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第 07 讲 函数与方程
目录
考点要求 考题统计 考情分析
从近几年高考命题来看，高考对函数
（1）理解函数的零点与方程
2022年天津卷第15题，5分 与方程也经常以不同的方式进行考
的解的联系.
2021年天津卷第9题，5分 查，比如：函数零点的个数问题、位
（2）理解函数零点存在定
2021年北京卷第15题，5分 置问题、近似解问题，以选择题、填
理，并能简单应用.
空题、解答题等形式出现在试卷中的
（3）了解用二分法求方程的
不同位置，且考查得较为灵活、深
近似解．
刻，值得广大师生关注．
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）
—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【解题方法总结】
函数的零点相关技巧:
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.
f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数 是奇函数，且 ，若
是函数 的一个零点，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 是函数 的一个零点，则 ，于是 ，即 ，
而函数 是奇函数，则有 ，
所以 .故选：D
【对点训练1】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知 是函数 的一个零点，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 是函数 的一个零点，
所以 ，即 ，故 ，
则 ．
故选：D．
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点
依次为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点
；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
；
故选：A.
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 是方程 的一个
解，则 可能存在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 ，
因为 是方程 的一个解，
所以 是方程 的解，令 ，则 ，当 时， 恒成立，
所以 单调递增，
又 ，
所以 .
故选：C.
【解题总结】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数
y=f (x)
的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【例2】（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间 内，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 和 在 上是增函数，
∴ 在 上是增函数，∴只需 即可，即 ，解得 .
故选：D.
【对点训练5】（2023·河北·高三学业考试）已知函数 是R上的奇函数，若函数
的零点在区间 内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 是奇函数，∴ ， ， ，易知 在 上是增函数，
∴ 有唯一零点0，
函数 的零点在区间 内，∴ 在 上有解， ，∴ ．
故选：A．
【对点训练6】（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数 ，若 在区间 上有零点，
则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
此时 ，则 ，
令 ，
当 时， ，
记 ，则 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
故 ,所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【对点训练7】（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数 在上有零点，则实数 的取值范围___________.
【答案】
【解析】当 时， ， ， ，
故 ，由零点存在性定理知： 在区间 上至少有1个零点；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
，
由零点存在性定理知， 在区间 至少有1个零点；
当 时，
，
因为 ， ，所以 ， ，
当 时， ， ， 递增，
当 时， ， ， 递减，
故 在 上递增，在 上递减，
又 ，即在 上， ，
故 在区间 上没有零点．
所以，当 时，函数 在 上有零点.
令 ， ，
可知 为奇函数，图象关于原点对称，从而，当 时，函数 在 上有零点.
又当 时， ，符合题意，
综上，实数 的取值范围 ．
故答案为： ．
【解题总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不
等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【例3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ， ，
则 ________.
【答案】4
【解析】由 ，即 ，
即 ，
令 ，则 ，
即 ，即 .
由 ，得 ，
设函数 ，显然该函数增函数，
又 ，
所以函数 在 上有唯一的零点，
因此 ，即 ，
所以 .
故答案为：4.
【对点训练8】（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且
，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为 ，所以
当 时，有 ，解得 ，所以当 时， 有两个零点，不符合题意；当 时，由 ，解得 或 ，且有 ， ，
当 ， ， 在区间 上单调递增；
当 ， ， 在区间 上单调递减；
当 ， ， 在区间 上单调递增；
又因为 ， ，
所以 ， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
当 时，令 ，解得 或 ，且有 ，
当 ， ， 在区间 上单调递减；
当 ， ， 在区间 上单调递增；
当 ， ， 在区间 上单调递减；
又因为 ， ，
所以 ， 存在一个负数零点，要使 存在唯一的零点 ，
则满足 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： .
【对点训练9】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数 ，若函数
在 上恰有三个不同的零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】当 时， ，因为 恰有三个不同的零点，
函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解，
而 无解，故 .
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点，如下图，
当 时， 与 必有1个交点，
所以当 时， 有2个交点，
即 ，即令 在 内有两个实数解，
，
当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点，
即 ，即 与 的图象有三个交点，如下图，当 时， 必有1个交点，
当 时， 与 有2个交点，
所以 ，即 在 上有 根，
令
故 ，解得： .
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
【对点训练10】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则a的范围是
______.
【答案】
【解析】设切线切点为 ，因 ，则切线方程为：
.
因过 ，则 ，由题函数 图象
与直线 有两个交点. ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ， ， .
据此可得 大致图象如下.则由图可得，当 时，曲线 有两条过 的切线.
故答案为：
【对点训练11】（2023·天津北辰·统考三模）设 ，对任意实数x，记
．若 有三个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】
【解析】令 ，
因为函数 有一个零点，函数 至多有两个零点，
又 有三个零点，
所以 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等，
且函数 与函数 的零点均为函数 的零点，
由 可得， ，所以 ，
所以 为函数 的零点，
即 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
由已知 有两个根，
设 ，则 有两个正根，
所以 ， ，
所以 ，故 ，
当 时， 有两个根，
设其根为 ， ，则 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
则 ， ，
且 ， ，
所以当 时， ，
所以当 时， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点，
且 与 互不相等，
所以当 时，函数 有三个零点.
故答案为： .【对点训练12】（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足 ，
则 ___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
故 ，即 ，
即 .
由 ，得 .
令 ，因为增函数+增函数=增函数，所以函数 在R上单调递增，
而 ，故 ，解得 ，则 .
故答案为：
【解题总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零
点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如
果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
有且只有三个不同的实数解，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
由 可得 ，
所以，关于 的方程 、 共有 个不同的实数解.①先讨论方程 的解的个数.
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
所以，方程 只有两解 和 ；
②下面讨论方程 的解的个数.
当 时，由 可得 ，可得 或 ，
当 时，由 ，可得 ，此时方程 有无数个解，不合乎题意，
当 时，由 可得 ，
因为 ，由题意可得 或 或 ，
解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则关于 的方程
有 个不同实数解，则实数 满足（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】令 ，作出函数 的图象如下图所示：由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .
故选：C.
【对点训练14】（2023·四川资阳·高三统考期末）定义在R上函数 ，若函数 关于点
对称，且 则关于x的方程 ( )有n个不同的实数解，则n
的所有可能的值为
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【答案】B
【解析】∵函数 关于点 对称，∴ 是奇函数， 时， 在 上递减，在
上递增，
作出函数 的图象，如图，由图可知 的解的个数是1，2，3.
或 时， 有一个解， 时， 有两个解， 时， 有三个解，
方程 中设 ，则方程化为 ，其判别式为 恒成立，方
程必有两不等实根， ， ， ，两根一正一负，不妨设 ，
若 ，则 ， ， 和 都有两个根，原方程有4个根；
若 ，则 ， ，∴ ， ， 有三个根， 有一个根，原方程共有4个根；
若 ，则 ， ，∴ ， ， 有一个根， 有三个根，原方程共
有4个根．
综上原方程有4个根．
故选：B.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】A
【解析】 在 和 上单增， 上单减，又当 时，
时， 故 的图象大致为：
令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不仿设 ，当 时，恰有
，此时 ，有 个根， ，有 个根，当 时必有 ，此时 无
根， 有 个根，当 时必有 ，此时 有 个根， ，有 个根，综上，
对任意 ，方程均有 个根，故选A.
【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型五：函数的对称问题
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存在点P，函数g（x）
=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
若函数 的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，
则等价为 在 上有解，即 ，在 上有解，
由 ，则 ，
当 时， ，此时函数 为单调增函数；
当 时， ，此时函数 为单调减函数，
即当 时， 取得极小值同时也是最小值，且 ，即 ，
当 时， ，即 ，
设 ，要使得 有解，
则当 过点 时，得 ，过点 时， ，解得 ，
综上可得 ．
故选C．【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 与 的图象关于直线 对
称，若 无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ， ，设 ，当 时，
，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，所以 ，
的图象如下，由图可知，当 时， 与 无交点，即 无零点．
故选：D．
【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存在点 ，函数
的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 与函数 的图象关于x轴对称，
根据已知得函数 的图象与函数 的图象有交点，
即方程 在 上有解，
即 在 上有解．令 ， ，
则 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
由于 ， ，且 ，
所以 ．
故选：A．
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与
的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 上一点 ， ，且 关于 轴对称点坐标为 ，
在 上，
有解，即 有解．
令 ，则 ， ，
当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减；在 上单调递增
， ， ，
有解等价于 与 图象有交点，
．
故选：B
【解题总结】转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【例6】（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 至少存在一个零点
所以 有解
即 有解
令 ，
则
因为 ，且由图
象可知 ，所以
所以 在 上单调递减，令 得
当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减
所以
且当 时
所以 的取值范围为函数 的值域，即
故选：A
【对点训练19】（2023·湖北·高三校联考期中）设函数 ，记 ，若函数
至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得函数 的定义域为 ．
又 ，
∵函数 至少存在一个零点，
∴方程 有解，
即 有解．
令 ，
则 ，
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
∴ ．
又当 时， ；当 时， ．
要使方程 有解，则需满足 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故选D．
【对点训练20】（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个 ，使得方程
成立．则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原方程化简得: 有解,令 ,
,当 时, ,所以f(x)在 单调递减,当x
