文档内容
第 06 讲 函数与方程
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第7题,5分 求函数零点或方程根的个数 正弦函数图象的应用
函数奇偶性的定义与判断
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
求含sinx(型)函数的值域和最值
2024年新Ⅱ卷，第9题,6分 求函数零点或方程根的个数 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 判断零点所在的区间
用
利用导数研究函数的零点
根据函数零点的个数
2023年新I卷，第15题,5分 余弦函数图象的应用
求参数范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定
义，难度不定，分值为5-6分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点
个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容知识讲解
1、函数的零点
一般的，对于函数 ，我们把方程 的实数根 叫作函数 的零点。
2、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内必有零点，即 ，使得
注：零点存在性定理使用的前提是 在区间 连续，如果 是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设 在区间 连续）
（1）若 ，则 “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 的性
质与图象，如果 单调，则“一定”只有一个零点
（2）若 ，则 “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果 在区间 中存在零点，则 的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果 单调，则 一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号是一个在 单增连续函数， 是 的零点，且 ，则 时，
； 时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若 为增（减）函数，则 也为增（减）函数
② 若 为增函数，则 为减函数；同样，若 为减函数，则 为增函数
③ 若 为增函数，且 ，则 为增函数
（2）复合函数单调性：判断 的单调性可分别判断 与 的单调性（注意要
利用 的范围求出 的范围），若 ， 均为增函数或均为减函数，则 单调
递增；若 ， 一增一减，则 单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、 求函数的零点及零点个数
1．（2024·山东青岛·二模）函数 的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】令 ，解出 即可.
【详解】因为 ，
令 ，解得 ，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·江苏·一模）函数 在区间 内的零点个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
【详解】令 ，得 ，则 ；
故 ， ，
所以 在 共有4个零点，
故选： C.
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数 的零点为 ， 的零点为 ，
∴函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ，
函数 与函数 图象的交点的横坐标为 ，
作函数 、函数 、函数 的图象如图6，点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ，
∵函数 与函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象关于直线 对称，
∴点A、B关于直线 对称，又∵点A、B在直线 上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴ ，故选项A错误；
对于B：易知 ，故选项B正确；
对于C：∵ ， ， ，∴ ，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知 ， ，∴ ，即 ，，故选项D正确，
故选:BCD．
1．（2023·上海徐汇·一模）函数 的零点是 ．
【答案】 /0.5
【分析】
利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为 .
，令 可得 ，解得 或 （舍），
故答案为： .
2．（2024·河北·模拟预测）函数 在区间 内所有零点的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数 ，由零点意义求得 或 ，再
借助正余弦函数图象性质求解即得.
【详解】依题意，
，
由 ，得 或 或 （不符合题意，舍去），
函数 是偶函数，在 上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，
正弦函数 的周期为 ，方程 在 的两根和为 ，
在 上的两根和为 ，因此 在 上
的两根和构成首项为 ，末项为 的等差数列，共有 项，所有根的和为 .
故选：B
3．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数 的零点分别为 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意得 ，进而得 即可求解判断；对于B，先明确零点取
值范围，由 取值范围再结合 即 即可求解判断；对于C，由 即 以及零点
的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将 转化成 即可判断.
【详解】对于A，由题 ， ，
所以 即 ，
所以 ，故 ，故A正确；
对于B，由 得 ，
故函数 与 图象交点横坐标和 与 图象交点的横坐标即为函数 和
的零点 ，
如图，由图象性质可知 ，
又由A得 ，故 ，
所以 ，故B错；
对于C，由上 即 ， 以及 得：
，故C对；
对于D，由AB得 ， ， ，
所以 ，故D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由 和 得 即 ，二是数形结合明确零点的取值范围为 且 ，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.
考点二、 求方程的根 及根的个数
1．（2024·浙江金华·三模）若函数 ，则方程 的实数根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令 ，则 ，且
，当 时，结合图象可知，只有1个解 ，当
时，结合图象可知，只有1个解 ，当 时，结合图象可知，由3个解
，从而得到答案.
【详解】 ，
当 时， ，则 ，
此时 在 上单调递减，
当 时， ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
画出函数 和 的图象如下：令 得，
故 ，
令 ，则 ，且 ，
当 时，结合图象可知，只有1个解 ，
当 时，结合图象可知，只有1个解 ，
当 时，结合图象可知，由3个解 ，
综上，方程 的实数根的个数为5.
故选：D
2．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程 的根个数不可
能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线 与函数 的图象交点的个数，作出 的图象，分 、
、 三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
将原问题转化为直线 （过定点 ）与函数 的图象交点的个数，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 与函数 的图象没有交点；当 时，直线 与函数 的图象有三个交点；
所以直线 与函数 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知函数 ，则方程 在区间 上的
所有实根之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】首先确定 的图象关于 对称，然后分 和 两种情况进行讨论，利用数形结合的方
法，在同一直角坐标系中画出 、 ，通过判断两函数在 上的交点个数即可求出
函数 的实根和.
【详解】因为 ，
则 ，
所以 的图象关于 对称，因为 ，此时 不成立，
当 时，由 ，即 ，则 ，
， ， ，
在同一平面直角坐标系中画出 与 ， 的图象如下所示：由图可得 与 在 上有且仅有 个交点，图象都关于 ，
所以所有的实根之和为 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出 关于 对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横
坐标，根据对称性计算.
2．（22-23高一上·上海·期末）已知 ，则方程 的实数根
个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【分析】作出 的图象，令 ，由对勾函数的性质作出 的图象，再对 分类讨论，
将问题转化为关于 的方程 （具体到每种类型时 为常数）的解的个数问题.
【详解】因为 ，
当 时 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ， ， ，作出 的图象，如图所示：
令 ，由对勾函数的性质可知 在 ， 上单调递减，
在 ， 上单调递增，且 ， ，则 的图象如下所示：
①当 时，令 或 ，
则关于 的方程 有两个实数解，关于 的方程 的方程也有两个实数解，
即此时对应 的个数为 ，（以下处理方法类似）；
②当 时，令 或 或 ，此时对应 的个数为6；
③当 时，
令 或 或 或 ，
此时对应 的个数为 ；
④当 时， 或 或 或 ，此时对应 的个数为 ；
⑤当 时， 或 或 ，此时对应 的个
数为 ；
⑥当 时， 或 ，此时对应 的个数为3；
⑦当 时， ，此时对应 的个数为2.
综上可知，实数根个数不可能为5个.故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是作出 的图象，再对 分类讨论，将问题转化为关于 的方程
（具体到每种类型时 为常数）的根的问题.
考点三、 求图象 的 交点 及交点 个数
1．（2024·全国·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，
则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 与 都是偶函数，其中 ， ，
在同一坐标系中，作出函数 与 的图象，如下图，由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 的零点为 轴上的所有整数，则函数
的图象与函数 的图象的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意明确函数的表达式，数形结合求出二者的交点个数.
【详解】因为函数 的零点为 轴上的所有整数，所以函数 的最小正周期 ，
所以 ，且 ，结合 ，可得 ，
所以 ．
作出函数 与函数 的图象，如下图所示，
可知函数 的图象与函数 的图象有 个交点，
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
考点 四 、 用零点存在性定理判断零点所在区间1．（2022高三·全国·专题练习）函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】 的定义域为 ，
又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，
根据函数零点存在性定理可得函数 的零点所在的大致区间为 ，
故选：B.
2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】由已知，可知 为增函数，
且 ，
，
根据零点存在定理，函数 在 有零点，且零点是唯一的.
故选：B
1．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断 的单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ，又 ，易知函数 在 上单调递增，
又 ，所以在 内存在一个零点 ，使 .
故选：C.
考点 五 、 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1．（2024·全国·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
2．（2024·安徽合肥·三模）设 ，函数 ，若函数 恰有5个零点，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，可确定当 时，函数的零点个数，继而作出 的大致图像，考虑 时
的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设 ，当 时， ，此时 ，
由 得 ，即 ，解得 或 ，
所以 在 上有2个零点；时，若 ，对称轴为 ，函数 的大致图象如图：
此时 ，即 ，则 ，
所以 无解，则 无零点， 无零点，
综上，此时 只有两个零点，不符合题意，
若 ，此时 的大致图象如下：
令 ，解得 （ 舍去），
显然 在 上存在唯一负解，
所以要使 恰有5个零点，
需 ，即 ，解得 ，
所以 ．
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
3．（23-24高一上·重庆·期中）已知 ，若关于x的方程 在 上有解，则a的
取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知可得 .当 时，设 ， ，根据函数的单调性
以及函数增长速度的快慢，结合函数图象，列出不等式，求解即可得出；当 时，代入方程求解，即可
判断；当 时，设 ，根据函数的单调性，结合零点存在定理，列出不等式组，求解
即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
当 时，设 ， ，
函数 在 上单调递减， 在 上单调递减.
但是函数 的递减的速度要慢于函数 的递减速度，
且 .
作出函数 以及 的图象
如图，要使 与 在 上有交点，
应满足 ，即 .
又 ，所以 ；
当 时，由已知可得 ，整理可得 ，解得， 或 （舍去），
此时方程有解 ，满足；
当 时，设 ，
函数 以及 均为 上的增函数，
所以， 在 上单调递增.
要使 在 上有解，根据零点存在定理可知，
应有 ，即 ，解得 .
综上所述， .
故选：B.
1．（2024·全国·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令 ，分离参数 ，构造新函数 结合
导数求得 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令 ，即 ，令
则 ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， ，
因为曲线 与 在 上有两个不同的交点，
所以等价于 与 有两个交点，所以 .故答案为：
2．（22-23高三上·河北张家口·期末）（多选）已知 ，方程 ， 在区
间 的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】题意说明 分别是函数 和 的图象与函数 的图象交点的横坐标，利用
这三个函数图象都关于直线 对称得 ， ， 直接变形判断
AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定 ，构造函数 ，确定其单调性，由单调
性判断D．
【详解】已知两方程化为 ， ，
所以 分别是函数 和 的图象与函数 的图象交点的横坐标，
易知 和 的图象关于直线 对称，
而函数 的图象可以看作是由 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
因此 的图象也关于直线 对称，所以点 与 关于直线 对称，
， ，
，A正确；
又 ，所以 ， ，
从而 ，B正确；
，当且仅当 即 时取等号，
由于 ，而 ，因此 ，等号不成立，即 ，C错误，
，
设 ，则 ，
， ，
所以 ，所以 ，
时， 是减函数，所以由 得 ，
所以 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定 分别是函数 和
的图象与函数 的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线 对称得出
的关系．
3．（2024·天津·高考真题）若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与 ，则两函
数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当 时，计算函数定义域可得 或 ，计
算可得 时，两函数在 轴左侧有一交点，则只需找到当 时，在 轴右侧无交点的情况即
可得；当 时，按同一方式讨论即可得.【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数 与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
一、单选题
1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数 在 上都是增函数，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 的零点所在的区间为 .
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝ax2＋2x＋1有且只有一个零点，则实数a的值为 （ ）
A．1 B．0
C．0或1 D．一切实数
【答案】C
【解析】略
3．（2024·山西·模拟预测）方程 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数 和 的图象，由图象交点个数得出结论．
【详解】设 ， ．在同一直角坐标系内画出 与 的大致图象，
当 时， ；当 时， ．
根据图象可得两个函数共有11个交点．
故选：C．
4．（2024高三上·全国·竞赛）方程 的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据对数的定义 即可求解.
【详解】依题意，
原方程等价于
即 ，显然只有一个正实根.
故选：B.5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件先画出 在不同定义域内的图象，需要求解函数 的零点个数，令
，利用函数的图象求解 和 两个函数图象交点个数即可.
【详解】由题意可知， 的零点个数可以转化为 和函数 的图象交点个数，它们的函
数图象如图所示.
故选：C．
6．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 存在两个零点，则实数t的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用参变分离法，将函数 存在两个零点转化为函数 与函数 的图
象有两个交点，利用导数探究函数 的图象及趋势特征即得参数范围.
【详解】由 ， ，可得： ，令 ，
依题意，函数 存在两个零点，等价于函数 与函数 的图象有两个交点.
又 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 时， 取得极大值 ，且当 时， ，当 时， ，
故要使函数 与函数 的图象有两个交点.，需使 ，解得 .
故选：C.
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划） 在 上的零点个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.
【详解】依题意， ，
而 ，显然 且 ，因此 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
所以 在 上的零点个数是2.
故选：B
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 为偶函数，若函数 的零点个数为
奇数个，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【分析】由函数 的图象关于 对称得零点关于 对称，但 的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数 为偶函数，所以 ，
所以 的图象关于 对称，
令 ，则 ，
可得函数 的图象关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称，
则函数 的零点关于 对称，但 的零点个数为奇数个，
则 所以 .
故选：C.
二、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 所有零点之和为
【答案】
【分析】化简函数为 ，令 ，求得方程的根，即可求解.
【详解】由 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 或 或 ，所以零点之和为 .
故答案为： .10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝ 则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】方程有解，利用求函数的值域即可得到参数的范围.
【详解】当 时， ，即 有解，则 ；
当 时， ，即 有解，则 ，
即实数m的取值范围是 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，则使 有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断 ，此时可得 的单调性，依题意可得 ，令 ，结
合函数的单调性及零点存在性定理得到存在 使得 ，从而得到 有零点的充要条件为
，即可判断.
【详解】因为 ，
当 时 ， ，所以 ， 没有零点，故A错误；
当 时 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
，要使 有零点，则需 ，
即 ，令 ，则 在 上单调递减，
且 ， ， ，
所以存在 使得 ，
所以 有零点的充要条件为 ，所以使 有零点的一个充分条件是 .
故选：D
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【答案】A
【分析】令 ，即 ，构造函数 与函数 ，画出函数图象，可知两个函
数图象相交于两点，设为 ，得 ，进而得到 ，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 的实数根，令 ，
则 ，显然 ，所以 ，
构造函数 与函数 ，则方程 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 有两个零点，
设为 ，所以 ， ，
即 ，
另外发现，将 代入，可得 ，
所以 也是函数 的零点，说明 ，即 .
故选:A.
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 若关于 的方程 有5个不
同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】直线 与函数 的图象有5个交点，可得 是奇函数，可
得只需直线 与曲线 有2个交点即可，即方程 有2个实数根，利用导数即
可求解.
【详解】由题意得 ，则直线 与函数 的图象有5个交点.
显然，直线 与 的图象交于点 .
又当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以 是奇函数，
则必须且只需直线 与曲线 有2个交点即可，
所以方程 有2个实数根.令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 .
又当 趋近于0时， ,所以 ；
当 趋近于 时， ，
所以必须且只需 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数
形结合法.
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数 的零点分别
为 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令 ，利
用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出 ，即可求 的值．
【详解】由题意， ，
令 ，
因为 与 互为反函数，两个函数的图象关于直线 对称，
且 的图象也关于直线 对称，
设 ，
则 关于直线 对称，
所以 且
由 可得 ，
所以 ．
由 可得 ，
所以 ，
又 代入上式可得 ，
则 ．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数 ，若方程 有
五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】AB【分析】画出函数 图象，结合图象可知， 在 有两个零点，列出不等式组求
解即可.
【详解】 ,如图所示，
令 ，则 ，
若方程有五个不相等的实数根，则 有两个零点分别为 ， ，
由图象可知 ，即 ，可得 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 ，
故选：AB．
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数 的零点为 的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数 与 互为反函数，确定 的关系，再逐项分析判断
得解.
【详解】依题意， ， ，
则 分别是直线 与函数 ， 图象交点的横坐标，
而函数 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
又直线 垂直于直线 ，则点 与点 关于直线 对称，
则 ，于是 ， ， ，BC正确，A错误；
，即 ，D错误.
故选：BC三、填空题
7．（2024·宁夏银川·二模）函数 有两个零点,求a的范围
【答案】
【分析】根据零点的定义,转化为 的交点个数问题.结合反函数特征,得解.
【详解】 的零点两个,即 的根有两个.
即 的交点有两个.
而 互为反函数,图像关于 对称.
当两个图像均与 相切时,设切点横坐标为 .
分别求导 ,
所以 ,所以 . ,即 ,所以 .
当 时候,两图像有一个交点,当 ,
两图像有两个交点,即 的零点两个.综上所 .
故答案为: .
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数 有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】 是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.
【详解】显然 是函数 的一个零点，
当 时， ，此时函数 无零点；
当 时， ，由 ，得 ，
因为函数 有3个零点，必有 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当 时， ，由于 时 ， 时 ，
此时 只有一个零点，所以 不符合题意；
②当 时， ，函数 的大概图象如图所示，
，
由于 时， ， 时， ，当且仅当 ，即
时取等号，
此时在 上有 ，要使 有两个零点，只需 ，即 ；
③当 时， ，函数 的大概图象如图所示，
，由于函数 在 上是增函数， 故与x轴有且只有一个
交点，
要使 有两个零点，只需函数 有一个零点即可，
当 时， 恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数 ，若函数 恰有3个不同的零
点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数 在区间 和 上零点个数，然后根据在
区间 上有1个零点，函数 在区间 上有2个零点或根据在区间 上有2个零点，
函数 在区间 上有1个零点，即可得出结果.
【详解】当 时，令 ，得 ，即 ，该方程至多两个根；
当 时，令 ，得 ，该方程至多两个根，
因为函数 恰有3个不同的零点，
所以函数 在区间 和 上均有零点，
若函数 在区间 上有两个零点，
即直线 与函数 在区间 上有两个交点，
当 时， ；
当 时， ，此时函数的值域为 ，
则 ，解得 ，
若函数 在区间 上有1个零点，则 或 ，
解得 或 ，
若函数 在区间 上也有两个零点，令 ，解得 ， ，
则 ，解得 ，
若函数 在区间 上有1个零点，则 且 ，
解得 ；
所以当函数 在区间 上有1个零点，在区间 上有两个零点时，需满足
，解得 ，
当函数 在区间 上有2个零点，在区间 上有1个零点时,
需满足 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，
其中分段函数中一段可以有2个交点也可有1个交点，据此结合总共有3个交点求解，考查分类讨论思想，
是难题.
1．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
3．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2022·天津·高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至少有
3个零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ，求出
的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可求
得实数 的取值范围.
【详解】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
5．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
6．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
7．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰
有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当
和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
8．（天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
9．（全国·高考真题）函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利
用数形结合和方程思想解题．
10．（浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若函数 恰
有三个零点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当 时， 最多一个零点；当 时，
，利用导数研究函数的单调性，根据单
调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当 时， ，得 ； 最多一个
零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不
合题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．
