第 03 讲 等式与不等式的性质
知识精讲
集
合
知识点1 等式的基本性质 与
第 常
1. 对称性：若a=b，则b=a ； 0 用
3
逻
讲
2. 传递性：若a=b且b=c，则a=c；
辑
3. 可加性：若a=b，则a+c=b+c ； 集 用
合 语
4. 可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则
及
其
运
算
1
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
a
c
=
b
c
。
π
自主检测（2026·陕西西安中学·模拟）已知cos𝛼+2sin𝛽 =1，且𝛼，𝛽 ∈(0, )，则𝑀 =2cos𝛼−cos2𝛽的
2
取值范围是（ ）
1 1
A．(0,1) B．(− ,1) C．(−1,1) D．(− ,0)
2 2
知识点2 不等式的基本性质
性质名称 具体内容 注意事项
对称性 a>b⇔b<a 双向等价
传递性 a>b,b>c⇒a>c 单向推导
可加性 a>b⇔a+c>b+c 双向等价，移项的依据
同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 单向，可推广到 n个同向不等式
可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc 乘负数不等号方向
a>b,c<0⇒ac<bc
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 必须同时满足 "同向"和"正数"
乘方性 a>b>0⇒ a n >bn (n∈N,n≥2) 仅对 成立
开方性 a>b>0⇒ n a ＞ n b (n∈N,n≥2) 仅对 成立
自主检测（多选题）若𝑎 >0，𝑏 >0，𝑎+𝑏 =4，则（ ）
4 1 1
A．𝑎− ≥0 B． + ≥1
𝑏 𝑎 𝑏
C．√𝑎+√𝑏 ≤2√2 D．12<𝑎2+3𝑏2 <48
知识点3 比较大小的常用方法
a−b＞0 a＞b;
1. 作差法（通用）：a−b=0 a = b；
a−b＜0 a＜b。2. 作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则
集
合
与
第 常
用
0
3 逻
讲 辑
集 用
合 语
及
其
运
算
2
a
b
＞ 1 a ＞ b
;
a
b
= 1 a = b
a
＜1 a＜b
; b 。
3. 中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。
自主检测设𝑎 =20.3×0.32，𝑏 =0.30.3×22，𝑐 =20.3×22，则（ ）
A．𝑎 <𝑏 <𝑐 B．𝑏 <𝑎 <𝑐 C．𝑐 <𝑎 <𝑏 D．𝑎 <𝑐 <𝑏
知识点4 不等式的常用结论
1. 倒数法则：a＞b,ab＞0⇒
1
a
＜
1
b
；
2. 分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ；
3. 绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。
自主检测（2026·山东济宁·模拟）（多选题）已知𝑎，𝑏，𝑐为实数，则（ ）
A．若𝑎𝑐2 >𝑏𝑐2，则𝑎 >𝑏 B．若𝑎 >𝑏，𝑎𝑏 ≠0，则 1 < 1
𝑎 𝑏
𝑏+𝑐 𝑏 1 1
C．若𝑎 >𝑏 >𝑐 >0，则 > D．若𝑎 >0，𝑏 >0，𝑎+𝑏 =1，则 + ≥4
𝑎+𝑐 𝑎 𝑎 𝑏
题型突破
题型1 不等式性质的正误判断
例1-1（2026·湖南株洲四中·学考模拟二）若实数𝑎，𝑏满足𝑎 >𝑏，则（ ）
A．𝑎+1>𝑏+1 B．𝑎+1<𝑏+1 C．3𝑎<3𝑏 D．𝑎−𝑏 <0
例1-2（2026·四川绵阳南山中学实验学校·高考冲刺）已知𝑎,𝑏 ∈𝑅，且0<|𝑎|<𝑏 <1，则（ ）
A．𝑎2 >𝑏2 B． 1 > 1 C． 1 > 1 D．cos𝑎<cos𝑏
𝑎 𝑏 𝑎+1 𝑏+1
方法技巧 不等式性质的快速判断
1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项；
2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性；
3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。
易错分析 忽略前提条件
1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响；
2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提；
3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。1
【变式训练1-1】（25-26高三下·江苏G4·4月联考）已知实数𝑎 >0,𝑏 >0，则“𝑎+𝑏 <1”是“𝑎𝑏 < ”的
4
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件 集
合
【变式训练1-2】（多选题）（2026·芜湖安师大附中·适应性检测）若非零实数𝑎,𝑏满足𝑎2+𝑏2 =4，则下 与
第 常
列结论一定成立的是（ ）
用
0
3
A． 1 + 1 ≥1 B．𝑎+𝑏 ≤2√2 C．𝑎𝑏 ≤2 D．3𝑎+4𝑏 ≤10 讲 逻
𝑎 𝑏 辑
集 用
【变式训练1-3】（多选题）（2026·河南名校·模拟）下列说法正确的是（ ）
合 语
𝑐2 𝑐2 及
A．若 > ，则𝑎 <𝑏 B．若𝑎√𝑎 >𝑏√𝑏，则𝑎 >𝑏
𝑎 𝑏 其
运
1 1
C．若𝑎 <𝑏 <0，则𝑎− >𝑏− D．若−2<𝑎 <3，1<𝑏 <2，则−4<𝑎−𝑏 <2
𝑎 𝑏 算
【变式训练1-4】（多选题）（2026·黔西南顶兴中学·二模）已知实数𝑎，𝑏满足√𝑎−1>√𝑏−1，则
（ ）
1 1
A．𝑎 >𝑏 B． <
𝑎 𝑏
C．(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏−2)<0 D．2𝑎−2𝑏 >3−𝑎−3−𝑏
【变式训练1-5】（多选题）已知𝑎 >0,𝑏 >0，则下列说法正确的是（ ）
3
𝑎 𝑎+𝑚
A．若𝑎 >𝑏,𝑐 <0，则𝑎𝑐 >𝑏𝑐 B．若𝑎 >𝑏,𝑚 >0，则 >
𝑏 𝑏+𝑚
1 1
C．若3𝑎+𝑏 =2，则 + 的最小值为4+2√3 D．若𝑎+𝑏 =2，则 √𝑎+√𝑏的最大值为2
𝑎 𝑏
【变式训练1-6·变载体】（多选题）（2026·河北雄安新区·预测）已知4个正数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成等比数列
（公比𝑞 ≠1），则（ ）
A．𝑎𝑑 >𝑏𝑐 B．𝑑−𝑏 >𝑐−𝑎
C．𝑎2+𝑑2 >2𝑏𝑐 D．若𝑎 ≤1，𝑏𝑐 =4，则𝑎+𝑑的最小值为5
|𝑎| 𝑏 |𝑐|+2|𝑎|
【变式训练1-7·变考法】（多选题）已知实数𝑎,𝑏,𝑐 ≠0，且 , , 成等差数列，则下列说法正确
2𝑏|𝑐| |𝑎𝑐| 2𝑏|𝑎|
的是（ ）
A．2𝑏2 ≤𝑎2+𝑐2 B．𝑎2 ≤𝑏2 ≤𝑐2
C．𝑏2 ≥|𝑎𝑐| D．𝑎2𝑏2+𝑏2𝑐2 ≥2𝑎2𝑐2
题型2 比较大小
例2-1（2026·辽宁名校联盟·模拟）已知实数𝑥,𝑦,𝑧满足𝑥 >𝑦>𝑧，则（ ）
A．(𝑥−𝑦)(𝑦−𝑧)<0 B．𝑥𝑧>𝑦𝑧
1 1 1 1
C． < D． <
𝑥 𝑦 𝑥−𝑧 𝑦−𝑧
例2-2【新考法】（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价𝑚%，第二次提价𝑛%；方案乙：第一次提价𝑛%，第二次提价𝑚%；
𝑚+𝑛
方案丙：第一次和第二次均提价( )%；
2
集 方案丁：第一次提价(2𝑚+2𝑛)%，第二次降价(𝑚+𝑛)%；
合
与 其中0<𝑛 <𝑚 <50，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
第 常
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
用
0
3 逻
讲 方法技巧 比较大小的解题策略
辑
集 用
合 语 1. 指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ；
及
2. 同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ；
其
运
3. 同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ；
算
4. 复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。
易错分析 方法选择不当
1. 作商法比较大小时忽略分母符号 ；
2. 构造函数时定义域判断错误 ；
3. 指数函数与对数函数单调性混淆。
4
【变式训练2-1·变载体】（2026·长沙铁一中·模拟）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200
元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（𝑥 ≠𝑦），两次
加油后，请问谁的加油方式单价低?（ ）
A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲
【变式训练2-2·】（2026·河北部分高中·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且
该圆锥与圆柱的表面积相等，若 ℎ +ℎ =4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（ ）
1 2
A．𝑉 >𝑉 B．𝑉 =𝑉 C．𝑉 <𝑉 D．不确定
1 2 1 2 1 2
【变式训练2-3】已知57 >310，410 >77.设𝑎 =log 7，𝑏 =2log 2+log 3，𝑐 =log 25，则（ ）
4 7 7 9
A．𝑎 <𝑏 <𝑐 B．𝑐 <𝑎 <𝑏 C．𝑏 <𝑐 <𝑎 D．𝑏 <𝑎 <𝑐
【变式训练2-4】（2026·西宁大通二中·仿真模拟）（多选题）下列不等式中成立的是（ ）
A．若𝑎 >𝑏 >0，则𝑎𝑐2 >𝑏𝑐2 B．若𝑎 >𝑏 >0，则𝑎2 >𝑏2
C．若𝑎 <𝑏 <0，则𝑎2 <𝑎𝑏 <𝑏2 D．若𝑎 <𝑏 <0，则 1 < 1
𝑏 𝑎
【变式训练2-5】（2026·江西重点中学协作体·第二次联考）（多选题）已知𝑎 >𝑏 >0,𝑐 <0，则下列不
等式成立的是（ ）
A． 𝑐 > 𝑐 B． 𝑏 > 𝑏−𝑐 C．𝑎𝑐 >𝑏𝑐 D．(𝑎+ 1 )( 1 +𝑐)≤0
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎−𝑐 𝑐 𝑎
【变式训练2-6】（多选题）已知𝑚 >𝑛 >0，则下列说法正确的是（ ）A．ln𝑚 >ln𝑛 B．cos𝑚<cos𝑛
1 𝑚 1 𝑛
C．若𝑐 >0，则𝑚𝑐 >𝑛𝑐 D．( ) >( )
2 2
【变式训练2-7·变考法】（2026·武汉武昌·五月供题）（多选题）已知随机事件𝐴，𝐵满足0<𝑃(𝐴)<1，
集
0<𝑃(𝐵)<1，记𝑇 =𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，𝑆 =𝑃(𝐴∪𝐵)，若𝐴，𝐵互斥，则（ ）
合
A．𝑃(𝐴𝐵)≠0 B．𝑆 >2𝑇 与
第 常
1 1 1
C．当𝑆 = 时，𝑇的最大值为 D．若𝑇 = ，则𝑆 =1 用
0
2 16 4 3
逻
讲
辑
题型3 求代数式的取值范围 集 用
合 语
及
其
例3-1（25-26高三下·安徽滁州来安中学·考前预测）已知正实数x，y满足ln(2𝑥)+ln𝑦 =𝑥+2𝑦−2，则 运
算
𝑥𝑦−𝑦𝑥 =（ ）
A．√2
B．
1 C．√2
D．1
4 2 2
例3-2（2026·四川广安友谊中学·模拟）（多选题）已知𝐹 ，𝐹 两点的坐标分别为(−𝑐,0)，(𝑐,0)(𝑐 >0)，
1 2
曲线𝐶上任意一点𝑃(𝑥,𝑦)满足|𝑃𝐹 |⋅|𝑃𝐹 |=𝑎2(𝑎>0)，则（ ）
1 2
A．曲线𝐶关于原点对称
5
𝑎2
B．|𝑥|≤√𝑎2+𝑐2，|𝑦|≤
2𝑐
C．若𝑎 >𝑐，则曲线𝐶与圆：𝑥2+𝑦2 =3𝑎2有交点
D．若𝑎 =𝑐，直线𝑦=𝑘𝑥与曲线𝐶有3个交点，则𝑘的取值范围为(−1,1)
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
1. 设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ；
2. 利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ；
3. 合并得到最终范围，注意边界值的验证。
易错分析 范围扩大问题
1. 多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ；
2. 忽略变量之间的相互制约关系 ；
3. 端点值无法同时取到，错误包含端点。
【变式训练3-1】（多选题）已知不相等的实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏 =𝑎+𝑏+3，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数𝑡使得𝑎，𝑏是方程𝑥2−𝑡𝑥+𝑡+3=0的两根
B．若𝑎,𝑏 >0，则𝑎𝑏的取值范围是(9,+∞)
C．𝑎+𝑏的取值范围是(6,+∞)
D．𝑎2+𝑏2的取值范围是(2,+∞)
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨【变式训练3-2·变考法】（25-26高三下·安徽A10联盟·阶段检测）已知函数𝑓(𝑥)=ln(2𝑥+1)+
ln(2𝑥−1)，在点(𝑖,𝑓(𝑖))(𝑖 ∈𝑁∗)处作曲线𝑦 =𝑓(𝑥)的切线𝑙 ，其纵截距记为𝑏，若∑𝑛 𝑓(𝑖)≤∑𝑛 𝑏 +𝜆𝑛
𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖
对𝑛 ∈𝑁∗恒成立，则实数𝜆的取值范围为___________．
集
【变式训练3-3·变载体】（2026·广东·华侨港澳台联考适应性(二)）记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别
合
为a，b，c，若a，b，c成公差为𝑑(𝑑 >0)的等差数列，且𝑏 =1．
与
第 常 (1)求d的取值范围；
用
0
3 逻 (2)求cos𝐴+cos𝐵+cos𝐶的取值范围．
讲
辑
𝑎2+𝑏2−𝑐2
集 用 【变式训练3-4】△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知(𝑐−2𝑏)cos𝐴+ =0．
2𝑏
合 语
及
(1)若𝑎 =4，𝑏+𝑐 =8，求△𝐴𝐵𝐶的面积；
其 𝑎
(2)若角𝐶为钝角，求 的取值范围．
运 𝑏
算
6
【变式训练3-5·变载体】（2026·陕西宝鸡中学·冲刺一）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐼，点
𝐴(𝑥 ,𝑓(𝑥 )),𝐵(𝑥 ,𝑓(𝑥 ))是曲线𝑦 =𝑓(𝑥)上不同的两点，记𝐴,𝐵两点连线的斜率为𝑘 ，若|𝑘 |存在最大
1 1 2 2 𝐴𝐵 𝐴𝐵
值，且最大值为𝜆，则称曲线𝑦 =𝑓(𝑥)为“𝜆上界斜率曲线”．
(1)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥，𝑥 ∈[1,4]，判断曲线𝑦 =𝑓(𝑥)是否为“𝜆上界斜率曲线”，并说明理由；
(2)已知函数𝑔(𝑥)的定义域为闭区间𝐼，且曲线𝑦 =𝑔(𝑥)是“𝜆上界斜率曲线”，证明：曲线𝑦 =𝑔(𝑎𝑥+𝑏)
（𝑎,𝑏 ∈𝑅，且𝑎 >0）是“𝑎𝜆上界斜率曲线”；
1
(3)已知函数ℎ(𝑥)的定义域与值域均为[0,1]，若曲线𝑦=ℎ(𝑥)为“𝜆上界斜率曲线”，且0<𝜆 ≤1，求ℎ( )的
2
值．题型4 不等式的基础证明
例4-1（25-26高三上·浙江金丽衢十二校·第一次联考）对实数𝑥,𝑦，则“|𝑥|>|𝑦|”是“𝑥2|𝑥|>𝑦2|𝑦|”的
集
（ ）
合
与
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第 常
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 用
0
3
逻
讲
例4-2（2026·云南保山·二模）（多选题）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ）
辑
集 用
A．若𝑎 >𝑏 >0，则𝑎𝑐2 >𝑏𝑐2 B．若𝑎 >𝑏，𝑐 >𝑑，则𝑎−𝑑 >𝑏−𝑐
合 语
1 1 𝑏 𝑏+𝑐 及
C．若𝑎 <𝑏 <0，则 > D．若0<𝑏 <𝑎且𝑐 >0，则 <
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎+𝑐 其
运
方法技巧 不等式证明的基础方法 算
1. 综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ；
2. 分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ；
3. 作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。
易错分析 逻辑不严谨
1. 证明过程中使用未证明的结论 ；
2. 忽略不等式性质的前提条件 ；
7
3. 循环论证 。
【变式训练4-1】（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．对任意实数𝑥都有|𝑥2−1|≥0
B．若2<𝑎 <5,3<𝑏 <10，则−18<𝑎−2𝑏 <−1
1
C．当𝑥 >1时，𝑥+ 的最小值是2
𝑥−1
D．若𝑝:∃𝑛∈N,𝑛2 >2𝑛，则¬𝑝:∃𝑛∈N,𝑛2 ≤2𝑛
【变式训练4-2·变考法】（2026·山东青岛·二模）若数列{𝑥 }满足：𝑥 +𝑥 >2𝑥 (𝑛≥2,𝑛 ∈𝑁*)，则
𝑛 𝑛−1 𝑛+1 𝑛
称{𝑥 }为“𝐿−𝐿数列”．
𝑛
(1)已知𝑦 =𝑛3，判断数列{𝑦 }是否为“𝐿−𝐿数列”；
𝑛 𝑛
(2)已知数列{𝑧 }为“𝐿−𝐿数列”，若任意不相等的正整数𝑚,𝑝,𝑞满足𝑚+𝑞 =2𝑝．证明：𝑧 +𝑧 >2𝑧 ；
𝑛 𝑚 𝑞 𝑝
(3)若数列{𝑤 }为“𝐿−𝐿数列”，𝑤 ≥0，且满足∑ 𝑛 𝑤 <1(𝑛∈𝑁*)．证明：0≤𝑤 −𝑤 <
𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑛 𝑛+1
2 (𝑛∈𝑁*)．
𝑛2
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨【变式训练4-3·变载体】（2026·广东江门·适应性考试）已知圆𝐶的圆心在第一象限且圆𝐶与两坐标轴均相
集
合 切，抛物线Γ:𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝>0)经过圆心𝐶．
与
(1)求圆𝐶的标准方程．
第 常
0 用 (2)设Γ与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点，证明：𝐴，𝐵两点到𝑥轴的距离均不小于 3𝑝 ．
3 逻 4
讲
辑 (3)𝑂为坐标原点，过圆心𝐶的直线𝑙交Γ于另一点𝑃，Γ的焦点为𝐹，求|𝑂𝐶|2+|𝑂𝑃|2− |𝐶𝐹|2−|𝑃𝐹|2的最小
集 用
合 语 值．
及
其
运
算
真题训练
8
一、单选题
1．（2024·上海·春季高考）𝑎，𝑏，𝑐 ∈𝑅，𝑏 >𝑐，下列不等式恒成立的是（ ）
A．𝑎+𝑏2 >𝑎+𝑐2 B．𝑎2+𝑏 >𝑎2+𝑐 C．𝑎𝑏2 >𝑎𝑐2 D．𝑎2𝑏 >𝑎2𝑐
2．（2018·全国卷III·高考）设𝑎 =log 0.3，𝑏 =log 0.3，则
0.2 2
A．𝑎+𝑏 <𝑎𝑏 <0 B．𝑎𝑏 <𝑎+𝑏 <0
C．𝑎+𝑏 <0<𝑎𝑏 D．𝑎𝑏 <0<𝑎+𝑏
3．（2017·山东·高考）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
1 𝑏 𝑏 1
A．𝑎+ < <log (𝑎+𝑏) B． <log (𝑎+𝑏)<𝑎+
𝑏 2𝑎 2 2𝑎 2 𝑏
1 𝑏 1 𝑏
C． 𝑎+ <log (𝑎+𝑏)< D． log (𝑎+𝑏)<𝑎+ <
𝑏 2 2𝑎 2 𝑏 2𝑎
4．（2016·全国卷I·高考）若𝑎 >𝑏 >1，0<𝑐 <1，则
A．𝑎𝑐 <𝑏𝑐 B．𝑎𝑏𝑐 <𝑏𝑎𝑐 C．𝑎log 𝑐 <𝑏log 𝑐 D．log 𝑐 <log 𝑐
𝑏 𝑎 𝑎 𝑏
二、填空题
5．（2017·北京·高考）能够说明“设𝑎,𝑏,𝑐是任意实数,若𝑎 >𝑏 >𝑐,则𝑎+𝑏 >𝑐”是假命题的一组整数𝑎,𝑏,𝑐
的值依次为__________.
