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第 25 讲 函数的零点问题
知识梳理
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函
数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )
在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出
其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点
的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将
整理变形成 的形式，通过 两函数图象的交点确定函数的
零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，
可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值
域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②
利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
必考题型全归纳
题型一：零点问题之一个零点
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例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数 ,
.
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）设 ， .
①求证：函数 存在零点；
②设 ，若函数 的一个零点为 .问：是否存在 ，使得当 时，函数
有且仅有一个零点，且总有 恒成立？如果存在，试确定 的个数；如果不
存在，请说明理由.
例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
， 在 上有且仅有一个零点 .
(1)求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则 在 上有且仅有一个零点 ，且 .
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
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(2)证明：当 时， 有且只有一个零点；
(3)若 在区间 各恰有一个零点，求 的取值范围.
变式1．（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）已知 ，函数 ，
.
(1)证明：函数 ， 都恰有一个零点；
(2)设函数 的零点为 ， 的零点为 ，证明 .
题型二：零点问题之二个零点
例4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设 .
（ⅰ）证明： 存在两个零点 ， ；
（ⅱ）证明： 的两个零点 ， 满足 .
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例5．（2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数
．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，证明：函数 有且仅有两个零点，两个零
点互为倒数．
例6．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数 ．
（1）若函数 在 处取得极值，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时， ，证明：函数 有且仅有两个零点，且两个
零点互为倒数．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 .证明函数 有且仅有两个零点；
（2）若函数 存在两个零点 ，证明： .
变式3．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 在
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其定义域内有两个不同的零点．
（1）求 的取值范围；
（2）记两个零点为 ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，
求 的取值范围．
变式4．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数 ， ，
．
(1)若 ，求证：
（ⅰ） 在 的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ） 在 上恰有两个零点；
(2)若 ，记 的两个零点为 ，求证： ．
题型三：零点问题之三个零点
例7．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 有
三个零点.
(1)求 的取值范围；
(2)设函数 的三个零点由小到大依次是 .证明： .
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例8．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)①当 时，试证明函数 恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为 ， ， ，且 ，试证明 .
例9．（2024·广西柳州·统考三模）已知 ．
（1）若函数 有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为 且 ，当 时，求实
数a的取值范围．
变式5．（2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数
（ ， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数
列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
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变式6．（2024·浙江·校联考二模）设 ，已知函数 有
个不同零点.
(1)当 时，求函数 的最小值：
(2)求实数 的取值范围；
(3)设函数 的三个零点分别为 、 、 ，且 ，证明：存在唯一的实数 ，
使得 、 、 成等差数列.
变式7．（2024·山东临沂·高三统考期中）已知函数 和 有相同的最大
值.
(1)求 ，并说明函数 在（1，e）上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：零点问题之max，min问题
例10．（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数
．
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(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数
在 上的零点个数．
例11．（2024·四川南充·统考三模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，讨论函数
在 上的零点个数．
例12．（2024·四川南充·统考三模）已知函数 ， 其中 为自然对
数的底数.
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，
讨论函数 在 上的零点个数.
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变式8．（2024·广东·高三专题练习）已知函数 ， ， .
(1)若函数 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ；
(2)用 表示m，n中的最小值，记函数 ， ，若函数
有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若直线 与曲线 相切，求a的值；
(2)用 表示m，n中的最小值，讨论函数 的零点个数．
变式10．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数
.
(1)若过点 可作 的两条切线，求 的值.
(2)用 表示 中的最小值，设函数 ，讨论
零点的个数.
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题型五：零点问题之同构法
例13．已知函数 ，若函数 在区间 内存在
零点，求实数 的取值范围
例14．已知 ．
（1）若函数 在 上有1个零点，求实数 的取
值范围．
（2）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
例15．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
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题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒
有 ．
（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ，
， ， ，求证： ．
例17．已知函数 ．
（1）如 ，求 的单调区间；
（2）若 在 ， 单调增加，在 ， 单调减少，证明：
．
例18．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
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（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， ，证明：
．
题型七：零点问题之三角函数
例19．（2024·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数 ．
(1)若对 时， ，求正实数a的最大值；
(2)证明： ；
(3)若函数 的最小值为m，试判断方程 实数根的
个数，并说明理由．
例20．（2024·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)证明：当 时， ；
(2)记 ，若 有且仅有2个零点，求 的值.
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例21．（2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知 ，且
0为 的一个极值点．
(1)求实数 的值；
(2)证明：①函数 在区间 上存在唯一零点；
② ，其中 且 ．
变式11．（2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知 ，
（n为正整数， ）．
(1)当 时，设函数 ， ，证明： 有且仅有1个零点；
(2)当 时，证明： ．
题型八：零点问题之取点技巧
例22．已知函数 为自然对数的底数，且 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
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例23．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
例24．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
变式12．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围
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