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专题突破卷 06 导数中的隐零点问题
题型一：不含参函数的隐零点问题
1．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证 ；
(3)若 有两个零点，求 的取值范围．
2．已知函数 .
(1)试研究函数 的极值点；
(2)若 恰有一个零点，求证 .3．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
4．已知函数 （ ）的两个零点为 ，且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
5．设函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 恰有两个零点，求a的取值范围．
6．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有零点，求实数a的取值范围．
7．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（ 为常数）密切相关，请解决下列问题：
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明 有唯一极值点．
8．给定函数 .
(1)判断函数 的单调性，并求出函数 的极值;
(2)证明:当 时， .
9．已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线与直线 垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 有两个零点，求a的取值范围．
10．已知函数 ， .
(1)求证： 有且仅有三零点.
(2)设 为最小的零点，证明：当 ， .
题型二：含参函数的隐零点问题11．已知函数 ， ．
(1)若 在 上有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：若 在 上恒成立，则 ．
12．已知函数 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 在区间 上存在唯一零点 ，证明： ．
13．已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，证明： ．
14．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 .证明：
（i）函数 有唯一极值点；
（ii）若函数 有唯一零点 ，则 .15．已知 .
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)记 的最大值为 ，求证： .
16．设函数 .
(1)当 时，求 在 上的最大值;
(2)讨论 的单调性;
(3)若 ，证明 只有一个零点.
17．已知函数 .
(1)若函数 在 处有极小值，求 的值；
(2)当 时，求证 .
18．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证 ．
19．已知函数 ．(1)当 时，求函数 过原点的切线方程；
(2)若 有三个零点，求a的取值范围．
20．已知函数 .
(1)当 时，求曲线y=f (x)在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
题型三：函数零点的存在性
21．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)证明： 至少有两个零点.
22．（1）求证： 在 上有唯一的零点；
（2）函数 的单调区间．
23．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时，证明：函数 有且仅有一个零点.24．已知函数 ．
(1)求证： 时， ；
(2)讨论 的单调性；
(3)求证： 恰有一个零点．
25．已知函数
(1)判断函数 的单调性并证明；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
26．已知函数 .
(1)设 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，函数 ，试判断是否存在 ，使得 为函数 的极小值点.
27．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.28．已知 ，函数 .
(1)若 ，解不等式 ；
(2)证明：函数 有唯一零点；
(3)设 ，证明： .
29．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，设 .求证： 存在极小值点.
30．设函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)证明： ．1．设函数 .
(1)求函数 的单调增区间；
(2)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于x的不等式 有解？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ）
2．设函数 ，其导函数为 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值.
3．已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)当 时，证明： ．4．设函数 ， ，其导函数为 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ， 为整数，且当 ， ，求 的最大值．
5．已知 ，函数
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)讨论函数 在 上值是否存在最小 ？若存在，求出 的值域；若不存在，请说明理由.
6．已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意的 ， ，不等式 恒成立，求整数 k的最大值．7．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性与极值；
(2)当 时，函数 在 上的最大值为 ，求使得 上的整数k的
值（其中e为自然对数的底数，参考数据： ， ）
