文档内容
第 05 讲 对数与对数函数
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：对数式的运算................................................................................................................................................2
题型二：对数函数的图象及应用................................................................................................................................3
题型三：对数函数过定点问题....................................................................................................................................5
题型四：比较对数式的大小........................................................................................................................................6
题型五：解对数方程或不等式....................................................................................................................................8
题型六：对数函数的最值与值域问题......................................................................................................................10
题型七：对数函数中的恒成立问题..........................................................................................................................12
题型八：对数函数的综合问题..................................................................................................................................15
重难创新练..........................................................................................................................................18
真题实战练..........................................................................................................................................29题型一：对数式的运算
1．若 ，则 .
【答案】1
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：1.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ， ，则 .
【答案】1
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
因此， .
故答案为：1
3．求值：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）原式 .
（2） .
4．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．【答案】 /0.5
【解析】因为 ，
所以 ，可得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
题型二：对数函数的图象及应用
5．（2024·高三·山东潍坊·期中）已知指数函数 ，对数函数 的图象如图所示，则下列关系成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图象可得，指数函数 为减函数，
对数函数 为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B
6．已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图，由函数 和 的图象与直线 交点 的横坐标分别为 ， ，
由题意知 ，也即 ,
由于函数 和 互为反函数，
二者图像关于直线 对称，
而 为 和 的图象与直线 的交点,
故 关于 对称，
故 .
故选：B.
7．如图所示的曲线分别是对数函数 ， ， ， 的图象，则 ， ， ， ，
1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．
【答案】
【解析】由题图可知 ， ， ， ．
直线 与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为 ， ， ， ，
故答案为：
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数 的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为
．
【答案】
【解析】函数 的图象关于 对称，其定义域为 ，
作出函数 的大致图象如图所示，由图可得，要使函数 的图象不过第四象限，
则 ，即 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为： .
9．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是函数 的一个零点， 是函数
的一个零点，则 的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．4048 D．8096
【答案】B
【解析】由 得 ，由 得 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
又 与 的图象关于直线 对称，且 的图象也关于直线 对称，
则点 ， 关于直线 对称，即 ，得 ，
故选：B．
题型三：对数函数过定点问题
10．函数 的图像恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】对于函数 ，令 ，解得 ，
所以 ，即函数 恒过点 .
故选：D
11．函数 恒过定点 ，则 的值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由函数 恒过定点 ，可得 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
12．函数 的图象恒过点P，若角 的终边经过点P，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，即 ，
所以 .
故选：B.
题型四：比较对数式的大小
13．（2024·宁夏银川·二模）若 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
，
所以 .
故选：A．
14．（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在定义域上单调递增，故 ，
又 ，
所以 .
故选：A
15．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
则有 ，即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
则有 ，即 ，
故 .
故选：A.
16．（2024·云南·模拟预测）已知函数 为 上的偶函数，且当 时，
，若 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，所以 在 上单调递增；
又有 为 上的偶函数，所以 在 上单调递减.由于我们有 ，
即 ，故 .
而 ， ， ，故 .
故选：C.
17．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则 ，即 ，
，即 ，
，故
故选：B
题型五：解对数方程或不等式
18．（2024·高三·上海虹口·期中）方程 的解为 ．
【答案】 /
【解析】由题， .
故答案为： .
19．关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，故 .
所以，方程关于 的方程 的解为 .
故答案为： .
20．不等式 的解集 .
【答案】【解析】 ，
故原不等式化为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
21．不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
，即 ，故解集为 .
故答案为： .
22．不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
23．不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】因为 ，可得对数函数 为单调递增函数，
则原不等式等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
故答案为： .题型六：对数函数的最值与值域问题
24． 的最小值为 .
【答案】1
【解析】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故 的最小值为1.
故答案为：1.
25．已知对数函数 在区间 上的最大值比最小值大1，则 ．
【答案】2
【解析】由已知可得，函数 在区间 上单调递增.
又对数函数 在区间 上的最大值比最小值大1，
所以， ，解得 .
故答案为：2.
26．函数 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意，知 在 上单调递减， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，
则当 时该函数取到最大值 ，
故答案为：
27．设函数 且 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若 在 上的最大值与最小值之差为1，求 的值．
【解析】（1）由 可得 ，解得 ，
即 ，则 ，即 ，即 ，
故不等式 的解集为 ；
（2）由于 在 上的最大值与最小值之差为1，
故 ，即 或 ，
即 的值为 或 .
28．已知函数 （ 且 ）为奇函数.
(1)求函数 的定义域及解析式；
(2)若 ，函数 的最大值比最小值大2，求 的值.
【解析】（1）要使函数 有意义，则 ，可得： ，
因为 为奇函数，所以 ，即 ，所以 的定义域为 ，
由 可得： ，所以 ，
此时 ， 是奇函数，符合题意.
（2） ，
①当 时，函数 单调递减，
所以 ，
，
所以 ，
解得 .
②当 时，函数 单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
解得 .综上， 或 .
题型七：对数函数中的恒成立问题
29．已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，
使 成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】对任意 ，总存在 ，使 成立,
对 成立
当 时， ，
在 上是增函数，
当 时， ，
，
故实数 的取值范围为 .
故答案为： .
30．已知函数 且 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 且存在 ，使得 成立，求 的最小整数值．
【解析】（1）由函数 ，设 ，
由 且 ，可得函数 在 上是增函数，所以 ，
又由函数定义域可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
（2）由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
因为存在 ，使得 成立，可得 ，
所以实数 的最小整数值是 ．31．已知函数 ， 且 ．
(1)若 ，求方程 的解；
(2)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）
令 ，则 ，
当 时， 等价于 ，即 ，
得 ，有 或 ，
则 或 ，所以 或 .
（2）法一：令 ，由 ，得 ，
依题意得 恒成立，因为 ，所以 在 上恒成立，
令 ，对称轴 ，
①当 时，即 ， ，得 .所以 .
②当 ，即 ， ，得 .所以 .
综上所述， 的取值范围为 .
法二：令 ，由 ，得 ，
依题意得 恒成立，令 ，
①当 时，易知 在 上单调递增，且当 时， ，
所以此时 没有最小值，即不存在 使得不等式 恒成立.
②当 时，易知 在 上单调递增，故 恒成立，解得 ，
即当 时，不等式 恒成立.
③当 时，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，
要使原不等式成立，须使 恒成立，解得
综上所述， 的取值范围为 .
法三：令 ，由 ，得 ，依题意得 恒成立，因为 ，所以 在 上恒成立，
由 ，得 ，
①当 时， 恒成立， R；
②当 ， ，所以 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
在 上单调递减，所以 ，
所以 ， 的取值范围为 .
③当 ， ，所以 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立，即 ，
所以 ， 的取值范围为
综上所述， 的取值范围为 .
32．已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 的单调性并证明；
(3)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围.
【解析】（1）由已知函数需满足 ，当 时，函数的定义域为 ，
函数 为奇函数，所以 ，即 在 上恒成立，即 ， （舍），
当 时， ，函数的定义域为 ，
又函数 为奇函数，所以 ，
此时 ，函数定义域为 ，
，函数为奇函数，满足，
综上所述： ；
（2） 在 和 上单调递减，证明如下：
，定义域为 ，
设 ，且 ，
则
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
同理可证，所以 在 上单调递减；
（3）函数 在 和 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
时， ，所以当 时 的值域 ，
又 ，
设 ，则 ，
当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ，
即 在 上的值域 ，
又对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
即 ，所以 ，解得 ，即 .题型八：对数函数的综合问题
33．设方程 和方程 的根分别为 ，设函数 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，由 得 ，
所以令 ，这3个函数图象情况如下图所示：
设 交于点 ， 交于点 ，
由于 的图象关于直线 对称，
而 的交点为 ，所以 ，
注意到函数 的对称轴为直线 ，即 ，
且二次函数 的图象是开口向上的抛物线方程，
从而 .
故选：B.
34．（2024·高三·河北邢台·期中）已知 ，且 的图象过点 ，又
.
(1)若 成立，求 的取值范围；
(2)若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ，
而 在 上单调递减，
由 可得：
所以 解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以 对于任意 恒成立等价于 ，
因为
.
令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 ，即 时， ，
所以 .
35．（2024·高三·安徽·期中）已知 ，且 是偶函数．
(1)求 的值；
(2)若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的最大整数值．
【解析】（1）函数 定义域为R，由函数为偶函数，有 ，
即 ，则有 ，
即 ，得 ，所以 .
（2）由（1）可知， ，
则 ，设 ，
依题意有 ，
由基本不等式， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
令 ，则 ，有 ，
由二次函数的性质可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
，则有 ，得 ，
所以实数 的最大整数值为5.
36．（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
在 中任取一个实数 ，都有 ，并且 .
因此， 是奇函数.
（2） 等价于 即 在 上有解.
记 ，因为 在 上为严格减函数，
所以， ， ，
故 的值域为 ，因此，实数 的取值范围为 .
1．（2024·高三·广西·开学考试）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大
为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图
象，
所以 ，即 ，
将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式 ，
因为所得图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，
所以 ，又 且 ，
解得 ，
故选：D
3．（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】 的定义域为 ，关于原点对称，故
所以 ，
故 或 （舍去），
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 在 上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知 ，故 ， ， 在 上恒成立，
等价于不等式 即 在 上恒成立，
故 ，（点拨：当 时，函数 在 上单调递增，
则 ，所以 ），
故 ，即 ，又 ，故 ．
故实数 的取值范围是 ．
故选：B
5．（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
且 ，
则 ，即 .
故选：C.
6．（2024·福建莆田·三模）已知 ，点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 与 互为反函数，
所以 与 的图像关于直线 对称，
所以 的最小值为点Р到直线 距离的最小值的两倍.
设P（ ， ），则 .
设 ， .
由 得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，则 的最小值是 .
故选:D
7．已知 是定义在 上的函数，则给定 上的函数 （ ）A．存在 上的函数 ，使得
B．存在 上的函数 ，使得
C．存在 上的函数 ，使得
D．存在 上的函数 ，使得
【答案】D
【解析】对A， ，两边同取反函数 ，则 ，
即 是 的反函数，不是所有的函数都有反函数，如 ， ，故A错误；
对B， ，得 ，即 是 的反函数，故B错误．
对C，令 ，则 ，即 与 有交点，这个不一定，故C错误．
对D，只需要 就可以满足，故D正确.
故选：D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
对于A，易得 ，所以 ，故A成立.
对于B，因为 ，所以 ，故B成立.
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，
显然等号不成立，所以 ，故C不成立.
对于D，因为 且 ，
所以 ，故D成立.
故选：C.
9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子
和两个中子组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:
年)的衰变规律满足 ，其中 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: )A．
B．经过 年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过 年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若 年后，样本中氚元素的含量为 ，则
【答案】CD
【解析】由题意得 ，故有 ，
左右同时取对数得 ，故得 ，故A错误，
当 时， ，故B错误，
而当 时， ，
得到经过 年后，样本中的氚元素变为原来的 ，故C正确，
由题意得 ，化简得 ，
，
将 代入其中，可得 ，故D正确.
故选：CD
10．（多选题）（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ，
所以 ，
对A选项， ，所以 ，故A正确；
对B选项， ，所以 ，故B选项不正确；
对C选项，因为 ， ，
所以 ，
而 ，故上述不等式等号不成立，则 ，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
11．（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 ，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为 ， ，故 故A选项正确；
对于B，取 ，此时满足 ，但 ，B选项错误；
对于C， 可得： ，
则 ，因为 ，即
所以 ，因为函数 在 不单调，所以C选项错误；
对于D，由 可知， ，因为 ，
所以 ，故D选项正确，
故选：AD．
12．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】对于A， ，故A正确；
对于B， ，在这里 ，所以严格来说有 ，故B正确；
对于C， ，在这里 ，所以严格来说有 ，故C
正确；
对于D， ，而 ，
定义 ，则 ，
从而 单调递增，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABCD.
13．（2024·宁夏银川·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则
．
【答案】 /0.75
【解析】函数 的定义域为 ，
由函数 的图象关于直线 对称，得 的定义域关于数 对称，
则 ，此时必有 ，即 ，解得 ，
此时 ，
因此函数 的图象关于直线 对称，即 满足题意，
所以 .
故答案为：
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 则函数 有 个零点．
【答案】7
【解析】令 ，则 ，设 ，则 等价于 ，
则函数 的零点个数问题即为 解的个数问题．
二次函数 ，其图像开口向上，过点 ，对称轴为 ，最小值为 ，
由题意得 作出函数 的图像如图所示．由图可知 有3个根，当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
则对于 ，当 时， ;
当 时， ，此时共有3个解．
对于 ，此时 有1个解， ，即 有2个解．
对于 ，此时 有1个解， ，即 无解．
因此，此时函数 有7个零点．
故答案为：7.
15．已知函数 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
若 ，不妨设 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立．
故答案为： ．
16．（2024·高三·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 可看作由 复合而成，
由于 在 上单调递增，
故要使得函数 在区间 上单调递减，需满足 在区间 上恒成立，且 在区间 上单调递减，
故 ，解得 ，
故a的取值范围为 ，
故答案为：
17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 及函数 的定义域；
(2)求函数 的零点．
【解析】（1）依题意 ，
所以 ，由 得 ，
解得 ，所以 的定义域为 .
（2） ，
则 ，所以 的定义域为 ，
令 得 ，
所以 ， ，则 .
18．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
故 ，
当 时， ，符合上式，
综上，所以 的解析式为 .
（2）当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
由对称性可知，当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
所以实数 的取值范围是 ．
19．已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求
的取值范围.
【解析】（1）因为 是偶函数，
所以 ，
即 ，
，
，
，，
，
，
，
所以 ，即 .
（2） ，
因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，
因为 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
1．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.2．（2024年天津高考数学真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021年天津高考数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】 ， ，
.
故选：C.
5．（2021年天津高考数学试题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.6．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 .
故选：C.
7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
