微专题01集合与常用逻辑用语的新定义及参数问题（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

微专题 01 集合与常用逻辑用语的新定义及参数
问题 集
合
与
常
用
微
考点梳理 专 逻
题 辑
考点 01 集合与元素 1 用
新
定 语
1．元素与集合的概念 义
及
参
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或
数
问
集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 题
2．集合的元素特征
确定性、互异性、无序性．
3．元素与集合的关系
若𝑎是集合𝐴的元素，则称𝑎属于集合𝐴，记作𝑎 ∈𝐴；
若𝑎不是集合𝐴的元素，则称𝑎不属于集合𝐴，记作𝑎 ∉𝐴． 1
4．常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作𝑁；正整数集，记作𝑁∗或𝑁 ；整数集，记作𝑍；
+
有理数集，记作𝑄；实数集，记作R．
5．集合的分类
有限集，无限集，空集∅．
6、集合的表示方法
列举法 、描述法、图像法
【对点练】（2026·上海嘉定·二模）已知集合
崇文翰墨
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A =  a , a 2  ，且1A，则a=___________．
考点 02 集合间的基本关系
1、子集、真子集、空集的概念
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
基本 集合A的所有元素都是集合B的
子集 𝐴 ⊆𝐵或𝐵 ⊇𝐴
关系 元素（𝑥 ∈𝐴则𝑥 ∈𝐵）集合A是集合B的子集，且集合 𝐴⫋𝐵(𝐵 ⫌𝐴)
真子集
B中至少有一个元素不属于A 𝐴⊂𝐵(𝐵 ⊃𝐴)
相等 集合A，B的元素完全相同 A=B
集
合
不含任何元素的集合．空集是任
与
空集 ∅
常 何集合A的子集
用
微
逻 专 2、常用的几个结论
辑 题
用 1 ① 空集是任何集合的子集：∅⊆𝐴；
新
语 定 ② 空集是任何非空集合的真子集；
义
及
③ 任何一个集合是它本身的子集；
参
数
问 ④ 对于集合𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶，如果𝐴 ⊆𝐵且𝐵 ⊆𝐶，那么𝐴 ⊆𝐶；
题
【对点练】（2026·湖北·模拟预测）已知集合
2
A =  2 , 3 , 4  ， B =  a , 2 a − 2  ，若 B  A ，则 a = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 03 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 𝐴∪𝐵 ={𝑥|𝑥 ∈𝐴,或𝑥 ∈𝐵} 𝐴∩𝐵 ={𝑥|𝑥 ∈𝐴,且𝑥 ∈𝐵} ∁ 𝐴={𝑥|𝑥 ∈𝑈,且𝑥 ∉𝐴}
𝑈
2、集合运算中的常用二级结论
（1）交集：A B=B A， A B  A ，A BB， A A = A ， A  =  ， A  B  A B = A ．
（2）并集：A B=B A，A BA，A BB， A A = A ，A =A， A  B  A B = B ．
（3）补集的运算性质： C
U
( C
U
A ) = A ， C
U
 = U ， C
U
U =  ，A (C A)=，A (C A)=U ．
U U
【对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集U ={1,2,4,6,7}，集合A={1,a−2,7}，
U
A = { 4 , 6 } ，则
a的值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
考点 04 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 𝑝⇒𝑞 𝑝⇏𝑞p是q的充分条件 p不是q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 集
合
2、充分必要条件的概念
与
如果𝑝⇔𝑞,那么𝑝与𝑞互为充要条件. 常
用
微
3、充分条件与必要条件和集合的联系 专 逻
题 辑
设𝑝：𝑥 ∈𝐴，𝑞： 𝑥 ∈𝐵则 1 用
新
定 语 p是q的充分条件
义
及
参
数
问
题
3
崇文翰墨
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p  q 𝐴⊆𝐵
p是q的必要条件 q  p 𝐴⊇𝐵
p是q的充要条件 p  q 且 q  p 𝐴=𝐵
p是q的充分不必要条件 pq且q p 𝐴⫋𝐵
p 是 q 的必要不充分条件 p   q 且 q  p 𝐵 ⫋𝐴
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p   q 且 q   p A  B 且 B  A
【对点练】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若“ s in c o s m   + = ”是“ 1 s in 2 m  + = ”的充分不必
要条件，则 m 的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
考点 05 全称量词和存在量词
1．全称量词与存在量词的概念
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 ∀
存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 ∃
2．全称命题与特称命题的概念
命题名称 命题结构 命题表示
全称命题 对𝑀中任意x，有 p ( x ) 成立 ∀𝑥 ∈𝑀，𝑝(𝑥)
特称命题 存在 M 中 x
0
，有 p(x )成立 ∃𝑥 ∈𝑀，𝑝(𝑥 )
0 0 0
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
∀𝑥 ∈𝑀，𝑝(𝑥) ∃𝑥 ∈𝑀，¬𝑝(𝑥 )
0 0
∃𝑥 ∈𝑀，𝑝(𝑥 ) ∀𝑥 ∈𝑀，¬𝑝(𝑥)
0 0
【对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题p:“xR，使得不等式ax2+2ax+20成立”为假命题，则实数
集
合
与
常
用
微
逻 专
辑 题
用 1
新
语 定
义
及
参
数
问
题
4
a 的取值范围为（ ）
A． ( 0 , 4  B．  2 , 4 ) C． ( 1 , 2 ) D．  0 , 2 
难点解读 01 集合新定义
集合新定义问题是在题目中给出一个从未见过的集合概念、运算或关系，要求考生在理解定义的基础上，
运用集合的基本知识（元素、子集、交并补、互异性等）进行分析、推理或计算。这类问题重在考查阅读
理解、信息迁移和逻辑推理能力。
一、常见新定义类型
新定义元素性质：如“好元素”“孤立元”“相邻元”，规定元素满足某种条件。
新定义子集族性质：如“可拆分集”“无和集”“k-基集”，对子集的整体结构提出要求。
新定义运算：如定义集合的加法、乘法等，然后计算或证明封闭性，如“差集”“对称差集”“乘积集”
等，给出明确的集合构造规则。
新定义关系：如“集合A与B关联”，要求判断两个集合是否满足某种关系。
二、核心知识点
集合元素的互异性：集合中任意两个元素不同，这是检验参数取值是否合理的首要依据。
集合的表示法：列举法（离散元素）、描述法（属性描述）、区间法（连续范围）。
子集与真子集：理解包含关系的含义，能准确写出给定集合的所有子集。
集合的运算：并、交、补、差，以及韦恩图辅助分析。
分类讨论思想：新定义往往需要分情况讨论（如元素个数、元素大小关系、奇偶性等）。
构造与反例：证明存在性时构造具体集合；证明命题为假时构造反例。
集合新定义问题的核心是翻译和特例探路，在掌握基本集合知识的基础上，通过反复阅读、举例、转化、
分类，最终转化为常规集合问题求解。
难点破解（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、bG，则
a + b 、 a − b 、 a b  G ，且 b  0
a
时， G”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命
b
题的是（ ）
A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则2022G；
C．集合 P =  ∣x x = 2 k , k  Z  是一个数域； D．有理数集Q是一个数域．
题型突破
题型 01 根据集合间的关系求参
【典例1】（2026·上海·高考真题）已知集合A=2,4，B=2,3,m，若AB，则m=____________.【典例2】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合A=0,−a，
集
合
与
常
用
微
专 逻
题 辑
1 用
新
定 语
义
及
参
数
问
题
5
崇文翰墨
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B =  1 , a − 2 , 2 a − 2  ，若 A  B ，则 a =
（ ）．
A．2 B．1 C．
2
3
D． − 1
题型 01 利用元素与集合的关系求参数
1、已知元素属于集合：将元素代入集合中的表达式，求解参数；若有多个可能值，需分别检验集合元
素的互异性。
2、已知元素不属于集合：利用补集思想，先求出使元素属于集合的参数范围，再取其补集（注意边界
是否可取）。
【典例1】（2026·安徽合肥·二模）已知集合 A x
x
x
a
a
0 ( a )
−
=

+


 R ，若 2  A ，则 a 的取值范围是
（ ）
A． ( − 2 , 2  B．−2,2 C． ( − 2 , 2 ) D．  − 2 , 2 )
 
【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合A= x x2−x+2a0 ，且 a  A ，则实数 a 的取值范围
为（ ）
A． ( − 2 , 0 ) B． ( − 1 , 0 ) C． ( 0 ,1 ) D．(0,2)
【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合 A =  ∣x x 2 + m x + 9 = 0  ，若n A9,n，则 m n = （ ）
A．10或18 B． − 1 0 或 − 1 8 C．18 D．−18
【变式2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合A=  x ax2−4x−1=0  只有一个元素，则实数 a 的值是
（ ）
A．0或4 B．4 C．0或 − 4 D．0
题型 02 根据两个集合相等求参数
集合相等即元素完全相同（无序、互异）。通过分析两集合中元素的对应关系，列出方程（组），并利
用互异性检验。
【典例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合A=−1,0，B=  x x2+ax+b=0  ，若 A = B ，则 a b =
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合
集
合
与
常
用
微
逻 专
辑 题
用 1
新
语 定
义
及
参
数
问
题
6
A =  0 ,1 , 4  ， B =  1 , a , b 2 + 3  ，若 A = B ，则
b a = （ ）
A． 2 B．2 C． − 1 D．1
【变式1】（2026·河南许昌·三模）已知a =−1，
1
a
2
= 7 ， a
3
= 1 1 ， a
4
= 1 3 ，若
 a
i
+ a ∣j 1  i  j  4  =  b
i
+ b ∣j 1  i  j  4  且b b b b ，则b =____________．
1 2 3 4 1
【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）已知 a , b 为实数，集合 A =  2 , a , b  , B =  2 , a 2 , b 2  ，且A=B，则
a + b = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型 03 利用集合间的关系求参数
将集合间的包含、相等、交并补关系转化为关于参数的不等式（组），并特别注意端点取值及空集情况。
1、化简集合：将已知集合用区间或具体元素表示。
2、转化关系：根据题意（如𝐴⊆𝐵、𝐴∩𝐵 =∅、𝐴∪𝐵 =𝐵等）列出不等式（组）。
3、检查端点：判断参数在边界处是否满足条件（开闭区间影响参数能否取等）。
4、优先考虑空集：当集合可能为空集时（如含参不等式解集），需先讨论空集情况，再进行非空讨论。
【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知集合 A =  ∣x x 2 − 1 4 x + 4 0 = 0  ， B =  4 , a + 1 , a 2 + 1  ，若 A  B ，
则实数 a 的取值集合为（ ）
A．9 B．−3,3 C．−3,9 D．−3,3,9
【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合M =  3,4,x2 ， N =  4 , x + 2  ，若 M  N = N ，则 x =
（ ）
A． − 1 或 1 B． − 1 或 2 C． 1 或 2 D． − 1 或 1 或 2
【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合A=1,2， B = { x | a x − 2 = 0 } ，若 B  A ，则由实数
a 组成的集合为（ ）
A．  0 ,1  B．  0 , 2  C．  1 , 2  D．  0 ,1 , 2 
【变式2】（2026·湖南怀化·二模）已知集合 A =  x x  a  ，B=  x x2−4x+30  ．若AB= A，则 a
的取值范围是（ ）
A． ( −  ,1 ] B． ( −  , 3 ] C． ( −  ,1 ) D．(−,3)
题型 04 根据集合的运算求参集合的运算（并、交、补、差）对应于元素与集合的归属关系，常借助数轴、韦恩图或列举法进行求解。
1、当集合为离散点集时，直接列举元素运算。 集
合
2、当集合为连续区间时，画数轴，注意端点开闭。
与
常
3、熟悉集合运算中常用的二级结论。
用
微
4、对于含参数集合，需讨论端点和空集。 专 逻
题 辑
【典例1】（2026·河南驻马店·三模）已知全集U =1,3,5,7,9，集合A=3,7,a−1，若 A=1,5，则 1 用
U 新
定 语
义
及
参
数
问
题
7
崇文翰墨
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a = （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合 A =  x | x − 1  a  , B =  − 4 , 3  ，若 A B =  ，则 a 的最
大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合A=−1,0,1， B =  x , 2  ，若 A  B =  − 1  ，则 x 的值为
（ ）
A．2 B．1 C．0 D． − 1
【变式2】（2026·上海·三模）已知集合 A =  1 , 2 , k 2  ， B =  0 , 4  ，若 A  B =  4  ，则实数 k =
__________．
题型 05 根据充分必要条件求参
1、将条件与结论分别转化为集合（或取值范围），利用充分、必要、充要条件对应的集合包含关系（p
对应的集合P，q对应的集合Q）：
p是q的充分不必要条件⇔𝑃 ⫋𝑄
p是q的必要不充分条件⇔𝑄 ⫋𝑃
p是q的充要条件⇔𝑃 =𝑄
2、根据题意确定集合间的包含或相等关系，列出不等式组（注意端点等号能否取到）。
3、解不等式组得到参数范围，并验证边界是否符合题意（如集合是否为空、端点是否满足包含关系）。
4、若已知充要条件，可直接将两个条件转化为等价方程（组）求解。
ax2−2x+1,xa
【典例1】（2026·北京昌平·二模）设aR，函数 f (x)= 有最大值的一个充分不必要
ax+1,xa
条件是（ ）A．
集
合
与
常
用
微 逻 专
辑 题
用 1 新
语 定
义
及
参
数
问
题
8
a 

− 1 , −
1
2

B． a  [ −
1
2
, 0 ]
C． a  [ − 1 , 0 ) D．a[−2,0)
【典例2】（2026·江西南昌·三模）设 a  0 且a1，函数 f ( x ) =
 2
lo
−
g
e
a
a
(
−
x
x ,
+
x
a

)
a
− 1 , x  a
的值域为 R 的一个
充分不必要条件是（ ）
A． a   2 , e  B． a   2 , e  C． a   2 , +  ) D． a   2 , +  )
【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数 f ( x ) = lo g
a
x 与双曲线
3
x
−
2
a
− y
2
2 = 1 均存在的一个充分
不必要条件为 a = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
 1 
【变式2】（2026·江苏南通·三模）设集合A=  x|x2−(a+1)x+a=0  ，集合B=x =1，则
 x−2 
“ A  B =  3  ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． a = 3 B． a   2 , 3  C． a = 1 D． a   1 , 2 
题型 06 根据全称量词与存在量词求参
先确定真命题，然后根据命题是任意问题还是存在问题，求参数范围。
【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）若“x(0,π),sin2x−msinx0”是假命题，则m的取值范围为
__________．
【典例2】（2026·江西上饶·二模）若 f ( x ) = ( m − n − x ) s in  x − π
3
 ，且“xπ,3π， f ( x )  0 ”为假命
题，则 c o s ( 2 m − n ) = _________．
【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知命题 p :  x  R , a x 2 − 3 x  − 5 ，若 p为真命题，则a的取值范围
为______．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“xR,x2+ax+a+30”为真命题，则实数a的取值
范围是（ ）
A．  − 6 , 2  B．  − 6 , − 2  C．  − 2 , 6  D．  2 − 7 ， 2 + 7 重难点 01 定义新的集合性质
新性质往往限制很严，多从小规模、特殊情况入手，往往能找到突破口 集
合
1、将新性质转化为元素之间的等式、不等式或关系。
与
常
2、按元素个数、数值大小、奇偶等标准分情况，避免遗漏。
用
微
3、需要找满足性质的集合时，从简单情况构造并逐步添加元素；判断真假时，举反例即可。 专 逻
题 辑
【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集 1 用
新
定 语
义
及
参
数
问
题
9
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
G 满足：如果 a , b  G ，那么 a + b , a − b , a b  G 且当
b  0 时，
a
b
 G 时，我们称 G 就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数
域 G 有非零元素，则 2 0 2 6  G ；③集合 P =  x x = 2 k , k  Z  是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正
确的说法是（ ）.
A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①②
【典例2】（多选）（2026·辽宁大连·一模）已知集合 X =  − 1 , x
1
, x
2
, , x
n
 ，其中
x
i
 0 , i = 1 , 2 , , n , n  N , n  2 .定义向量集 Y =  ∣a a = ( s , t ) , s  X , t  X  ，若对任意 a
1
 Y ，存在 a
2
 Y ，
使 a 1  a 2 = 0 ，称集合 X 具有性质 P ，则（ ）
A．集合  − 1 ,1 , 3  具有性质 P
B．当n=2时，具有性质P的集合 X 有无数个
C．若集合  − 1 ,1 , 3 , x  具有性质 P ，且 x  0 ，则 x = 9
D．已知集合X 具有性质 P ，且 x
1
 x
2
  x
n
，若 x
1
= 1 , x
2
= 3 ，则有穷数列  x
n
 的通项公式为
x =3n−1
n
【变式1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集A满足：aA，都存在 b   t , t 2 + 3  （其中
t  R ），使得a=b2+2tb，则称集合 A 是 t 的“理想集”．记集合A=2t+1,3t+2(t−1)，若集合 A 是 t
的“理想集”，则实数 t 的取值范围为___________
【变式2】（2026·安徽合肥·一模）设集合 A =  ∣x x 2 − 1 0 x  0 , x  N  ，满足下列性质的集合称为“TB集
合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则A的子集中有
___________个“TB集合”.重难点 02 定义新的集合关系
集 1、读懂关系：抓住新关系定义中的关键词（如“A与B有交”“A中每个元素都比B中某个元素大”），
合
用符号或简单例子重述。
与
常
2、转化为已知：将新关系转化为集合的包含、相等、交非空、元素大小比较等常规条件。
用
微
逻 专 3、分类验证：按集合是否为空、元素个数多少、元素取值范围等分类，逐类检验是否满足新关系。
辑 题
用 1 【典例1】（2026·福建漳州·三模）已知
新
语 定
义
及
参
数
问
题
10
A
1
, A
2
是集合 A 的非空子集，若 A
1
A
2
=  ，则称 ( A
1
, A
2
) 是集合
A 的“互斥子集组”，并规定 ( A
1
, A
2
) 与 ( A
2
, A
1
) 为不同的“互斥子集组”．集合1,2,3,4的不同“互斥子集组”
的个数是___________．（用数字作答）
【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）对于集合 S ，若存在集合 S 的k(k 2)个两两不同的子集
A
1
, A
2
, , A
k
，且满足： A
1
 A
2
  A
k
，则称其为集合S 的一条“链”，称 k 为这条“链”的长度．当集合
S 的元素个数为 n 时，有以下四个结论：
①集合 S 的最长“链”的长度为 n + 1 ；
②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中；
③当n=4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合；
④集合 S 的最长“链”的总数为 n ! ．
其中所有正确结论的序号是___________．
【变式1】（2026·北京顺义·二模）已知集合 X =  1 , 2 , 3 , ,1 6  ，集合 A 是集合 X 的一个含 k ( k  1 6 ) 个元
素的子集.若集合 A 满足如下两个性质，则称集合 A 为集合 X 的完美子集：
①集合A的任意两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意mX且 m  A ，令B= Am，且集合 B 存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若A =1,3,5,A =1,2,4,9，判断A,A 是否为集合
1 2 1 2
X 的完美子集；
(2)若集合 A 为集合 X 的完美子集，证明：集合 A 的元素之和的最小值为16；
(3)若集合A为集合X 的完美子集，证明：k5.
【变式2】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合S ={1,2, ,n} ( nN*) ，设非空集合AS ，记
n n
min(A)为A中的最小元素，card(A)为A中的元素个数.若集合A满足card(A)min(A)，则称A是S
n
的一个“膨胀子集”.记S 的“膨胀子集”的个数为c .
n n
(1)请写出 S
3
的“膨胀子集”以及 S
5
的含有5但不含 1 的“膨胀子集”；
(2)当n3时，求数列c 的递推公式（用c ，c 表示c ）；
n n−1 n−2 n(3)求
集
合
与
常
用
微
专 逻
题 辑
1 用
新
定 语
义
及
参
数
问
题
11
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
2 0 2 6
i=
1
( − 1 ) i− 1c
i
+ c
2 0 2 5
的值.
重难点 03 定义新的集合运算
将新运算理解为集合中元素之间的某种代数运算（如加法、乘法、乘幂）所生成的新集合，通过元素
间的对应关系描述结果集合。
1、明确运算定义：弄清运算是针对两个集合还是单个集合。
2、枚举或推导元素：若集合有限，直接枚举所有可能的运算结果；若无限，分析元素满足的代数条件
（如奇偶性、范围）。
3、关注运算性质：判断新运算是否封闭、交换、结合，可用于简化计算。
4、分类讨论参数：当集合中含有参数时，根据参数取值讨论结果集合的变化。
【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合  a
1
, a
2
, , a
n
 ，且 a
1
 a
2
  a
n
，定义这个集合
的“复合乘幂和”：ai+a i2+ +a in，其中
1 2 n
i 2 = − 1 ，设 S
n
表示集合 { 1 , 2 , , n } 的所有非空子集的“复合乘
幂和”的总和，则 S
7
= ______．
【典例2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”
为：将M中每个元素m都乘以 ( − 1 ) m 后再求和．若集合 A =  n 1  n  2 0 2 6 , n  N  ，则集合A的所有非空
子集的“变项和”的总和为______．
【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集A， B ，定义 A + B =  x x = a + b , a  A , b  B  ，
A  B =

x x =
a
b
, a  A , b  B

，若集合A=1,2，则集合(A+A)A中所有元素之和为（ ）
A．5 B．
1 5
2
C．
2 1
2
D．
2 3
2
【变式2】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合
A =  ( x ,y )∣ x 2 + y 2  1 ,x ,y  Z  , B =  ( x ,y ) | x  2 , y  1 ,x ,y  Z  ，定义集合
A  B =  ( x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2
)∣ ( x
1
,y
1
)  A , ( x
2
,y
2
)  B  ，则 A  B 中元素的个数为__________.
优题精练
1．（2026·上海·三模）若 A =  1 , a  ， B =  2 , 3 , 4  ，且A∪B={1,2,3,4}，则实数 a 取值的集合是
____________.
2．（2026·陕西西安·三模）已知集合A=2,5,6，B=2,a−2，若A B= A，则a的取值集合是
（ ）A．
集
合
与
常
用
微
逻 专
辑 题
用 1
新
语 定
义
及
参
数
问
题
12
 8  B．  7 , 8  C．  4 , 7 , 8  D．  7 
3．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合A=x −3 x2，B=x xa且 A  B ，则实数a的取值
范围是_________.
4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集 A 满足：  a  A ，都存在 b   t , t 2 + 3  （其中
tR），使得a=b2+2tb，则称集合A是t的“理想集”．记集合A=2t+1,3t+2(t −1)，若集合A是
t 的“理想集”，则实数 t 的取值范围为___________
5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合A=1,2,3，B=x xt，若AB恰有4个子集，则t的取
值范围为（ ）
A．  2 , 3 ) B． ( 2 , 3 ) C． ( 2 , 3  D． ( 2 , 4 )
6．（2026·山东烟台·二模）已知集合A={1,m}， B =  1 , 3 , m 2  ，若AB，则实数 m 的值为（ ）
A． 0 或 − 1 B． 0 或 1 C． 0 或3 D． 1 或3
7．（2026·云南怒江·模拟预测）已知 m  0 ，使得不等式
2
x
x
−
+
m
1
 1 成立的一个充分不必要条件是
− 2  x  4 ，则 m 的取值范围是__________.
8．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合 A =  1 , 2 , ,1 0  共有 k 个三元子集.任意一个三元子集
T
i
= { x , y , ∣z x  y  z } , i   1 , 2 , k  ，定义 m ( T
i
) = y .则
k
i=
1
m ( T
i
) = __________.
9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知A=z z+1 =1,zC， B =  z z − 2 − i = m , z  C  .若集合 A  B 中
有且仅有一个元素，则m的所有取值之积为（ ）
A．4 B． 5 − 1 C． 1 0 − 1 D．9
10．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“  c  R ，使得  a , b  R ，均有 a 2 b 2 2 a b 2 b c 0  + − + +  ”是
假命题，则的取值范围是___________．