文档内容
拔高点突破 01 函数的综合应用
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：函数与数列的综合........................................................................................................................................3
题型二：函数与不等式的综合....................................................................................................................................6
题型三：函数中的创新题............................................................................................................................................9
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）..............................................................................12
题型五：倍值函数.......................................................................................................................................................16
题型六：函数不动点问题..........................................................................................................................................20
题型七：函数的旋转问题..........................................................................................................................................23
题型八：函数的伸缩变换问题..................................................................................................................................26
题型九：V型函数和平底函数...................................................................................................................................29
03过关测试.........................................................................................................................................351、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
（1）当 为奇数时，函数 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线
对称．
3、若 为 上的连续单峰函数，且 为极值点，则当 变化时，
的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得．题型一：函数与数列的综合
【典例1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由小到大
的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列
【答案】D
【解析】因为 所以 ，
令 ，
故函数 在 上的所有极值点为函数 在 上的零点，
即方程 的正根，也即函数 与函数 图象交点的横坐标，
作出函数 和函数 图象如下
对于A，当 时，由图可知 ，不满足 ，故A错误；
对于B，由图可知，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故B错误；
对于C，由图可知，结合 的对称性知， ， ，
不满足 ，故C错误；
对于D， 在x轴上表示 与 的距离，由于函数 在 上单调递减，函数 是以 为周期的函数，
结合图象可知 越来越小，即数列 为递减数列，故D正确.
故选：D
【典例1-2】（2024·新疆·三模）已知数列 中， ，若 （ ），则下列结论中错误
的是（ ）
A． B．
C． （ ） D．
【答案】D
【解析】对于A项，由 （ ）得 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，故A项正确；
对于B项，由A项可知， ，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 ，
假设当 ， ， 成立，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以有 ，
所以对于任意 ， ， 成立，故C项正确；对于D项，由A项知， 不满足 ，故D项错误.
故选：D.
【变式1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 中， ，若
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】数列 中， ， ，显然 ，则 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，令 ，求导得 ，
因此 在 上单调递增， ，于是当 时， ，
则有 ，当 时， ，
则
，
因此 ， ，则 ，
显然 ，所以 ，D正确.
故选：D
【变式1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列
【答案】D
【解析】依题意， ， 在 上的所有极值点，即函数 在 上的零点，
亦即函数 与 图象交点横坐标，当 时， ，
函数 在 上单调递减，且恒有 ，作出函数 的图象，
观察图象知， ，显然不等式 不成立，A错误；
显然 ，B错误；
在数轴上表示 的第 个零点 与 的距离，由于 在 上单调递减，
因此随着 的增大， 逐渐减小，即 为递减数列，D正确；
显然 ，即有 ， ，C错误.
故选：D
题型二：函数与不等式的综合
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义域为R的函数， ，对任意
， ，均有 ，已知a，b 为关于x的方程 的两
个解，则关于t的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 ，得 且函数 关于点 对称．
由对任意 ， ，均有 ，
可知函数 在 上单调递增．
又因为函数 的定义域为R，
所以函数 在R上单调递增．
因为a，b 为关于x的方程 的两个解，
所以 ，解得 ，
且 ，即 ．
又 ，
令 ，则 ，
则由 ，得 ，
所以 ．
综上，t 的取值范围是 .
故选：D．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集
为 ．
【答案】
【解析】由题可得，当 时， ， ，
当 时， ，
所以函数 为偶函数．
当 时， ，
此时 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
由 为偶函数可得，函数 在 上单调递减．
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 或 ，
解得 或 ，
所以 的解集为 ．
故答案为：
【变式2-1】关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】 可化为 ，
设 ，定义域为R，且 ，
故 为奇函数，
且 恒成立，
故 在R上单调递增，
故 ，解得 ，
故解集为 .
故答案为：
【变式2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契 年~ 年）以兔子繁殖数
量为例，引人数列： ，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即
，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为
．设 是不等式 的正整数解，则 的最小值
为 ．
【答案】8
【解析】由 ，得 ，
得 ，得 ，
得 ， ，所以 ，
令 ，则数列 即为斐波那契数列，
，则 ，显然数列 为递增数列且 ，所以数列 亦为递增数列，
由 ，得 ， ， ， ，
， ，
因为 ， ，
所以
使得 成立的 的最小值为8．
故答案为： .
题型三：函数中的创新题
【典例3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、
保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子
午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，
撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 的图像来刻画，满足关于 的
方程 恰有三个不同的实数根 ，且 （其中 ），则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 关于 对称，所以 的根应成对出现，
又因为 的方程 恰有三个不同的实数根 且 ，
所以该方程的一个根是 ，得 ，且 ，
所以 ，由 得 ，
当 ，即 ，即 时， ，①
则 ，②
由① ②得 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 ，即 时， ，③
，④
由③ ④得 ，即 ，
解得 ，此时 ，不合题意，舍去，
综上， .
故选：B.
【典例3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，使 ，则 ，
可得 ， ，
若k为奇数，则 ，所以 ，，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
若k为偶数，则 ，所以 ，
，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
因此，所有解之和为： ，
故选：C.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．
“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3
再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一
串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数 经过 次角
股运算后首次得到1（若 经过有限次角股运算均无法得到1，则记 ），以下说法有误的是
（ ）
A． 可看作一个定义域和值域均为 的函数
B． 在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数 ，都有
D． 是真命题， 是假命题
【答案】A
【解析】依题意， 的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由 ，得 在其定义域上不单调，
而 ， ，则 有最小值1，
由 经过有限次角股运算均无法得到1，记 ，得 无最大值，B正确；对任意正整数 ， ，而 ，因此 ，C正确；
对任意正整数 ， 每次除以2，最后得到1的次数为 ，因此 ，
由 ，知 是假命题，D正确.
故选：A
【变式3-2】 19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更
高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数
出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量 进制随机数据中，以 开头的数出现的概率
为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来
检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则 的
值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】 ，
，故 ．
故选：B．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典例4-1】设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在 使得 成立，则
实数 的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数 满足 ，即 ，解得 ，
则 ，令 ，
则函数 可以理解为函数 与函数 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，∵ ，且 （当且仅当 时取等号），
∴若设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由此可知当 ，直线 位于直线
和直线 中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故 ，
所以实数 的最大值为 .
故选： .
【典例4-2】已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在 ，使得 成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由存在 ，使得 成立，故 ，
又对任意的实数a，b， ，则 ，
可看作横坐标相同时，函数
与函数 图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又 ，作示意图如图所示：
设 ，则直线 的方程 ，设 与 相切，
则 ，得 ，有 ，
得 或 ，由图知，切点 ，则 ，
当直线 与 ， 平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数 与 图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时 ， ，故 .
故选：B
【变式4-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 ，且 ，满足
，当 时，设函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，所以 ，
作出 的图象如下，
令 ，即 ，得 ，
且 ，显然 ，
在 上，当 时， ，
当 时， ，当 时取等号；
当 时， ，所以 ，
此时点 到直线 的距离都是 ，
当 时，三点中 中至少有一个点满足
，所以 ，综上所述， ，故选：D.
【变式4-2】设函数 ，若对任意的实数 和 ，总存在 ，使得 ，
则实数 的最大值为 ．
【答案】2
【解析】
设
在 上单调递增，在 上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数 和 ，总存在 ，使得
等价于求 最大值里的最小值.
根据图像知：当 时，最大值的最小值为2
故实数 的最大值为2
答案为2
【变式4-3】设函数 ， ， ，若对任意的实数 ， ，总存在实数 ，使得不
等式 成立，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】设 的最大值为 ，
令 ，则 在 上，当 时，即 时， 单调递增，
此时 ，
当 时， ，
当 时， ，
从而当 时， 时， 取最小值， ，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 时， ，当 时， ，
在 ，时， ，当 时， ，
对任意实数 ， ，总存在实数 ，使得不等式 成立等价于 恒成立，
，
故 的最大值为 ，
故答案为： .
题型五：倍值函数
【典例5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数 的定义域为D，若存在闭区间 ，使得函数 满
足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍
值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
① ； ② ；
③ ； ④ ．
【答案】①③．
【解析】①函数 为增函数，若函数 存在“倍值区间” ，则有
，解得 ，所以函数 存在“倍值区间” ，故正确；
②函数 为增函数，若函数 存在“倍值区间” ，则
，
当 时， ， ，此时 无解；
当 时，设 ， ，
令 ，解得 ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；所以 ，所以 时， ，
所以此时 无解，
综上所述， 无解，故函数 不存在“倍值区间”，
③当 时， ；
当 时， ，由于对勾函数 在 上单调递减，
由复合函数可得函数 在区间 上单调递增，
若函数 在区间 存在“倍值区间” ，则有 ，解得 ，
所以函数 存在“倍值区间” ，故正确；
④若函数 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 在 存在“倍值区间” ，
所以则 ，解得 ，与区间 矛盾，故舍去，
若 在 存在“倍值区间” ，
所以则 ，解得 ，与区间 矛盾，故舍去，
故 没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
【典例5-2】函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 同时满足：（1） 在
内是单调函数；（2） 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“ 倍值区
间”.下列函数：① ；② ；③ ；④ .其中存
在“ 倍值区间”的序号为 .
【答案】②③
【解析】对于①，函数 为增函数，若函数 存在“ 倍值区间” ，则
，由图象可得方程 无解，故函数 不存在“ 倍值区间”；对于②，函数 为减函数，若存在“ 倍值区间” ，则有 得： ，
， ,例如： ， .所以函数 存在“ 倍值区间”；
对于③，若函数 存在“ 倍值区间” ，则有 ，解得 .所以函数函
数 存在“ 倍值区间” ；
对于④，当 时， .当 时， ，从而可得函数 在区间 上单调递增.
若函数 存在“ 倍值区间” ，且 ，则有 ，无解.所以函数
不存在“ 倍值区间”.
故答案为：②③.
【变式5-1】函数 的定义域为 ，满足：① 在 内是单调函数；②存在 ，使得 在
上的值域为 ，那么就称函数 为“优美函数”，若函数 是
“优美函数”，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】若 ，则函数 为R上增函数， 为 上的增函数，
所以函数 为其定义域上的增函数，
若 ，则函数 为R上减函数， 为 上的减函数，所以函数 为其定义域上的增函数，
综上，函数 为其定义域上的增函数，
若函数 是“优美函数”，则 ，
即 ，即 是方程 的两个不同的正根，
则 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故答案为：
【变式5-2】（2024·山东济宁·三模）函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在
，使得 在 上的值域为 ，则称函数 为“成功函数”，若函数
是“成功函数”，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】当 时，因 在其定义域内是单调递增函数，则 也是单调递增函数；
当 时， 在其定义域内是单调递减函数，则 是单调递增函数；
所以函数 是增函数，有 ，即 ，
故 是方程 的两个实数根，即方程 有两个不同的实数根，
也即函数 与直线 有两个不同的交点.令 ，则 ，
所以问题转化为函数 与 有两个不同的交点， 最大值为 ，
又 时， ，所以当 时，即 时，两函数恰有两个交点.
故答案为： .
题型六：函数不动点问题
【典例6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数 （ ，e为自然对数的底数），若曲线 上存在点 使 成立，则a的取值范围是 ．
【答案】 ．
【解析】由曲线 上存在点 ，使得 ，即 ，
下面证明 ，因为 在定义域上严格递增，
假设 ，则 ，
不满足 ，同理 ，不满足 ，
所以 ，那么函数 ，
即函数 在 有解，所以 ，
即 ， ，令 ，
则 ，
， ， 单调递增，
又 ，所以 ，所以a的取值范围是 ．
故答案为：
【典例6-2】设函数 （ ， 为自然对数的底数）.若曲线 上存在
使得 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知可得 ，且 ，
由已知存在 ，使得 ，则 ，
所以，存在 ，使得 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递增，则 ，则 .
易知函数 在 上单调递增.
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，则 ，不合乎题意；
若 ，则 ，合乎题意.
故存在 ，使得 ，可得 ，则 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .故答案为： .
【变式6-1】设函数 ，若曲线 上存在点 ，使得
成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 在曲线 上， ，∴ .
由于 在定义域内是增函数，
所以若 ，则 ，与 矛盾，
若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，
则问题转化为 在 内有解，即方程 在 内有解，
得方程 在 内有解，令 ，
则 ，∴ 时， ，
即 在 上单调递增，所以 .
故答案为：
【变式6-2】设函数 ，若曲线 上存在点 , 使得 成立，
求实数 的取值范围为 .
【答案】 ,
【解析】 ，
当 时， 取得最大值 ，
当 时， 取得最小值 ，
即函数 的取值范围为 , ，
若 上存在点 , 使得 成立，则 , .
又 在定义域上单调递增.
假设 ，则 ，不满足 ；假设 ，也不满足 ；
综上可得： ， , .
函数 有解，等价为 ，在 , 上有解，即平方得 ，则
，
设 ，则 ，
由 得 ，此时函数单调递增，由 得 ，此时函数单调递减，
即当 时，函数取得极小值，即 ，
当 时， ，
则 .则 ，
故实数 的取值范围为 , .
故答案为： , .
【变式6-3】已知 ，将函数 , 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线C.若
对于每一个 .曲线C都是一个函数的图像，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】利用运动是相对的，
函数 , 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线 绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的 与之对应，
即直线 绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与 的图像有且只有一个交点，故只需求函数
在原点处的切线方程， ，此时切线方程为 ，
故直线 最多绕坐标原点顺时针方向旋转 ，
则函数 , 的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转 ，
故 的最大值为 ，
故答案为：题型七：函数的旋转问题
【典例7-1】设 是正实数，将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 ．
若对于每一个旋转角 ，曲线 都可以看成是某一个函数的图像，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出函数 的图像，如图，在 轴正半轴上取一点 ，则 ，
由图可知，当函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 大于 时，旋转所得的图像与垂直于
轴的直线就有两个交点，曲线 不是一个函数的图像，
故 的最大值是
故答案为： .
【典例7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数 的图象绕点 逆时针
旋转 ，得到曲线 ，对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 最大时的正切值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
，则函数的图像是以 为圆心的圆的一部分，
先画出函数 的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为 ,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点 逆时针方向旋转角大于 时，
曲线 都不是一个函数的图象，
即当圆心 在x轴上时，
所以 最大值即为 ，
，所以 最大时的正切值为 .
故选：B.
【变式7-1】设 是含数3的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）
A． B．3 C．-3 D．0
【答案】A
【解析】对于A项，若 ，则构造如图1的函数图象，
使得点 ，根据定义可得图象上不存在关于 轴对称的点，
符合函数的定义，所以 的取值可能是 .故A正确；
对于B项，若 ，构造如图2的函数图象，
使得点 ，根据定义可推得点 ，
所以有 ，不符合函数的定义，故B错误；
对于C项，若 ，构造如图3的函数图象，
使得点 ，根据定义可推得点 ，
所以有 ，不符合函数的定义，故C错误；
对于D项，若 ，构造如图4的函数图象，使得点 ，根据定义可推得则点 ，所以 .
又 ，所以 ，不符合函数的定义，故D错误.
故选：A.
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数 的图像绕着原点逆时针旋转角 得到曲
线 ，当 时都能使 成为某个函数的图像，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在原点处的切线斜率为 ，切线方程为
当 绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角 大于 ，则旋转所成的图像与 轴就会有两个交点，
则曲线不再是函数的图像.
所以 的最大值为 .
故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
【典例8-1】定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若
当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[− ,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,− ]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为 ，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为 ，
若x∈[−4,−2]时， 恒成立，
∴ 恒成立．
即t2−4t+3 0，
即(t−3)(t−1) 0，
⩽
即1 t 3，
⩽
即t∈[1,3]，
⩽⩽
本题选择D选项.
【典例8-2】定义域为R的函数 满足 ，当 时， ，
若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 的取值范围是 ；
当 时， 的取值范围是 ，
所以当 时， 的取值范围是 ,
因为函数 满足 ，所以 ，
又当 时, ,
故 的取值范围是 ，
所以 时， ，故 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D.
【变式8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名
的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：
， ，定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可知， ， ， ，
所以当 ，对应就是 的值域的 倍，
由分段函数可以得，在 ，值域为 ； ，值域为
可知当 时， 的值域为 ，
故 对应值域为
对于 恒成立，
可得 ，解得， ，
故选：A．
【变式8-2】（2024·山西·二模）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，
此时有 ，
当 时， ，此时函数单调递增，故 ，故函数 在 时的最小值为 ，
又 ，因此当 时，函数 ，
从而 ，
故选：C.
【变式8-3】（2024·江西·一模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出 在 的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
当 时， ， ，
，又 ，所以 至少小于7，此时 ，
令 ，得 ，解得 或 ，结合图象，故 .
故选：B.
题型九：V型函数和平底函数
【典例9-1】（2024·上海青浦·二模）等差数列 ，满足
，则（ ）
A．n的最大值是50 B．n的最小值是50
C．n的最大值是51 D．n的最小值是51
【答案】A【解析】不妨设 ， ，由对称性可得： .可得 ， .解得 .可
得 ，可得 ，解出即可得出.不妨设 ， ，
由对称性可得： .则 ， .
， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，∴ .
∴n的最大值为50.
故选：A.
【典例9-2】已知等差数列 满足：
，则 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得 或
不妨设 ，即，
从而得，数列 为单调递增数列，
，且，
，同理即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
【变式9-1】等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
【答案】A
【解析】 为等差数列，则使
，所以数列 中的项一
定有正有负，不妨设 ，因为
为定值，故设 ，
且 ，解得 .若 且 ，则 ，同理若 ，则 .所以
，所以数列 的项数为 ，所以
，由于 ，所以 ，解得
，故 ，故选A.
【变式9-2】已知等差数列 满足，
，则 的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列 满足，
可得等差数列不是常数列，且 中的项一定满足 或 ，且项数为偶数，
设 ，等差数列的公差为 ，不妨设 ，
则 ，且 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
即有 ，
则
，
可得 ，解得 ，
即有 的最大值为 ， 的最大值为 .
故选：A.
【变式9-3】设等差数列 ， ，…， （ ， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （ ）
①当 时， ，不满足（ ），舍去．
②当 时，由（ ）得 为平底型，故 为偶数 ．
的大致图像为：则
所以 ，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在 ，满足 ，C错
由于 所以 ，故D错
③当 时，令
由于 的图像与 的图像关于 轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知 为平底型，故 为偶数 ，故B错
令所以 ，故A正确
由②知，不存在 ，满足 ，故C错
由②知， ，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.1．已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【解析】法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立，
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立.对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确.
对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为减数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立.而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，
猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
当 时，所以 ，
综上： ，
易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
2．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列有关数列 的
叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
解得 或 ，
由零点存在性定理得 ，
当 时， ，数列单调递减，
，，
同理， ，
迭代下去，可得 ，数列单调递减，
故选项 和选项 都错误；
又 ，
，故 错误；
对于 ， ，
而 ，
，故A正确．
故选：A．
3．已知数列 ，满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，把 代入递推可得： ，
令 ， ，则 ， 在 单调递增，
，即当 时，恒有 成立，
， ， ，故选项 错误；
又 ， 选项 错误；
， ，
令 ， ，则 ， 函数 在 ， 上递减，
，
，故选项 正确；
又由 可得 ， ， （当且仅当 时取“ “ ，可得
，
，故选项 错误，故选 ．
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克
雷函数 的结论正确的是（ ）
A． 有零点 B． 是单调函数
C． 是奇函数 D． 是周期函数
【答案】D
【解析】对于A，因为 或 均为有理数，
所以 ，故 没有零点，A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
故 不是单调函数，B错误，
对于C，因为 和 同为有理数或同为无理数，所以 ，
故 是偶函数，C错误，
对于D，设 为任意非零有理数，则 和 同为有理数或同为无理数，
所以 ，故 是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性
与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在
上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值
为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记函数 ，首先证明其凹凸性：
，
在 上为“凹函数”.由琴生不等式，得 ，
即 .
所以 ，
即当 时， 取最小值 ，所以 .
故选：B.
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢
量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞尔曲线，
其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若 ， ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
由题意 ，解得 ，所以 .
故选：C.
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及
调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项
的定义与今天大致相同．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ， ，则 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，当且仅当 时取等号，
所以
，（ ）
所以当 时， 取得最小值 ，
故选：D．
8．函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在 ，使得 在
上的值域也是 ，则称 为高斯函数.若 是高斯函数，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在 上单调递增，则
所以 是方程 在 上的两个不等实根，
令 ，则 ，
所以 在 上有两个不等实根，
令 ，对称轴 ，
则 ，即 ，解得 ．
故选：B．
9．设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：① 在 上是单调函
数；② 在 上的值域是 ，则称区间 是函数 的“和谐区间”．下列结论错误的是
（ ）
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ 且 ）不存在“和谐区间”【答案】D
【解析】对于选项A，存在区间 ， 在 上是单调增函数， 在 上的值域是 ，故
A正确；
对于选项B，假设存在区间 ，函数 在区间 上为增函数，
由 在 上的值域是 ，可得 ，
解得 ，这与 矛盾，故假设错误，所以选项B正确；
对于选项C，由函数 ，
可得 ，
取区间 ，在此区间上 ，所以函数 在区间 上为增函数．
因为 ， ，所以函数在区间 上的值域为 ，所以选项C正确；
对于选项D，不妨设 ，因为内层函数 为增函数，外层函数 也为增函数，
所以，函数 在其定义域内为增函数，
假设函数 存在“和谐区间” ，则由 得 ，
所以 、 是方程 的两个根，
即 、 是方程 的两个根．
令 ，可得 ， ，
设关于 的二次方程 的两根分别为 、 ，则 ，则 、 ，
即关于 的二次方程 有两个正根，故函数 存在“和谐区间”，D错.
故选：D.
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 ，使得 同
时满足：① 在区间 上是单调函数；
②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，则称区间 为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在 上的函数 有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数 有“和谐区间”，则 在 上单调递增，
且 在定义域内有两个不等的实数根，
，即 ，
又 在区间 单调递减，
在区间 单调递增，且 ，所以 ，
又因为 与直线 在 有两个交点，
，所以 ，得 ，
所以正整数 的最小值为 ， ，
即 ， ，
此时，实数 的取值范围是 .
故选：B.
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在 ，使 成立，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ，所以
所以存在 ，使 与 有交点，
对 ， ，求导得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
，
要使 与 有交点，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
12．（2024·安徽阜阳·二模）设函数 ，若曲线 是自然对数的底数）上
存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单
调递增,因此由 得 在 上有解，即 ,因为
，选C.
13．（2024·河南郑州·一模）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲线 上
存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】∵曲线 上存在点
∴
函数 （ ）在 上是增函数，根据单调性可证
即 在 上有解，分离参数， ， ，根据 是增函数可知，
只需 故选A.
14．设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线 上存在点
使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由 可知 ，
当 时， ＝ 为增函数，
∴ 时， ．
∴ 不存在 使 成立，故A，B错；
当 时， ＝ ，
当 时，只有 时 才有意义，而 ，故C错．故选D．
法二：显然，函数 是增函数， ，由题意可得，
，而由 可知 ，
于是，问题转化为 在 上有解．
由 ，得 ，分离变量，得 ，
因为 ， ，
所以，函数 在 上是增函数，于是有 ，
即 ，应选D．
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数 ，若曲线 上存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以由题意存在 使得 成立，
即 在区间 上有解，也即方程 有解，
所以问题转化为方程 有解，
令 ，
则 ，
故函数 单调递增，又 ，
所以， .
故选：D．
16．设 是函数 的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后与
原图象重合，则在以下各项中， 的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时旋转 个单位后与下一个点会重
合．
设 处的点为 ，
∵ 的图象绕原点逆时针旋转 后原图重合，
∴旋转后 的对应点 也在 的图象上，
同理 的对应点 也在图象上，
以此类推， 对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
对于B项，当 时，即 ， ，将点 绕坐标原点逆时针旋转 得到圆上的点 仍在函数图像上，
如图所示，
从函数角度看，此点 的横坐标为 ，即 ，这与函数的定义相矛盾，故B项错误；
对于A项，当 时，即 ， ， 与旋转角 不存在倍数关系，可以
取到，故A项成立；
对于C项，当 时，即 ， ， 与旋转角 不存在倍数关系，可以取到，故C
项成立；
对于D项，当 时，即 ， ， 与旋转角 不存在倍数关系，可以
取到，故D项成立.
故选：B.
17．定义域为R的函数 满足 ，当 时， ,若
时,对任意的 都有 成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，
时，
当 时，
时，时， ，即 对 恒成立
即： 对 恒成立
令 ， ，则
当 时， ，则 在 上单调递增
，解得：
本题正确选项：
18．（多选题）将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 ，若
曲线 仍然是一个函数的图像，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【解析】
如上图所示， 分别是 绕着原点逆时针方向旋转 ， ， ， ，所得到的的曲线，
根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， ，则（ ）
A．
B．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
C．若方程 恰有三个实数根，则 的取值范围是
D．函数 在区间 上的最大值为 ，若存在 ，使得 成立，则【答案】ABD
【解析】函数 的定义域为 ，满足 ，即 ，且当 时，
，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
依次，当 时，即
作出函数图象
对于A， 代入 ，故正确；
对于B，对任意 ，都有 ，
，
，解得
，对任意 ，
都有 ，则 的取值范围是 ，正确；
对于C，当 时， 的图像有3个交点，故错误；
对于D.最大值
存在 ，使得 成立， 的最大值，
，则 增， 减， ，
即 ，正确.
故选：ABD
20．已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的
最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 图象关于点 对称，
又 ，
所以 在 上单调递增，
等价于 ，
即 恒成立，
所以 ，即 恒成立，
令 ，可得 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即实数 的最小值为 .
故答案为： .
21．已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
【答案】2【解析】 ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 ， , 与函数 ， , 图
象上点的纵向距离，
则 即为函数 与函数 图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
作出函数 图象，如图，
由图象可知，当函数 的图象刚好为 时此时 ， 取得最小值为2.
故答案为：2
22．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，记 的最大值为 ，则
当 取得最小值时， 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意，得函数 的对称中心为 ，
因为 是奇函数，图象关于原点对称，所以其最大值和最小值互为相反数，
所以 不小于 的最大值；
要使 取得最小值，则 ，
令 ， ， ，
当 时，则 ， 为增函数，由于 是奇函数，所以 ；
当 时，令 得 ；
若 ，即 时， 时， ， 为减函数， ；
若 ，即 时， 时， ， 为增函数， 时，
， 为减函数，结合 的对称性可知
，
因为 ，所以 ;若 ，即 时，结合以上分析可知 ；
若 ，即 时， 时， ， 为增函数， 时，
， 为减函数， 时， ， 为增函数，结合 的对称性可知
，
因为 ，所以 ；
综上可知 的最小值为4，此时 ， ，所以 ．
故答案为： .
23．函数 （a， ）在区间[0，c]（ ）上的最大值为M，则当M取最小值2时，
【答案】2
【解析】解法一：因为函数 是二次函数，
所以 （a， ）在区间[0，c]（ ）上的最大值是在[0，c]的端点取到或者在
处取得．
若在 取得，则 ；若在 取得，则 ；
若在 取得，则 ；
进一步，若 ，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；
若 ，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；
由此推断 ，即有 ， ，
于是有 ．
解法二：设 ， ，则 ．
首先作出 在 时的图象，显然经过（0，0）和 的直线为 ，该曲线在[0，c]
上单调递增；
其次在 图象上找出一条和 平行的切线，
不妨设切点为 ，于是求导得到数量关系 ．
结合点斜式知该切线方程为 ．因此 ，即得 ．此时 ，
即 ，那么 ， ．从而有 ．
24．（2024·全国·模拟预测）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据已知，
当 时， ，
则当 时， 在 处取到最小值 ，
当 时， 在 处取到最小值 ，
所以 在 时在 处取到最小值 ，
又因为 ，
可知当 时，
在 时取到最小值，
且 ，
则 ．
为使 ， 恒成立，
需 ，
当 时，
可整理为 ，
解得 ；
当 时，
可整理为 ，
解得 ．
故答案为 .
25．（2024·上海长宁·一模）已知a，a，a 与b，b，b 是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a|+|x﹣
1 2 3 1 2 3 1
a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素．
2 3 1 2 3
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|，g(x)＝|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|，
1 2 3 1 2 3将关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数
1 2 3 1 2 3
的问题
不妨令a＜a＜a，b＜b＜b，
1 2 3 1 2 3
由于f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝ ，
1 2 3
g(x)＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|＝ ，
1 2 3
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两
条线段的斜率对应相等．
当a，a，a 的和与b，b，b 的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有
1 2 3 1 2 3
限集矛盾
不妨令a，a，a 的和小于b，b，b 的和即a+a+a＜b+b+b，﹣a﹣a﹣a＞﹣b﹣b﹣b，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在上，右边射
1 2 3
线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中
1 2 3
间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
26． 为等差数列，则使等式
能成立的数列 的项数n的最大值是 .
【答案】
【解析】易得 中有正有负,则数列 中的项一定满足 或 ,且项数为偶数.不妨设 ,设公差为 ,则此时 ,且 .
又
.故 .
故 有
.
因为 ,故 .因为
故 ,
故答案为：
27．等差数列 满足
，则 的最大值为 ．
【答案】50
【解析】若对任意 ， 恒成立，则 ，
可得 ，
，
显然两者不相等，不合题意；
同理可得对任意 ， 恒成立也不合题意；
所以等差数列 一部分为正，一部分为负，
即存在 ，使得 或 ，
若 ，可得 ，
且
，
当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ；
且，
当且仅当 时，等号成立
即 ，解得 ，
综上所述： ，即满足条件的 必为偶数，
结合等号成立条件可知： 且 ，
设等差数列的公差为 ，则 ， ， ，
即 ， ， ，
可得 ，
则
，
可得 ，解得 ，
且 ，即有 的最大值为 ， 的最大值为 ；
同理可得：当 ， 的最大值也为 .
故答案为：50.
28．若等差数列 满足
，则n的最大值为 ．
【答案】50
【解析】由题意知：等差数列 满足
，
故等差数列不是常数列，且 中的项一定满足 或 ，且项数为偶数，
设 ，等差数列的公差为 ，不妨设 ，此时 ， ，
则 ，且 ，即 ，故 ， .
又 ，则 ，故 ，即有 ，则
，
可得 ，解得 ，又 ，
即有 的最大值为 ， 的最大值为 .
故答案为：50
