文档内容
第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：比较大小基本方法......................................................................................................................................4
知识点2：不等式的性质..............................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：不等式性质的应用........................................................................................................................................6
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式................................................................................................7
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围................................................................................................7
题型四：不等式的综合问题........................................................................................................................................8
题型五：糖水不等式....................................................................................................................................................9
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................10
05课本典例·高考素材........................................................................................................................11
06易错分析·答题模板........................................................................................................................12
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围..............................................................................................12
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围......................................................................................................12考点要求 考题统计 考情分析
高考对不等式的性质的考查相对较少，
（1）掌握等式性质． 考查内容、频率、题型难度均变化不大，单
（2）会比较两个数的 独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几
大小． 2022年II卷第12题，5分 乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不
（3）理解不等式的性 等式变形、证明以及解不等式的依据，所以
质，并能简单应用． 它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高
考考查的一个重点内容．
复习目标：
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.知识点1：比较大小基本方法
方法
关系
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b 或b
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b 或b
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd可乘性
可乘方性
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知 ，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设 ，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【典例2-1】已知 且 ， ， ，则 与 的大小关系为 ．
【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知： ，则
大小关系是 ．
【方法技巧】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．
【变式2-1】已知 为正实数．求证： .
【变式2-2】（1）比较 与 的大小；
（2）已知 ，比较 与 大小
【变式2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若 ， 是两个非负实数，则
它们的希罗平均数 .记 ， ，则 从小到大的关系为 .（用“≤”连
接）
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例3-1】已知 ， ，则ab的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【典例3-2】已知 的三边长分别为 ， ， ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．
【变式3-1】（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【变式3-2】（多选题）已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【变式3-3】已知实数a，b满足 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：不等式的综合问题
【典例4-1】记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是正实数，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 ， ， 满足， 则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
综合利用等式与不等式的性质
【变式4-1】（多选题）若实数x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（多选题）已知 ， ，且满足 ， ．则 的取值可以为
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20题型五：糖水不等式
【典例5-1】（多选题）生活经验告诉我们： 克糖水中有 克糖（ ， ，且 ），若再添加
克糖（ ）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水
不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．
C．若 ， ， 为 三条边长，则
D．若 ， ， 为 三条边长，则
【典例5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，
这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽
象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
(用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【方法技巧】
b+m b a+m a
> <
糖水不等式：若a>b>0，m>0，则a+m a，或者b+m b．
【变式5-1】（1）已知 糖水中含有 糖（ ），若再添加 糖完全溶解在其中，
则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”
之一）.
（2） ， ，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【变式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖
（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角 中，根据（1）中的结论，证明： .1．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知 为等比数列，下面结论中正
确的是
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2
C．若a
