第07讲函数与方程（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 07 讲 函数与方程
知识精讲
函
数
与
基
本
知识点1 函数的零点 初
等
第
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系. 函
7
讲 数
函
数
与
方
程
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② .则函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1
必记结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
自主检测（1）（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A．
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y = x −
1
x
B．y= 2x2−x−1
C． y = lo g
a
x 2 （a0且 a  1 ） D． y =
 x
x
+
−
1
1
，
，
x
x


0
0
（2）（2026·山东泰安·一模）函数 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 x − 2 6 的零点所在的大致区间为（ ）
A．(1,2) B． ( 2 , 3 ) C． ( 3 , 4 ) D． ( 4 , 5 )
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫
做 ．
（2）给定精确度，用二分法求函数y = f (x)零点x 的近似值的步骤
0
①确定零点x 的初始区间 a,b ，验证 f (a) f (b)0
0②求区间
函
数
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初
等
第
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7
数 讲
函
数
与
方
程
2
( a , b ) 的中点 c
③计算 f ( c ) ，进一步确定零点所在的区间：
若 f (c)=0（此时x =c），则c就是函数的零点；
0
若 f (a) f (c)0（此时x (a,c)），则令b=c；
0
若 f ( c )  f ( b )  0 （此时x (c,b)），则令
0
a = c .
④判断是否达到精确度：若 a − b  ，则得到零点近似值 a （或 b ）；否则重复（2）~（4）
自主检测( 25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程 ln ( 2 x + 6 ) + 2 = 3 x 根的近似解时，令
f (x)=ln(2x+6)+2−3x，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程 ln ( 2 x + 6 ) + 2 = 3 x 的
一个近似解为（精确度为 0 .1 ）（ ）
x 1 .0 0 1.25 1.375 1.50
f ( x ) 1 .0 7 9 4 0 .1 9 1 8 -0.3604 -0.9989
A．1.125 B． 1 .3 1 2 5 C． 1 .4 3 7 5 D． 1 .4 6 8 7 5
题型突破
题型1 求函数的零点
例1-1（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．函数 f ( x ) = x + 1 的零点为 ( − 1 , 0 )
B．函数 f ( x ) = x + 1 的零点为−1
C．函数 f ( x ) 的零点，即函数 f (x)的图象与 x 轴的交点
D．函数 f (x)的零点，即函数 f (x)的图象与x轴的交点的横坐标
例1-2函数 y =
2
9x
− 1
− 2 x − 1 − 3 的零点为___ ___.
【变式训练1-1】 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数 f (x)=log x−3的零点，则实数a的值为
3
________．
【变式训练1-2】（2026·上海徐汇·二模）函数 y = 2 x − 1 的零点是__________.
【变式训练1-3·变考法】已知三个函数 f (x)=2x+x，g(x)=x−1， h ( x ) = lo g
3
x + x 的零点依次为a，
b，c，则（ ）
A．abc B．bac C．cab D．acb【变式训练1-4·变载体】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该
函数的零点.例如：函数
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3
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y = x 2 − 1 的零点为1和 − 1 .若函数 y = ( x + 2 ) ( x + 3 ) + m 的零点是和，则函数
y ( x ) ( x ) m   = − − − 的零点是____ __.
题型2 判断函数零点所在区间
例2-1（2026·天津东丽·二模）函数 f ( x ) = ln x −
1
x
的零点所在区间为（ ）
A． ( 0 ,1 ) B． ( 1 , 2 ) C． ( 2 , 3 ) D． ( 3 , 4 )
1
例2-2（2026·天津·模拟预测）方程 +1=log x的根所在区间为（ ）
2x 2
A． ( 0 ,1 ) B． ( 1 , 2 ) C． ( 2 , 3 ) D． ( 3 , 4 )
例2-3（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数 f(x)=ln(x+2)+2x−8的零点在区间 ( n , n + 1 )
内，且 n  Z ，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
方法技巧 零点所在区间的判断方法
（1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
（2）利用函数零点存在定理;
（3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与 x 轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上
的交点的横坐标来判断.
【变式训练2-1】（（25-26高三上·重庆·月考）已知方程 e x − 1 + 4 x − 4 = 0 的解为x ，求x 所在的区间为
0 0
（ ）
A． ( − 1 , 0 ) B． ( 0 ,1 ) C． ( 1 , 2 ) D． ( 2 , 3 )
【变式训练2-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知 f ( x ) 9 x 3 x 2 − − = ，则 f (x)的零点所在的区间是
（ ）
 1 1 1 1 3
A．0,  B． ,  C． ,  D．
 4 4 2 2 4
 3
4
,1

1 x 1
【变式训练2-3】（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数 f(x)=lnx−  + 的零点在下列区间内（ ）
2 e
A．(0,1) B． (1 , 2 ) C．(2,3) D．(3,4)
1
【变式训练2-4】（函数 f (x)=log x− x的一个零点所在区间为（ ）
2 3
A．(7,8) B．(8,9) C．(9,10) D．(10,11)【变式训练2-5·变考法】函数
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方
程
4
f ( x ) =
2
3
x − 5 + lo g
2
x 的零点在区间(k,k+1)(kN)内，则 k = _________．
题型3 根据零点所在区间求参数取值范围
例3-1已知函数 f ( x ) = ln x −
e
x
+ a 在 ( 1 , e ) 上存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,e) B． ( 1 , e ) C． ( e , e ) D． ( 2 , e )
例3-2已知函数 f(x)=3ax+1−3a，在区间(−1,1)内存在x ，使 f (x )=0，则实数a的取值范围是
0 0
（ ）
 1
A．−1,  B．
 6
 1
6
, + 

C． ( −  , − 1 ) 
 1
6
, + 

D． ( , 1 )  − −
例3-3（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数 f ( x ) 1 s in x  = − − （ 0   ）在 ( 0 , π ) 内存在唯一的 x
0
，使
得 f ( x
0
) = − 2 ，则的取值可能为（ ）
A．
1
2
B．1 C．
5
2
D．3
【变式训练3-1】已知函数 f ( x ) = x 2 − k x + 2 在区间 ( 1 , 3 ) 上有零点，则k的取值范围是（ ）
 11 ( )
A．3,  B． 2 2,3 C．
 3 
 2 2 ,3  D．

2 2 ,
1 1
3

【变式训练3-2】命题“ f ( x ) = ( 2 a − 1 ) x + 2 − a 在区间 ( − 1 ,1 ) 上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要
不充分条件是（ ）
A． a  − 1 或 a  0 B． a  − 1 C． a  − 1 或 a  1 D． 0  a  1
【变式训练3-3】（25-26高三上·全国·期末）若函数 f(x)=3ax−2a+1在区间(−1,1)上存在一个零点，则
实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 
1
5
或 a  − 1 B． a 
1
5
1
C．−1a D．
5
a  − 1
【变式训练3-4】（25-26高三上·四川成都·期末）函数 f ( x ) = 2 x −
3
x
+ a 的一个零点在区间(1,3)内，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A．(1,+) B．(−,−7) C． ( −  , − 7 )  ( 1 , +  ) D．(−7,1)
【变式训练3-5·变考法】函数 f (x)=x3−ax+2在
 1
2
, 2

有零点，则实数 a 的取值范围为 .
题型4 求函数零点或方程根的个数
例4-1【新思维】设 f(x)是定义在R上的奇函数．当x0时， f(x)=ex−2，则 f(x)的零点个数
为 ．例4-2（2025·上海·三模）函数
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f ( x ) =
5
2
s in
 π
2
x

− lo g
2
x 的零点个数为
x2+2x−3, x0
例4-3（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数 f (x)= ，则方程
lnx, x0
f ( x ) + 3 = 0 根的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
方法技巧 函数零点个数的判断方法
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f(
T
2
)=0.
【变式训练4-1·变考法】（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线 y = s in 3 x
1
与y= x的交点的个数为（ ）
3
A． 3 个 B． 5 个 C． 7 个 D． 9 个
【变式训练4-2·变载体】（2025·湖南长沙·三模）已知函数 f ( x ) =
 e
f
x，
( x
x
−

2
0
)
，
， x  0
，方程
1 1
f (x)=− x+ 的根的个数为（ ）
8 2
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数 f ( x ) = x −
2 x +
1
1 − x
的零点个数为______.
【变式训练4-4】函数 f (x)=x3− 3x−2的零点个数为 ．
【变式训练4-5·变载体】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f (x+1)=2f (x)，当
x   0 ,1 ) 时， f ( x ) = x 2 ，则当 x  ( − 4 , 9 6 ) 时，函数y=2f (x)−x−1的零点个数为（ ）
A．95 B． 9 6 C． 9 7 D．98
1 x
【变式训练4-6】方程  − log x =0的解的个数为_______________.
2 1
2
题型5 根据函数零点的个数求参数
例5-1已知直线y=x+m和曲线y= 1−x2 有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）A．
函
数
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基
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初
等
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方
程
6
(
− 2 , 2
)
B．  − 1 , 2  C．  1 , 2
)
D．  1 , 2 
x2+6x+3(x0)

例5-2已知函数 f (x)=elnx ，若函数g(x)= f (x)−3m有

(x0)
 x
4 个不同的零点，则实数 m 的取
值范围是（ ）
A．

0 ,
2
3

B．

0 ,
1
3

C．

−
2
3
,
2
3

D．

− 2 ,
1
3

例5-3【新设问】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数 f ( x ) =
 ln
x2
x
x
+
,
2
x
x

, x
0
 0
；若方程 f ( x ) = a 恰有
三个根，写出一个满足条件的实数a为__________.
方法技巧 已知函数零点求参数的方法
（1）已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
（2）已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【变式训练5-1】已知函数 f ( x ) = x 2 + a x + a 2 − 4 有唯一零点，则 a = ．
【变式训练5-2·变载体】已知函数 f ( x ) = ( x 2 − 3 x + 1 ) e x − a 恰有三个零点，则实数a的取值范围
为 ．
【变式训练5-3·变设问】已知二次函数 f ( x ) = a x 2 + 2 x + c ( a  0 ) 有且仅有一个零点，则
2
a
+
1 +
c
c
的最小
值为__________．
【变式训练5-4·变考法】若函数 f (x)=x2−bx+c的零点为1，2，则关于 x 的不等式 lo g
c
( x − 1 )  b 的解
集为（ ）
A．  x x  9  B．  x x  1 0  C．x|1x10 D．x|1x9
1
 −k，x0，
【变式训练5-5·变考法】（2026·北京朝阳·二模）设函数 f (x)=x 若关于
 lnx+1−k，x0．
x 的方程
f (x)=kx−1恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数k的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3题型6 利用零点的分布求参数
例6-1关于
函
数
与
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初
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讲 数
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x 的方程 x 2 + ( a − 2 ) x + 5 − a = 0 有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A． { a | a  − 5 或 a  − 4 } B．  a − 5  a  − 4 
C．
a a−5
D．
a a−4
例6-2若函数 f ( x ) = ln x −
1
x
+ a 在区间 (1 , e ) 上存在零点，则常数 a 的取值范围为（ ）
A． ( 0 ,1 ) B．
 1
e
,1
 1  1 
C． −1,1 D． +1,1
e  e 
log x+1,x0
例6-3【新思维】（2026·河北沧州·一模）已知函数 f (x)= 2 ,若函数y= f (f (x)) 至少有7
−2x2+ax,x0
个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． ( − 2 , +  ) B． ( −  , 2  C．  − 2 , 0 ) D． ( −  , − 2 
【变式训练6-1】已知函数 f ( x ) = ( a x 2 − 2 x + 1 ) e 2 x ，则 f ( x ) 有零点的充要条件是______.
【变式训练6-2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数 f ( x ) = lo g
2
( x + 1 ) − 1
2 x
+ m 在区间 ( 1 , 3  上有
零点，则m的取值范围为（ ）
 11 1  11 1
A．− ,−  B．  − ,− 
 6 2  6 2
C．

−  , −
1 1
6



−
1
2
, + 

D．

−  , −
1 1
6



−
1
2
, + 

 π
【变式训练6-3·变载体】（2026·河南南阳·二模）已知函数 f (x)=2sinx−  (0)，若
 4
f ( x ) 在区间
0,2π上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．
 1 3
8
,
1 7
8

B．
 1 7
8
,
2
8
1 
C．
 2
8
1
,
2 5
8

D．
 2 5
8
,
2 9
8

【变式训练6-4·原创题】已知函数 f ( x ) =
 lo
2 x
g
−
2
x
6 x
, 0
+

9 ,
x
x


2
2
，若正实数a,b,c,d 互不相等，且
f (a)= f (b)= f (c)= f (d)，则 a b c d 的取值范围为______．
题型7 比较零点的大小
例7-1【新角度】（2026·湖南湘西·三模）已知a,b,c分别为函数
f (x)=(x−1)2x−1,g(x)=(x−1)lgx−1,h(x)=(x−1)log x−1的零点，且a,b,c(1,+)，则（ ）
2A．
函
数
与
基
本
初
等
第 函
7
数 讲
函
数
与
方
程
8
a  c  b B． b  a  c C． c  b  a D．cab
例7-2【新思维】（2026·福建福州·三模）已知 2 lo g
2
x − x = 0 , 3 lo g
3
y − y = 0 , 5 lo g
5
z − z = 0 ，则 x , y , z 的大
小关系不可能为（ ）
A． x  y  z B．xz y
C．zxy D．zyx
【变式训练7-1·变考法】（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）已知函数 f ( x ) = 2 x +
1
2
x ，
g ( x ) = lo g
3
x +
1
2
x ， h ( x ) = x 3 +
1
2
x 的零点分别为
1
x、 x
2
、 x
3
，则
1
x、 x
2
、x 的大小关系为（ ）
3
A． x
1
 x
2
 x
3
B． x
2
 x
3
 x
1
C． x
3
 x
1
 x
2
D． x
2
 x
1
 x
3
【变式训练7-2·变载体】已知x 是函数
0
f ( x ) = 2 x +
1
1
− x
的一个零点，若 x
1
 ( 1 , x
0
) , x
2
 ( x
0
+  ) ，则
（ ）
A． f ( x
1
)  0 ， f (x )0 B．
2
f ( x
1
)  0 ， f ( x
2
)  0
C． f ( x
1
)  0 ， f ( x
2
)  0 D． f ( x
1
)  0 ， f ( x
2
)  0
【变式训练7-3】（2026·河南新乡·三模）已知函数 f ( x ) = 3 x + 3 x , g ( x ) = lo g
3
x + 3 x , h ( x ) = x 3 + 3 x 的零点
分别为 a , b , c ，则 a , b , c 的大小顺序为（ ）
A． b  c  a B． b  a  c C． c  a  b D． a  b  c
【变式训练7-4】（多选）已知函数 f ( x ) = (
1
3
) x − lo g
2
x ，实数 a 、b、 c 满足 f ( a )  f ( b )  f ( c )  0 ，其中
0  a  b  c ，若实数 x
0
为方程 f ( x ) = 0 的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A． x
0
 a B． x
0
 b C． x
0
 c D． x
0
 c
题型8 求函数零点的和的问题
例8-1（25-26高三上·江西赣州·期中）函数 f ( x ) = 6 s in x − x +  的所有零点的和为（ ）
A． 3 π B． 5 π C．3 D．5
−x2−2x,x0
例8-2【新设问】已知函数 f (x)= ，方程
 log
2
x,x0
f ( x ) − t = 0 有四个不同解 x
1
, x
2
, x
3
, x
4
，则
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
的取值范围是______．
【变式训练8-1·原创题】已知函数 f (x)=3x+x−2,g(x)=log x+x−2的零点分别为m,n，则m+n=
3
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练8-2·变考法】已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x)+ f(2−x)=0， f(1+x)= f(3−x)，当
x[1,2]时， f(x)=x3−2x2+x，则方程7f(x)−x+1=0所有根之和为（ ）A．
函
数
与
基
本
初
等
第
函
7 讲 数
函
数
与
方
程
9
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
1 0 B． 1 3 C． 1 5 D． 1 7
 e(x+1)2
,x0

【变式训练8-3·变载体】（2026·天津红桥·二模）设函数 f (x)=
4
，若
x+ −3,x0
 x
y = f ( x ) − a 有四个
不同的零点，从小到大依次为 x
1
, x
2
, x
3
, x
4
，则 x
1
x
2
+ x
3
+ x
4
的取值范围为______．
【变式训练8-4·变题型】（25-26高三上·上海·期中）已知函数
 π 1  π 3 f (x)=sinx+ cosx+ sin2x+ − .
 3 2  3 4
(1)求 f ( x ) 的对称中心坐标；
1 π 1 π  π π
(2)若af  x− − f  x+ 2对任意的x  ,  恒成立，求实数
2 6 2 12 4 3
a 的取值范围；
(3)已知函数 g ( x ) = f
 π
8
x −
π
3

，记方程 g ( x ) =
1
3
在区间  0 , 2 4  上的根从小到大依次为x,x ,,x ，求
1 2 n
x
1
+ x
2
+    + x
n
的值.
题型9 二分法求方程近似解
例9-1已知函数 f ( x ) = x 3 + 3 x − 6 ，利用二分法求 f ( x ) 的零点的近似值x ，若零点的初值区间为
0
[ 0 , 2 ] ，
精确度为 0 .6 ，则 x
0
可以是（ ）
A． 0 .2 5 B．0.5 C． 1 .2 5 D．1.75
例9-2设h(x)=2x+log (x+1)−2，某同学用二分法求方程h(x)=0的近似解（精确度为0.5），列出了
2
对应值表如下：
x − 0 .5 0.125 0.4375 0.75 2
h ( x ) − 2 .2 9 − 0 .7 4 − 0 .1 2 0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解 x
0
可能是（ ）
A． x
0
= − 0 .1 2 5 B． x
0
= 0 .3 7 5
C． x
0
= 0 .5 2 5 D． x
0
= 1 .5
【变式训练9-1】已知函数 f ( x ) = x 2 －log x−6，则用二分法求
2
f ( x ) 的零点时，其中一个零点的初始区
间可以为（ ）
A． 1 , 2  B．2,3 C．  3 , 4  D．  4 , 5 
【变式训练9-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数 f ( x ) = ln x + 4 x − 9 ，利用二分法求函数
f(x)在 ( 2 , 3 ) 内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
9 5 11 11
A．(2, ) B．( 9 , 5 ) C．( , ) D．( ,3)
4 4 2 2 4 4【变式训练9-3】在用二分法求方程
函
数
与
基
本
初
等
第
函
7
数 讲
函
数
与
方
程
10
ln x + 2 x − 4 = 0 在 1 , 2  上的近似解时，先构造函数
f ( x ) = ln x + 2 x − 4 ，再依次计算得 f ( 1 )  0 ， f (2)0， f ( 1 .5 )  0 ， f ( 1 .7 5 )  0 ， f (1.625)0，则该
近似解所在的区间可以是（ ）
A． ( 1 ,1 .5 ) B． ( 1 .5 ,1 .6 2 5 ) C． ( 1 .6 2 5 ,1 .7 5 ) D．(1.75,2)
【变式训练9-4】已知函数 f (x)=x3+x2−2x−2在区间 ( 1 , 2 ) 内存在一个零点，用二分法计算这个零点的
近似值时，给定精确度为 0 .1 ，其参考数据如下：
f (1.5)=0.6250 f ( 1 .2 5 ) = − 0 .9 8 4 4 f ( 1 .3 7 5 ) = − 0 .2 5 9 8 f ( 1 .4 3 7 5 ) = 0 .1 6 1 9
则这个零点的近似值为___________．（精确到 0 .1 ）
真题训练
1．（2025·天津·高考真题）函数 f(x)=0.3x− x的零点所在区间是（ ）
A． ( 0 , 0 .3 ) B． ( 0 .3 , 0 .5 ) C．(0.5,1) D． (1 , 2 )
2.（2026年高考Ⅱ卷真题）若函数 f ( x ) = 2 x + 2 − x − m 有两个零点，则m的取值范围是
3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线y=x3−3x与 y = − ( x − 1 ) 2 + a 在 ( 0 , )  + 上有两个不同的交点，则a
的取值范围为 ．
4．（2025·北京·高考真题）设函数 f ( x ) s in x c o s x ( 0 )    = +  ，若 f ( x + π ) = f ( x ) 恒成立，且 f(x)在
 π
0, 上存在零点，则的最小值为（ ）
 
 4
A．8 B．6 C．4 D．3
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 f ( x ) = a ( x + 1 ) 2 − 1 ，g(x)=cosx+2ax，当 x  ( − 1 ,1 ) 时，曲线
y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 恰有一个交点，则 a = （ ）
1
A．−1 B． C．1 D．2
2