，
即 与 有两个不同的交点，
与 的图象如下图所示：
所以 .
故选：A.
8．（2024·全国·模拟预测）已知两函数 与 的图象有两个交点，则不满足条件的
的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
函数 与 的图像有两个交点可转化为方程 ，
即 有两个不相等的实数根.
因此相当于斜率分别为 和1的直线组成的折线与曲线 有两个交点.由 解得 或 ，
函数 ， ， 的图像如图，由图易得：
①当直线 与曲线 相切时，两函数图像有两个交点.
由 ，得 ，
由判别式 ，得 或 .
②当直线 过点 时，两函数图像有两个交点.
由 ，得 .
③当直线 过点 时，两函数图像有三个交点，
由 ，得 ，故A不满足条件.
故选：A.
9．（多选题）已知 为方程 的根， 为方程 的根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】设 ，
由 知 均在 上单调递增.
由 ，可得 ，则 ，
整理得 ，A不正确；
由 ，可得 ，则 ，从而 ，B正确；
由 ，可得 ．因为 ，所以 ，
则 ，即 ，即 ，则 ，C正确；
令 ，则 ，当 时， 单调递增，
因为 ，且 ，所以 ，即 ，
从而 ，D正确.
故选：BCD
10．（多选题）（2024·福建福州·三模）已知实数 满足： ，则下列不等式中可能成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
如图在同一坐标系中分别作出函数 的图象，
依题意直线 与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线 在①位置时，显然有： ；
当直线 在②位置时，显然有： ；
当直线 在③位置时，显然有： .
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·河北·三模）已知 有三个不相等的零点 且
，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．C．
D． 为定值
【答案】BCD
【解析】由方程 ，可得 ．
令 ，则有 ，即 ，
令函数 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，作出图象如图所示，
要使关于 的方程 有三个不相等的实数解 ，
且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， 或 ， ，
令 ，若 ， ，
则 ，故 ，
若 ， ，则 ，无解，综上： ，故C正确；
由图结合单调性可知 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 则方程
可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】ABCD
【解析】 ，有 ，
当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，
当 时， 有极小值 .
，由二次函数的性质可知，
在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 有极大值 .
由 的图象如图所示，
由 得 或 ，由图象可知 有3个解， 可能有1，2，3，4个解，
若 ，则 有3个解；
若 ，则方程 可能有4，5，6，7个解.
故选：ABCD.
13．（2024·江西景德镇·三模）不经过第四象限的直线 与函数 的图象从左往右依次交于三个
不同的点 ， ， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】易知 必存在斜率，设 ： ，
不经过第四象限， ，
设 ， ， ，其中 ，
， ， 为方程 的三个根，
构造函数 ，
则 ，所以
，易知 .
我们先将 视作为定值，则由 ，
可得 .
又 ，且 ， .
于是 的取值随着 的增大而减小，
故当 时 取最大值，此时 ，
解得 .同理 .
， .
若 ， ， 成等差，所以 ，
即 ，
整理即 ，解得 ，
，
即 的最小值为 .
故答案为：
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则
在 上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【解析】由 ，可得 的图象关于点 对称，
又 是奇函数，所以 ，
则 的周期为3，所以 ，
，
而 ，则 .
故 在 上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
15．（2024·重庆·模拟预测）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的公共点，
则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ，依题意关于 的方程 恰有三个不等实数根，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，当 时 ，当 时 ，
所以 ，
令 ，则 （ 且 ），
则 （ 且 ），
令 （ 且 ），
因为 在定义域 上单调递增， 在 ， 上单调递增，
所以 在 ， 上单调递增，
又 ， ，
要使关于 的方程 恰有三个不等实数根，
则 与 有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于 ，另一个交点的横坐标位于 之间，
则 ，解得 ，
综上可得实数 的取值范围为 .
故答案为：
16．（2024·山东泰安·三模）已知函数 若曲线 与直线 恰有2个公
共点，则 的取值范围是 .【答案】
【解析】当 时， ，其在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
则 ；
当 时， ， ，其在 上单调递减，且 .
作出 的图像，如图，易知 的取值范围是 .
故答案为：
17．（2024·天津·二模）设 ，函数 . 若 在区间 内
恰有2个零点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当 时，只要 ，就有 ，
故 在 上至多可能有1个零点，从而在 上至多可能有1个零点，不满足条件；
当 时，有 ，
所以 在 上没有零点.
而若 ，则只可能 ，所以 在 上至多可能有1个零点.
故 在 上至多可能有1个零点，从而在 上至多可能有1个零点，不满足条件；
当 时，解 可得到 ，且由 知 ，
从而 确为 在 上的一个零点.再解方程 ，即 ，
可得两个不同的实数根 .
而 ， .
故 确为 在 上的一个零点，
而当且仅当 时，另一根 是 在 上的一个零点.
条件为 在区间 内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能： 或 .
解得 ；
当 时，验证知 恰有两个零点 和 ，满足条件.
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
1．（2021年天津高考数学试题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数
的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ， 单调递减，且 ， 单
调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当 时， ，
在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为
有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函
数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，
满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果.
画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数 在 的零点个数
为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.由
，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．5．（2019年浙江省高考数学试卷）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，得 ； 最多一个
零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不
合题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．
6．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数 若函数 恰有
4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
7．（2021年北京市高考数学试题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））函数 在 的
零点个数为 ．【答案】
【解析】［方法一］：【最优解】
由题可知 ，或
解得 ,或 故有3个零点．
故答案为： ．
方法二：
令 ，即 ，解得， ，分别令 ，得
，所以函数 在 的零点的个数为3．
故答案为： ．
【整体点评】方法一：先求出 的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最
优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知 ，函数
若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
分类讨论：当 时，方程 即 ，
整理可得： ，
很明显 不是方程的实数解，则 ，
当 时，方程 即 ，
整理可得： ，
很明显 不是方程的实数解，则 ，令 ，
其中 ，
原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，
同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，
结合 观察可得，实数 的取值范围是 .
10．（2019年江苏省高考数学试卷）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的
周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在
区间 上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】 .
【解析】当 时， 即
又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要使 在
上有 个实根，只需二者图象有 个交点即可.
当 时，函数 与 的图象有 个交点；
当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为 ，即 ，得 ，函数 与
的图象有 个交点；当 过点 时，函数 与 的图象有 个交点，此时 ，
得 .
综上可知，满足 在 上有 个实根的 的取值范围为 .
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））设 是定义在R 且周期为1的
函数，在区间 上， 其中集合 ，则方程 的解的
个数是
【答案】8
【解析】由于 ，则需考虑 的情况，
在此范围内， 且 时，设 ，且 互质，
若 ，则由 ，可设 ，且 互质，
因此 ，则 ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 ，
因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等，
只需考虑 与每个周期 的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 的部分，
且 处 ，则在 附近仅有一个交点，
因此方程 的解的个数为8．
12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)= ，
当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，
再对应确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.
由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f(x)<0的解集是
当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当 时，
，由 在 上只能有一个零点得 .综上， 的取值范围为
.
13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 与 在 上有两个不同的
交点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .
故答案为：
