第07讲函数的定义域与值域（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 07 讲 函数的定义域与值域 【基础知识全通关】 1.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的 值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合 {f (x ) |x ∈ A }叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数 的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层 函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3.函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含 h(x)的式子，然后用x将h(x)代换． (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数 f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方 程组，解出a，b，c即可． (3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x) 进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知 量，如f(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)． 3.分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应 的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端 点。【考点研习一点通】 考点01函数的定义域 1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( ) A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4] C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 【答案】 C 【解析】 要使函数有意义， 则 解得01)． 【解析】解 (1)方法一 y＝＝1－， ∵2x>0，∴2x＋1>1， ∴0<<2，∴－1<1－<1， ∴函数的值域为(－1,1)． 方法二 由y＝得2x＝， 又∵2x>0， ∴>0，即(y＋1)(y－1)<0， 即－10，x＝t＋1， ∴y＝＝＝t＋＋1 ≥2＋1， 当且仅当t＝即t＝时取等号， ∴函数的值域为[2＋1，＋∞)． 考点03 定义域与值域的应用 8. (1)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． 【答案】 － 【解析】 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为{x|1≤x≤2}， 所以解得 所以a＋b＝－－3＝－. (2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围． 【解析】解 令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0， ＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0， 即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2， ∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}． 【思维升华】 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数【解析】式的结构特 征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解． 9.(1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0， 即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立， ∴ 解得a≥. (2)已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________. 【答案】 3 【解析】 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1， 则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1， ∵f(x)在[1，b]上为增函数， ∴函数f(x)的值域为. 由已知得(b－1)2＋1＝b， 解得b＝3或b＝1(舍)． 【考点易错】 1．（广东高考真题）函数 的定义域是______．【答案】 【解析】 由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得 答案． 【详解】 由 ，得 且 ． 函数 的定义域为： ； 故答案为 ． 2．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_______． 【答案】 【解析】 令 ，根据函数值域的求解方法可求得 的值域即为所求的 的定义域. 【详解】 令 ， 则 ，在 上单调递增， ， ， ， 的定义域为 . 故答案为： . 1 f x x x0 3.函数 x 的值域为（ ） 2, ,2 2, ,2 A． B．  C． D．R 【答案】C 【解析】  1 1 1  f x  x  2 x 2 x 当 时， ， （当且仅当 ， x0 x0  x x x x1 即 时取等号），  f x ,2 的值域为 . C 故选： . 4.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，值域为 ， 则（ ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 的定义域和值域都是 D．函数 的定义域和值域都是 【答案】BC 【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据 值域为 ，即可判断选项B，令 ， 求 得范围即为定义域，由 可得值域，即可判断选项C，由 的值域为 可得 ，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项A：令 可得 ，所以函数 的定义域为 ， 故选项A不正确； 对于选项B：因为 值域为 ， ，所以 的值域为 ，可得函数 的值域为 ，故选项B正确； 对于选项C：令 ，因为 可得 恒成立，所以函数 的定义域 为 ，因为 ，所以函数 的值域为 ，故选项C正确； 对于选项D：若函数 的值域是 ，则 ，此时无法判断其定义域是否为 ， 故选项D不正确， 故选：BC 【巩固提升】 1．（2021·河北衡水二中模拟）函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( ) A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞) 【答案】C 【解析】由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 1 f(x)  2x 2.函数 lg(x1) 的定义域为（ ） [2,2] [2,0) (0,2]  A． B． (1,0)(0,2] (-1,2] C． D． 【答案】C 【解析】  x10 x1 1  f(x)  2x lg(x1)0 x0 x(1,0)(0,2] lg(x1)  2x0 x2  故答案选C y  f(x1) [2,3] 3．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数 定义域是 ， y  f(2x1) 则 的定义域是（ ） 5 A．[0,2 ] B．[1,4] C．[5,5] D．[3,7] 【答案】A 【解析】 y  f(x1) [2,3] 因为函数 定义域是 1 x14 所以 5 0 x 所以12x14，解得： 2 5 故函数y  f(2x1)的定义域是[0,2 ]故选：A 4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集 的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断. 【详解】 A函数的定义域和值域都是R，符合题意； B.定义域为R，因为 ，所以函数值域为 ，值域 是定义域的真子集不符合题意； C.易得定义域为 ，值域为 ，定义域是值域的真子集； D.定义域为 ，值域为 ，两个集合只有交集； 故选：AC 5 (1)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________． (2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________． 【答案】 (1)[－1,0] (2)[0,3) 【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为R， 所以 对x∈R恒成立， 即 ，x2＋2ax－a≥0恒成立， 因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. (2)因为函数y＝的定义域为R， 所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解， 即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点． 当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点； 当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0