第07讲函数的定义域与值域（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 07 讲 函数的定义域与值域
【基础知识全通关】
1.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合 {f (x ) |x ∈ A }叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
2.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数
的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层
函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
3.函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含
h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数
f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方
程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)
进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知
量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出
f(x)．
3.分段函数
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应
的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端
点。【考点研习一点通】
考点01函数的定义域
1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【答案】 C
【解析】 要使函数有意义，
则
解得0<x<4且x≠2.
2．函数y＝的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
【答案】 B
【解析】 要使函数有意义，x需满足
解得－1<x<0或0<x≤3，
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【答案】 [0,3)
【解析】 依题意有
解得0≤x<3，
∴g(x)的定义域为[0,3)．
思维升华 (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函
数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b
求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值
域．
(3)求函数定义域应注意的问题
①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而
应该用并集符号“∪”连接．
y  76xx2
4.函数 的定义域是_____.
[1,7]
【答案】 .【解析】
76xx2 0
由已知得 ,
x2 6x70
即
1 x7
解得 ，
[1,7]
故函数的定义域为 .
5.（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
利用抽象函数的定义域求解.
【详解】
（1）∵ 中的 的范围与 中的x的取值范围相同．
∴ ，
∴ ，
即 的定义域为 ．
（2）由题意知 中的 ，
∴ .
又 中 的取值范围与 中的x的取值范围相同，∴ 的定义域为 ．
（3）∵函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
∴ 的定义域为 ．
又 ，即 ，
∴函数 的定义域为 .
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数
的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层
函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求
出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值
域．
考点02 函数的值域
6. 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
【解析】解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，y ＝，即函数的值域为[，＋∞)．
min
【思维升华】求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；
(7)导数法．
7. 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝ ＋，x∈[1,2)；
(3)y＝(x>1)．
【解析】解 (1)方法一 y＝＝1－，
∵2x>0，∴2x＋1>1，
∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝得2x＝，
又∵2x>0，
∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，
即－1<y<1.
∴函数的值域为(－1,1)．
(2)函数y＝ ＋在[1,2)上单调递减，
当x＝1时，y＝，当x＝2时，y＝－1＋＝－，
∴－<y≤，
∴函数的值域为.(3)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1
≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
考点03 定义域与值域的应用
8. (1)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
【答案】 －
【解析】 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0
的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得
所以a＋b＝－－3＝－.
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
【解析】解 令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，
＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，
即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
【思维升华】 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数【解析】式的结构特
征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．
9.(1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】 要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0，
即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，
∴
解得a≥.
(2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
【答案】 3
【解析】 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1，
∵f(x)在[1，b]上为增函数，
∴函数f(x)的值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，
解得b＝3或b＝1(舍)．
【考点易错】
1．（广东高考真题）函数 的定义域是______．【答案】
【解析】
由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得
答案．
【详解】
由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ；
故答案为 ．
2．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数 的定义域是
，则函数 的定义域是_______．
【答案】
【解析】
令 ，根据函数值域的求解方法可求得 的值域即为所求的
的定义域.
【详解】
令 ，
则 ，在 上单调递增， ， ， ，
的定义域为 .
故答案为： .
1
f x x x0
3.函数 x 的值域为（ ）
2, ,2 2, ,2
A． B．  C． D．R
【答案】C
【解析】
 1 1 1
 f x  x  2 x 2 x
当 时， ， （当且仅当 ，
x0 x0  x x x
x1
即 时取等号），
 f x ,2
的值域为 .
C
故选： .
4.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，
则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 的定义域和值域都是 D．函数 的定义域和值域都是
【答案】BC
【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据 值域为 ，即可判断选项B，令
，
求 得范围即为定义域，由 可得值域，即可判断选项C，由 的值域为
可得 ，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：令 可得 ，所以函数 的定义域为 ，
故选项A不正确；
对于选项B：因为 值域为 ， ，所以 的值域为 ，可得函数
的值域为 ，故选项B正确；
对于选项C：令 ，因为 可得 恒成立，所以函数 的定义域
为 ，因为 ，所以函数 的值域为 ，故选项C正确；
对于选项D：若函数 的值域是 ，则 ，此时无法判断其定义域是否为 ，
故选项D不正确，
故选：BC
【巩固提升】
1．（2021·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
1
f(x)  2x
2.函数 lg(x1) 的定义域为（ ）
[2,2] [2,0) (0,2]

A． B．
(1,0)(0,2] (-1,2]
C． D．
【答案】C
【解析】
 x10 x1
1 
f(x)  2x lg(x1)0 x0 x(1,0)(0,2]
lg(x1)

2x0 x2

故答案选C
y  f(x1) [2,3]
3．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ，
y  f(2x1)
则 的定义域是（ ）
5
A．[0,2 ] B．[1,4] C．[5,5] D．[3,7]
【答案】A
【解析】
y  f(x1) [2,3]
因为函数 定义域是
1 x14
所以
5
0 x
所以12x14，解得： 2
5
故函数y  f(2x1)的定义域是[0,2 ]故选：A
4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集
的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.
【详解】
A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为 ，所以函数值域为 ，值域
是定义域的真子集不符合题意；
C.易得定义域为 ，值域为 ，定义域是值域的真子集；
D.定义域为 ，值域为 ，两个集合只有交集；
故选：AC
5 (1)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (1)[－1,0] (2)[0,3)
【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为R，
所以 对x∈R恒成立，
即 ，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
(2)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0<a<3.
综上所述，a的取值范围是[0,3)．
6. （2021·全国高一课时练习）已知函数 ， .（1）在平面直角坐标系里作出 、 的图象.
（2） ，用 表示 、 中的较小者，记作
，请用图象法和解析法表示 ；
（3）求满足 的 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3） .
【解析】
（1）化简函数 、 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；
（2）根据函数 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数 的解
析式；
（3）根据图象可得出不等式 的解集.
【详解】
（1） ， .
则对应的图象如图：
（2）函数 的图象如图：解析式为 ；
（3）若 ，
则由图象知在 点左侧， 点右侧满足条件，此时对应的 满足 或 ，
即不等式 的解集为 .