文档内容
拔高点突破 01 函数的综合应用
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：函数与数列的综合........................................................................................................................................3
题型二：函数与不等式的综合....................................................................................................................................4
题型三：函数中的创新题............................................................................................................................................4
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）................................................................................5
题型五：倍值函数.........................................................................................................................................................6
题型六：函数不动点问题............................................................................................................................................7
题型七：函数的旋转问题............................................................................................................................................7
题型八：函数的伸缩变换问题....................................................................................................................................8
题型九：V型函数和平底函数.....................................................................................................................................9
03过关测试.........................................................................................................................................101、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
（1）当 为奇数时，函数 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线
对称．
3、若 为 上的连续单峰函数，且 为极值点，则当 变化时，
的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得．题型一：函数与数列的综合
【典例1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由小到大
的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列
【典例1-2】（2024·新疆·三模）已知数列 中， ，若 （ ），则下列结论中错误
的是（ ）
A． B．
C． （ ） D．
【变式1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 中， ，若
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由小到
大的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列题型二：函数与不等式的综合
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义域为R的函数， ，对任意
， ，均有 ，已知a，b 为关于x的方程 的两
个解，则关于t的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集
为 ．
【变式2-1】关于 的不等式 的解集为 ．
【变式2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契 年~ 年）以兔子繁殖数
量为例，引人数列： ，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即
，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为
．设 是不等式 的正整数解，则 的最小值
为 ．
题型三：函数中的创新题
【典例3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、
保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子
午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，
撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 的图像来刻画，满足关于 的
方程 恰有三个不同的实数根 ，且 （其中 ），则 的值为
（ ）A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．
“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3
再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一
串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数 经过 次角
股运算后首次得到1（若 经过有限次角股运算均无法得到1，则记 ），以下说法有误的是
（ ）
A． 可看作一个定义域和值域均为 的函数
B． 在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数 ，都有
D． 是真命题， 是假命题
【变式3-2】 19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更
高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数
出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量 进制随机数据中，以 开头的数出现的概率
为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来
检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则 的
值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典例4-1】设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在 使得 成立，则
实数 的最大值为（ ）A．－1 B．0 C． D．1
【典例4-2】已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在 ，使得 成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 ，且 ，满足
，当 时，设函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】设函数 ，若对任意的实数 和 ，总存在 ，使得 ，
则实数 的最大值为 ．
【变式4-3】设函数 ， ， ，若对任意的实数 ， ，总存在实数 ，使得不
等式 成立，则 的最大值是 ．
题型五：倍值函数
【典例5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数 的定义域为D，若存在闭区间 ，使得函数 满
足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍
值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
① ； ② ；
③ ； ④ ．
【典例5-2】函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 同时满足：（1） 在
内是单调函数；（2） 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“ 倍值区
间”.下列函数：① ；② ；③ ；④ .其中存
在“ 倍值区间”的序号为 .
【变式5-1】函数 的定义域为 ，满足：① 在 内是单调函数；②存在 ，使得 在上的值域为 ，那么就称函数 为“优美函数”，若函数 是
“优美函数”，则 的取值范围是 .
【变式5-2】（2024·山东济宁·三模）函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在
，使得 在 上的值域为 ，则称函数 为“成功函数”，若函数
是“成功函数”，则 的取值范围为 .
题型六：函数不动点问题
【典例6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数 （ ，e为自然对数的底数），若
曲线 上存在点 使 成立，则a的取值范围是 ．
【典例6-2】设函数 （ ， 为自然对数的底数）.若曲线 上存在
使得 ，则 的取值范围是 .
【变式6-1】设函数 ，若曲线 上存在点 ，使得
成立，则实数a的取值范围是 .
【变式6-2】设函数 ，若曲线 上存在点 , 使得 成立，
求实数 的取值范围为 .
【变式6-3】已知 ，将函数 , 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线C.若
对于每一个 .曲线C都是一个函数的图像，则 的最大值为 .
题型七：函数的旋转问题
【典例7-1】设 是正实数，将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 ．
若对于每一个旋转角 ，曲线 都可以看成是某一个函数的图像，则 的最大值为 ．
【典例7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数 的图象绕点 逆时针
旋转 ，得到曲线 ，对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 最大时的正切值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】设 是含数3的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）
A． B．3 C．-3 D．0
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数 的图像绕着原点逆时针旋转角 得到曲
线 ，当 时都能使 成为某个函数的图像，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型八：函数的伸缩变换问题
【典例8-1】定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，若
当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【典例8-2】定义域为R的函数 满足 ，当 时， ，
若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名
的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：
， ，定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·山西·二模）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·江西·一模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
题型九：V型函数和平底函数
【典例9-1】（2024·上海青浦·二模）等差数列 ，满足
，则（ ）
A．n的最大值是50 B．n的最小值是50
C．n的最大值是51 D．n的最小值是51
【典例9-2】已知等差数列 满足：
，则 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【变式9-1】等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
【变式9-2】已知等差数列 满足，
，则 的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式9-3】设等差数列 ， ，…， （ ， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为1．已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列有关数列 的
叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列 ，满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克
雷函数 的结论正确的是（ ）
A． 有零点 B． 是单调函数
C． 是奇函数 D． 是周期函数
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性
与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在
上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢
量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞尔曲线，
其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若 ， ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及
调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项
的定义与今天大致相同．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在 ，使得 在
上的值域也是 ，则称 为高斯函数.若 是高斯函数，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：① 在 上是单调函
数；② 在 上的值域是 ，则称区间 是函数 的“和谐区间”．下列结论错误的是
（ ）
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ 且 ）不存在“和谐区间”
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 ，使得 同
时满足：
① 在区间 上是单调函数；②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，则称区间 为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在 上的函数 有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·安徽阜阳·二模）设函数 ，若曲线 是自然对数的底数）上
存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
13．（2024·河南郑州·一模）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲线 上
存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线 上存在点
使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数 ，若曲线 上存在 ，
使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．设 是函数 的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后与
原图象重合，则在以下各项中， 的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．17．定义域为R的函数 满足 ，当 时， ,若
时,对任意的 都有 成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
18．（多选题）将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 ，若
曲线 仍然是一个函数的图像，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， ，则（ ）
A．
B．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
C．若方程 恰有三个实数根，则 的取值范围是
D．函数 在区间 上的最大值为 ，若存在 ，使得 成立，则
20．已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的
最小值为 .
21．已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
22．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，记 的最大值为 ，则
当 取得最小值时， 的值为 ．
23．函数 （a， ）在区间[0，c]（ ）上的最大值为M，则当M取最小值2时，
.
24．（2024·全国·模拟预测）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
25．（2024·上海长宁·一模）已知a，a，a 与b，b，b 是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a|+|x﹣
1 2 3 1 2 3 1
a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素．
2 3 1 2 326． 为等差数列，则使等式
能成立的数列 的项数n的最大值是 .
27．等差数列 满足
，则 的最大值为 ．
28．若等差数列 满足
，则n的最大值为 ．
