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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 03 练 不等式与不等关系（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，因为 ，可得 ，因为 不确定，所以A错误；
对于B中，只有当 不相等时，才有 成立，所以B错误；
对于C中，例如 ，此时满足 ，但 ，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当 时，可得 成立，所以D正确.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质判断即可．
【详解】解：令 ， ，满足 ，但不满足 ，故A错误；
， ，故B错误；
， ， ， ， ，故C正确；
， ，故D错误．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2 B．tanx＜tany C． D．【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式
性质判断C.
【详解】∵logax＞logay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2， ，故A和D错误；
选项B，当 ,取x ，y 时， ,但 ；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得 ，故C正确；
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于 ，不妨令 ， ，代入各个选项检验，只有 正确，从而得出结论．
【详解】解：由于 ，不妨令 ， ，可得 ， ，故A不正确．
可得 ， ， ，故B不正确．
可得 ， ， ，故C不正确．
故选：D．
二、多选题
5．（2023·全国·校联考模拟预测）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性质判断.
【详解】∵ ，则 ， ，∴ ，即 ，A正确；
例如 ， ， ， ， ， 显然 ，B错误；由 得 ， ，∴ ，即 ，C正确；
易知 ， ， ，
，
∴ ，D正确；
故选：ACD．
6．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断
C,D.
【详解】根据幂函数 ，指数函数 在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；
由 ，取 ，可得 ，故B错误；
由 可得 ，当且仅当 即 取等号，C错误；
由基本不等式可知 ，当且仅当 取等号，
但 ，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BCD
【分析】运用不等式的性质，结合对数函数的单调性、作差比较法逐一判断即可.
【详解】A：由 ，因此本选项不正确；
B：由 ，因此本选项正确；
C：因为 ，所以 ，因此本选项正
确；
D：因为 ，所以
，因此本选项正确，
故选：BCD
三、填空题
8．（2023·高三课时练习）以下三个命题：①“ ”是“ ”的充分条件；②“ ”是“
”的充要条件；③“ ”是“ ”的充要条件．其中，真命题的序号是______．（写出
所有满足要求的命题序号）
【答案】②③
【分析】根据不等式的性质一一判断求解.
【详解】对于①，若 ，则 ，
所以“ ”不是“ ”的充分条件，①错误；
对于②，因为 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，②正确；
对于③，若 ，则 ，
若 ，则 即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，③正确，
故答案为:②③.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设 ，解出 ，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设 ，即 ，
∴ ，解得 .
∴ ，
∵ ，∴ ①，
∵ ，∴ ②，
① ②，得 ，即 的取值范围 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ．
（1）试比较 与 的大小，并证明；
（2）分别求 ， 的最小值．
【答案】（1） ；证明见解析 ；（2） ， 的最小值都是8．
【分析】（1）利用作差比较法，得到 ，即可求解；
（2）化简 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1） 与 的大小为 ，
证明：由 ，
因为 ， ，所以 ， ， ， ，所以 ，所以 .
（2）因为
，
当 时取等号，
又由（1） ，所以 ， 的最小值都是8．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·高三课时练习）已知 且 ，则 （ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
【答案】A
【解析】根据 ，变形为 ，再利用不等式的基本性质得到 ，进而得到
，然后由 ，利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为 ，再由 ，利用不等式的性质构造 ，再利用基本不等式求解.
2．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）给定下列四个命题:
命题①: ;命题②: ;
命题③: ;命题④: .
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐项分析①③④，利用指数函数的单调性判断②.
【详解】①中，当 时， 不成立，是假命题；
②中， 是R上的单调递减函数，所以 时， ，是真命题；
③中，当 时，右边成立，而左边不成立，是假命题；
④中， ，是真命题.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把 转化为 ，根据 ， ，求出 的范围，利用
单增，求出z的范围即可.
【详解】 .
设 ，所以 ，解得： ，
，
因为 ， ，
所以 ，
因为 单调递增，
所以 .
故选：C
4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C．a<c<b D．c<a<b
【答案】D
【分析】先通过简单的放缩比较 和 的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较 和 的大小，由此可
得答案.
【详解】
，
设 ， ，
当 时，
与 相交于点 和原点
时，，即
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 利用指数的性质可判断A；当 时可判断B；由 得 可判断
C；作差比较大小可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
因为 ，当 时， ，故B错误；
由 ，且 时， ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
二、填空题
6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知角 满足 ， ，则
的取值范围是__________．
【答案】【详解】结合题意可知： ，
且： ，
利用不等式的性质可知： 的取值范围是 .
点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．
解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的
有效途径．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，则 的取值范
围是_________.
【答案】
【解析】把 用 表示，可得 ,由 ，利
用不等式的性质可得结论.
【详解】由题意得
解得
所以 ,
因为 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ．
两式相加得 ，故 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及对不等式的性质掌握的熟练程度，考查灵活应用所学知识解答
问题的能力，属于中档题.
三、解答题
8．（2023·高三课时练习）（1）已知 ， ，试比较 与 的大小，并说明理由；
（2）设 ， ，且 ，证明： .
【答案】（1） ，理由见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）
当 时， ， ，所以 ，即
当 时， ， ，所以 ，即
综上：
（2）证明：由 得 .
∴ .
因此构造以 、 为根的一元二次方程 .
令 .
由 、 及 ，得
解得 ，所以【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）关于x方程 的两个根为a，b，且 ，
则以下结论正确的个数是（ ）．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象与性质判断（1），再由不等式的性质判断（2）（3），构造函数，利用导
数的单调性判断（4）.
【详解】方程 的两个根为a，b，所以 ，如图，
， ，即 ， ，故（1）正确；
， ，解得 ，故（2）正确；
由 ， ，因为 在 上单调递减，故 ，所以 ，
故（3）正确；
由 知， ，
设 ，则 ，令 解得 ，
故当 时， ，故 在 上递增，
因为 ，所以 ， ，故 ，又
由 在 上递增知，则 ，故（4）错误.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知a， ，满足 ，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式可判断A;判断a， ，将 化为 ,构造函数，利用导数判断B;
当 时， ，可判断C;利用柯西不等式判断D.
【详解】A，由 ，得 ，当 时等号成立，正确；
B， ,故 ，故a， ，
由 ，得 且a， ，
令 且 ，则 ， 递减，
所以 ， ，即 成立，正确；
C，当 时， ，错误；
D， ，当且仅当 时等号成立，正确，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是正实数，则下列式子中能使 恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】特殊化的方法，取 可判断A，取 ， 可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也
可利用不等式性质证明B正确.
【详解】对于A，取 ，该不等式成立，但不满足 ；
对于C，该不等式等价于 ，取 ， ，该不等式成立，但不满足 ；
对于D，该不等式等价于 ，取 ， ，该不等式成立，但不满足 ；
下面证明B
法一
不等式等价于 ，而 .
函数 在 上单增，故 .
法二
若 ，则 ，故 ，矛盾.
故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足 ， ，则 的最小值是______.
【答案】
【解析】利用方程组形式，可得 ，求得 后结合不等式性质即可求得 的最小值.
【详解】设
即
所以 ，解得所以
因为 ， ，
所以
由不等式性质可知
即 ，当且仅当 时取等号，解得 .
综上可知， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属
于中档题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ，则a、b满足的关系有__________.（填序
号）
① ；② ；③ ；④ .
【答案】①③
【分析】对于①，先得到 ，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于
④，先作差，再求出 ，即可判断得解.
【详解】解： ， ， ，
对于①， ，所以 （由于 ，所以不能取等）.
所以该命题正确；
对于②，由 得 ，因为 .
，所以 ，所以该命题错误；
对于③，
，所以 ，所以该命题正确；
对于④， ,
， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以该命题错误.
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到 ，然后用利用
， 得到 ，即可求解
