相似三角形基本模型综合培优训练（五）（解析版）_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_06专项讲练_2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形基本模型综合培优训练（五） 1．如图，在正方形 中，点 是 上一点，且 ，连接 交对角线 于 点，过 点作 交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点 作 ，交 延长线于 ， ， 在正方形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 是正方形 对角线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在正方形 中， ， ， ， ； 故选：D． 2．如图，在 中， ， ，点D在 上， ， ，则 ______． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作 于E，过点C作 于F． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 是等腰三角形， 又∵ ，∴E是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 解得： ， ∴ ． 故答案为： ． 3．如图，四边形ABCD中， ， ，点E在BC边上， ，若 ，则AC的长为______． 【答案】17 【详解】解：如图，过点 作 的平行线交 的延长线与点 ，过点 作 的平行线，交 与点 ， 交 的延长线与点 ， 则： ， ∵ ， ∴四边形 是矩形，∴ ， ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ （ASA），∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ （AAS），∴ ， ∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ∵ ，∴ ， 设 ，则： ， ； ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，即： ，解得： ， ∴ ； 故答案为： ． 4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和C 落在EH边上同一点P处，点A、D的对称点分别是 、 .若 ， ， ，则矩 形ABCD面积为 ___________.【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=a， 由翻折可知： ， ∵PE=2PH， 设PE=2x，PH=x， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴PF=2PG， 设PF=2b，PG=b， ∵FG=5， 根据勾股定理可得： 或 （舍去）， ∴ ， ∵ ，∴ ∴ ， ∴ ， ∵AD=BC， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴AB=CD=2， ∴矩形ABCD的面积 ， 故答案为： 5．如图，点 ，点 分别在 轴， 轴上， ，点 为 的中点，连接 并延长交反比例函数 的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，点 关于直线 的对称点恰好在反比例函数图象 上，则 ___________． 【答案】【详解】解： 点 ，点 分别在 轴， 轴上， ，点 为 的中点， 直线 的解析式为 ， 设 ， 点 在反比例函数 的图象上， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ，则 ， ． 点 和点 关于直线 对称， ， ， 在反比例函数 的图象上， ， 解得 ， （舍去）， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ．故答案为： ． 6．如图，在 中， ，点D在BC的延长线上，连接AD，若 ， ，则AB＝_____． 【答案】 【详解】解：如图，作 交 于点M，作 交 于点H，作 交 于点 N，作 交 于点G，连接 ． ∵ ， ∴ 为等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴点A，H，C，N四点共圆， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，设 ，则 ， 由勾股定理可得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∵ ， ∴ （舍去），∴ ， 故答案为： ． 7．如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ， ， ，则 的长为______． 【答案】 【详解】解：过点 作 交 于点 ，如图所示． ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． 在 中， ，即 ， 解得： ， ， ． 在 中， ，即 ， 解得： ． 故答案为： ． 8．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并 延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H．若 = ，则 的值________．【答案】 【详解】解：连接EH． ∵ BFE是由 BCE折叠得到， ∴BE⊥CF， ∴∠ECF+∠BEC=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠BCE=90°， ∴∠ECF+∠CGD=90°， ∴∠BEC=∠CGD， 在 BCE和 CDG中， ， ∴ （AAS）；∴CE=DG， 由折叠可知BC=BF，CE=FE，∴∠BCF=∠BFC， ∵四边形ABCD是正方形，∴ ，BC=CD，∴∠BCG=∠HGF， ∵∠BFC=∠HFG，∴∠HFG=∠HGF，∴HF=HG，∵ ，设CE=2x，则BC=CD=3x，FE=CE=2x，∴DE=CD－CE=x， 设HF=HG=a，∴DH=DG－HG=2x－a， ∴由折叠可知∠BFE=∠BCE=90°，∴∠EFH=90°， ∴ ，∴ ， ∴x=4a或0（舍弃），∴DH=2x－a=7a， ∴ ． 故答案为： ． 9．（1）如图1， 都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明； （2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系； ②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中， ，则 ． 【答案】（1） ，证明见解析；（2）① ，证明见解析；② 【详解】解：（1） ， 证明：∵ 都是等边三角形， ∴ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ；（2）① ， 证明：如图2，连接BD、DF， ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②如图3，连接BD、DF， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 10．从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个 角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形” 【特例感知】（1）如图， 与正方形 的边 、 分别交于点E、点F，此时 对正方形 的 “投射图形”就是四边形 ；若此时 是一个定值，则四边形 的面积____（填“会”或 “不会”）发生变化． 【迁移尝试】 （2）如图，菱形 中， ， ，E、F分别是边 、 上的动点，若 对菱形 的“投射图形”四边形 的面积为 ，求 的值． 【深入感悟】 （3）如图，矩形 中， ， ， 的两边分别与 、 交于点E、点F，若 ， ，求 对矩形 的“投射图形”四边形 的面积． 【综合运用】 （4）如图，某建筑工地有一块由围挡封闭起来的四边形空地 ，其中， ， ， m， m，现打算在空地上建一块四边形堆场 用于堆放建筑垃圾，需要拆除围挡 和 ，若 m，求这个四边形堆场面积的最大值．【答案】（1）不会（2） （3） （4） 【详解】（1）如下图所示，连接 ， 四边形 面积 ， ∵ ， ∴四边形 面积 ， ∴当 是一个定值，则四边形 的面积不会发生变化 故答案为：不会； （2）如图，过A点作 ， 分别交 、 延长线于点 、 ，连接 ∵四边形 为菱形 ∴ ， ∵菱形ABCD面积 ， ∴ ， ∴四边形 面积 ，∵ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ， ∴ ∴ （3）如图，在 上取点 满足 ，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ∵ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∵ ， ，∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 面积 ． （4）延长 、 交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ，∴ 设 ，则 ∴四边形 面积 ， ， ， ， ∵ ， ∴四边形 面积随 增大而增大， ∵ ， ∴当 时，四边形堆场面积的最大值 ． 11．如图1， ， ．点P以 的速度从点A出发，沿 方向向点B运动，同时点Q以 的速度从点B出发，沿B→C→A方向向点A运动，当一个运动点 到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t（s）． (1)AD的长为 ； (2)求t为何值时， 平行于 的一边； (3)当点Q在边BC上运动，求t为何值时， 的面积为 【答案】(1) ；(2) 或t=5；(3)2【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ． （2）解：当点Q在 上， 时， ∵ ， ∴ ， 由题意可知 ， ， ∴ ， ∴ 当点Q在 上， 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 综上所述，当 或 时，PQ平行于 的一边． （3）解：如图1，点Q在边 上运动，此时， ， 过点Q作 于E，∴ ，即 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 的面积= ， 整理，得 ， 解这个方程，得 （不合题意，舍去）， ∴当点Q在边 上运动， 时， 的面积为 ． 12．如图，在矩形 中， ， ，点E在 上， ，P是 上一点，将矩形沿 折叠，点A落在点 处，连接 ，与 相交于点F，设 ． (1) ； (2)若点 在 的平分线上，求 的长； (3)求点 ，D距离的最小值，并求此时 的值； (4)若点 在 的内部，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3)8， ；(4) 【详解】（1）在矩形 中， ， ， 即 ，故答案为： ； （2）如图1， ∵ 平分 ， ∴ ， 由翻折可知， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）如图2，连接 ， ． 在 中， ， ， ， ∴ ， ∵根据折叠的性质有： ， ∴在 中， ， 当 在 上时， ， 即： ， ∴ 的最小值为8， 此时 在 上，即E， ，D共线， 如图，根据折叠的性质有： ， 即： ， 即 是直角三角形，则有 ， 根据 ，有 ， 则有 ， 解得 ， ∴ ； （4）如图3﹣1中，当点 落在 上时， ∵ ， ， ∴ ， 又∵在矩形 中，有 ， ∴ ， ∴ ， 即 ； 如图3﹣2中，当点 落在 上时，过点P作 于H，易证明四边形 是矩形， 则 ， ． 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 即当 时，点 在 的内部． 13．如图1，已知 和 均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段 上， ． (1)【观察猜想】 将 绕点A逆时针旋转，连接 ，如图2，当 的延长线恰好经过点E时： 的值为________； 的度数为___________度； (2)【类比探究】 如图3，继续旋转 ，连接 ， ，设 的延长线交 于点F，请求出 的值以及 的度 数； (3)拓展延伸：若 ， ，当C、A、D三点在同一直线上时，请直接写出线段 的 长． 【答案】(1) ，45；(2) ， ；(3) 或 【解析】（1）解：如图，设 与 交于O， ∵ 和 都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， , ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． 故答案为： ， ； （2） 如图，设 交 于点O．∵ ， 都是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ； （3） ∵ ， ， ∴ ， ， 分类讨论：①当点E在 上方时，如图， 由（1）同理可证 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； ②当点E在 下方时，如图，∵C、A、D三点在同一直线上， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 综上可知线段 的长为 或 ． 14．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到 ED．(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2 ，CE＝1+3 ，求 AE的长． (2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作 FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝ EF． (3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所 在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离． 【答案】(1) ；(2)见解析；(3) 【解析】（1）解：如图1， 在 ACB中，AB＝2 ，∠B＝45°， ∴AC＝2 •sin45°＝2， 在 ACF中，∠ACF＝∠ACD+∠DCE＝15°+45°＝60°，AC＝2，∴CF＝2•cos60°＝2× ＝1，AF＝2•sin60°＝ ， ∴EF＝CE−CF＝3 ， 在 AEF中，AF＝ ，EF＝3 ， ∴AE＝ ； （2） 证明：如图2， 作FN BC交DC于N， ∴∠NFM＝∠MBC， 设∠EDF＝α，∠EBG＝β，则∠DEF＝∠EDF+∠EBG＝α+β， 在 EDM和 BCM中， ∵∠DME＝∠CME， ∴∠DEF+∠EDM＝∠EBG+∠BCM， ∴（α+β）+90°＝β+（∠ACD+∠ACB）＝β+（∠ACD+90°）， ∴∠ACD＝α， ∴∠ACD＝∠EDF， ∵FG AC，∠ACD＝90°， ∴∠BGF＝∠ACB＝90°， ∴∠EBG+∠BFG＝∠FGM+∠MGB， ∵MG＝MB， ∴∠MGB＝∠EBG， ∴∠GFM＝∠GFM， ∴FM＝MG， ∴FM＝BM， 在 FMN和 BMC中，， ∴ FMN BMC（ASA）， ∴BC＝FN，∠FNM＝∠BCM＝90+α， ∴∠FND＝180°−∠FNM＝90°−α， ∵∠FDN＝∠EDC−∠EDF＝90°−α， ∴∠FDN＝∠FND， ∴FN＝DF， ∴DF＝BC， ∵BC＝AC， ∴DF＝AC， 在 DEF和 CDA中， ， ∴ DEF CDA（SAS）， ∴AD＝EF； （3） 解：如图， 连接C ，作 F⊥BC于F， ∴BE垂直平分C ∵AM+M ＝AM+MC≤AC，∴当点A，M，C共线时，（AM+M ） ＝AC， 最小 ∵∠D＝∠ACB＝90°，∠BMC＝∠DME， ∴ BCM EDM， ∴ ， ∴DM＝2CM， ∵CD＝AD＝6， ∴CM＝2， 在 BCM中， BM＝ ， 由 得， CG＝2×3， ∴CG＝ ， ∴C ＝2CG＝ ， ∵∠BCM＝90°， ∴∠BCG+∠MCG＝90°， ∵∠CGM＝90°， ∴∠MCG+∠BMC＝90°， ∴∠BMC＝∠MCG， ∵∠CF ＝∠BCM＝90°， ∴ BCM FC， ∴ ，∴ ， ∴ ， 即： 到BC的距离是 ． 15．正方形 的边长为4，点E在 上，点F在 上，且 ， 与F交于G点． (1)如图1，求证：① ，② ． (2)连接 并延长交 于点H． ①若点E为 的中点（如图2），求BH的长； ②当点E在 的边上滑动（不与B、C重合）时，直接写出 的最小值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) ；CG的最小值为2 ． 【解析】（1） 证明：①∵四边形 是正方形， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； ②∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ； （2） 解：①∵E为 的中点，即 ， ∴ ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②取AB的中点H，连接 ．由（1）得： ， ∵A、B为定点， ∴G点的轨迹为以 为直径， 中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时， 的值最小， ∵ ， ，∴ ∴ 的最小值为 ．