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重难点突破06 双变量问题
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破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
【解析】（1）当 时， ， ，切点为
求导 ，切线斜率
曲线 在 处的切线方程为 ．
（2） ， 的定义域为 ，求导 ，
在 上单调递减．
不妨假设 ，∴ 等价于 ．
即 ．
令 ，则 ．
， ， ．
从而 在 单调减少，故 ，即 ，
故对任意 ．
例2．（2023·安徽·校联考三模）设 ，函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，且对任意 ，
，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（Ⅰ） 的定义域是 .
.
（1）当 时， ， 的定义域 内单增；
（2）当 时，由 得， .
此时 在 内单增，在 内单减；
（3）当 时， ， 的定义域 内单减.
（Ⅱ）因为 ，所以 ， .
此时 .
由（Ⅰ）知， 时， 的定义域 内单减.
不妨设 ，
则 ，即 ，
即 恒成立.
令 ， ，则 在 内单减，即 .
， ， .
而 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
所以 ，故实数 的取值范围是 .
例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 时，任意的 ，总有 ，求实数
的取值范围.【解析】（Ⅰ） （ ）
①当 时 ，故 在 上单调递增；
②当 时 ，故 在 上单调递减；
③当 时，令 解得
则当 时 ；
当 时， 故 在 上单调递减；在 上单调递增；
综上所述：当 时， 故 在 上单调递增；
当 时， 故 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增．
（II）由（Ⅰ）知当 时 故 在 上单调递增；
对任意 即
令 因为
所以 在 上单调递增；所以 即 在 上
恒成立
故
令 则 又因为 所以
>1 当且仅当 时取等号，所以 ，
故不等式 恒成立的条件是 即 .
所以，实数 的取值范围为 .变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
将 代入 的解析式，得 ，
求导得 ．
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ．
所以当 时， ，当 时， ，于是 在区间 上单调递
减，在区间 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）当 时， ．
因为 ，所以不等式 可化为 ，
所以 对任意的 恒成立，所以函数 为 上的减函数，
所以 在 上恒成立，可得 在 上恒成立，
设 ，则 ，令 ，得 ．
所以当 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，得 ．
所以实数 的取值范围为 ．
变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，证明 ；
(3)若对任意的不等正数 ，总有 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意得： 定义域为 ， ；
当 时， ， ， 在 上恒成立，
在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知： ；
要证 ，只需证 ，即证 ；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
又 ， ，即 .
（3）不妨设 ，则由 得： ，
即 ，
令 ，则 在 上单调递增，
在 上恒成立，即 ，又 ， ；
令 ，则 ，
令 ，解得： （舍）或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，解得： ；
的取值范围为 .
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，当且仅当 即“=”，则 ， 在
上单调递减，
当 时，方程 有两个正根为 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
于是得 在 、 上单调递减，在 上单调递增；
（2）因 存在两个极值点 ，且 ，由(1)知 ，即 ，则 ，
显然， 对 是递增的，从而有 ，，
令 ，
，
令 ， ，
即 在 上单调递增， ，则 ，于是得 在 上单调递增，
从而得 ，即 ，
所以 的取值范围 .
例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)若 ，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当 时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点 且 ，若 求证： .
【解析】（1）若 ，则 ，所以 ，又 ，所以 ，即f（x）
在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为 .
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）， ，设 ，其
.
①当 时，即 时， ，即 ，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.
②当 时，即 时，设 两根为 .
当 时， ，即 ，即f（x）的增区间为 ， .
当 时， ，即 ，即f（x）的减区间为 .
综上：当 时，f（x）的单增区间为 ；
当 时，f（x）的增区间为减区间为( ).
（3）由（2） ，
因为f（x）存在两个极值点 ，所以 存在两个互异的正实数根 ，
所以 ，则 ，所以 ，
所以
.
令 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，而 ，
即 ，∴ .
例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.
【解析】（1）∵ ，
，当 时， ， ， 在定义域 上单调递增；
当 时，在定义域 上 ，
时， 在定义域 上单调递增；
当 时，令 得 ， ，
， 时， ； 时 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.综上可知：当 时， 在定义域 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（其中 ，
）
（2）由（1）知 有两个极值点，则 ，
的二根为 ，
则 ， ，
，
设 ，又 ，∴ .
则 ， ，
∴ 在 递增， .
即 的范围是
变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .（2） 的定义域是 ，
， ，
令 ，则 ．
①当 或 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
②当 ，即 时，由 ，得 或 ；
由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减
（3）由（2）当 时， 在 上单调递增，此时函数 无极值；
当 时， 有两个极值点，即方程 有两个正根 ，
所以 ，则 在 上是减函数．所以 ，
因为 ，
所以
，
令 ，则 ，，
所以 在 上单调递减，
又 ，且 ，
所以 ，
由 ，
又 在 上单调递减，
所以 且 ，所以实数 的取值范围为 ．
变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在两个极值点 ，记 ,求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ，对 求导得：
，
令
1）若 ，则 ，即 ，所以 在 上单调递增.
2）若
①当 时，即 ，则 ，即 ，所以 在 上单调递增.
②当 时，即 ，由 ，得
当 时，
当 时，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时, 在 上是单调递增的，在 上是单调递减的.
（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
，
所以 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上是单调递减的，在 上是单调递增的
因为 ，且当 ，
所 ，所以 的取值范围是
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数 ，
可得 ，其中 ，
当 时，即 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，即 ，
解得 ， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以函数 在区间 单调递减，在 单调递增；
当 时，令 ，即 ，
解得 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
（2）由（1）值，当 时，函数 存在两个极值点 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，可得 ，
令 ，则 ，
所以 在 为单调递增函数，
又因为 ，所以当 时， ，
即实数 的取值范围为 ．
变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，
①求a的取值范围；
②证明： ．
【解析】（1）当 时， ，故 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）① ，依据题意可知 有两个不等实数根，
即 有两个不等实数根 ．
由 ，得 ，
所以 有两个不等实数根可转化为
函数 和 的图象有两个不同的交点，
令 ，则 ，
由 ，解得 ；由 ，解得 ；
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ．
又当 时， ，当 时， ，
因为 与 的图象有两个不同的交点，所以 ．
②由①可知 有两个不等实数根 ，
联立 可得 ，
所以不等式 等价于
．
令 ，则 ，且 等价于 ．
所以只要不等式 在 时成立即可．
设函数 ，则 ，
设 ，则 ，
故 在 单调递增，得 ，
所以 在 单调递减，得 ．
综上，原不等式 成立．题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若 有两个不同的极值点 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： （ ……为自然对数的底数）.
【解析】（1）当 时， ( )，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 的递减区间为 ，递增区间为 ，
极小值为 ，无极大值；
（2）(i)因为 ( )，
令 ( )，问题可转化函数 有个不同的零点 ，
又 ，令 ，
故函数 在 上递减，在 上递增，
故 ，故 ，即 ，
当 时，在 时，函数 ，不符题意，
当 时，则 ， ， ，
即当 时，存在 ， ，
使得 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
故 有两个不同的极值点 的a的取值范围为 ；
（ii）因为 ， ，且 ，令 ，则 ， ，
又 ，
令 ，即只要证明 ，即 ，
令 ，
则
，
故 在 上递增，且 ，所以 ，即 ，
从而 ，
又因为二次函数 的判别式 ，
即 ，即 ，
所以 在 上恒成立，故 .
例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ，证明： ．
【解析】（1）∵ ，当且仅当 时等号成立．
当 时，恒有 ，则 在 上单调递增；
当 时， ，令 ， ．
∵ ，∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， ，显然 ，
∴当 和 时， ；当 时， ．
∴当 和 时， ，∴ 在 和 上单调递增；当 时， ，∴ 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当 时， 存在两个极值点 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ．
设 ，由（1）易知 ，∴ ．
要证明 ，
只要证明 ．
设 ，则 ，
∴当 时， 单调递增，从而 ，即 ，
∴ 成立，从而 成立．
要证明 ，只要证明 ．
由（1）知， ， ，
只要证明 ．
设 ，
则 ， ，
则当 时， 单调递增，从而 ；
则当 时， 单调递减，从而 ，
即 成立，从而 ．
综上，得 ．
例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)若 存在两个极值点 、 ，求实数 的取值范围，并证明： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
，∴ ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由题意知 ，
令 ， ，
∵ 存在两个极值点，∴ 有两个零点，
易知 ，
当 时， ， 在 上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意．
当 时，由 得 ，
若 ，则 ， 单调递增；
若 ，则 ， 单调递减．
要使 有两个零点，需 ，解得 ．
当 时， ，∴ 在 上存在唯一零点，记为 ．
∵ ，∴ ， ，
设 ，则 ，令 ， ，则 ，
∴ 在 上单调递减，∴ ，即 ，
∴ 在 上存在唯一零点，记为 ．
则 ， 随 的变化情况如下表：
﹣ 0 ﹢ 0 ﹣↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴实数 的取值范围是 ．
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴要证 ，只要证 ，
只要证 ，只要证 ，
又 ，∴只要证 ，即证 ．
设 ， ，
则 ，
∴F(x)在 时单调递增，
∴ ，
∴ 成立，即 得证．
变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，证明：
（i） ；
（ii） .
【解析】（1）方法一： ， .
设 ，则 .
设 ，则 ， 单调递减.， 当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减.
，
当 时，方程有一解，当 时，方程无解；
方法二：设 ，则 .
设 ，则 . 单调递增
当 时， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
， 方程 有一解.
当 时， .
令 ,
令 ，则 在 上单调递增，又
，则 在 上单调递减，
在 上单调递增，则 .
即 ，
无解，即方程 无解.
综上，当 时，方程有一解，当 时，方程无解．
（2）（i）当 时， ，则 ，
， 是方程 的两根.
设 ，则 ，
令 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增.
， ， 当 时， ， ， .
由 .令 ， ， ， .
等价于 .
设 ， ，
则 ，
单调递增， ，
，即 ， ，
综上， ；
（ii）由（i）知， ， .
.
由（i）知， ，
设 ， ，则 .
单调递减， ，即 .
.
设 ， ，
则 .
单调递增，又 ， 当 时， .
， ，即命题得证.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）讨论函数 的单调区间；（2）设 ， 是函数 的两个极值点，证明： 恒成立．
【解析】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
①当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，则 ，所以在 上 单调递增，
④当 时，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由 ，则 的定义域为 ，
且 ，
若 有两个极值点 ， ，
则方程 的判别式 ，
且 ， ，解得 ，又由 ，所以 ，即 ，
所以
，
设函数 ，其中 ， ，
由 得 ，又 ，
所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
即 的最大值为 ，
从而 恒成立．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，求证： .
【解析】（1） ，
当 时，f（x）递增区间为 ；
当m<0时，f（x）递增区间为 ，通减区间是 ；
（2） ，
当 时， 在 递增，无极值点；
当 或 时，令 ，
得
若 ，则 ， 在 递增，无极值点；
若 ，则 ，不妨设 .
此时g（x）有两个极值点 .因为 ，故 ，即 .
题型四：双变量不等式:中点型
例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ．
（1）已知 为 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若对于任意 ，都存在 ，使得 ，
证明： ．
【解析】（1） ，由 为 的极值点.
所以 ，解得 ,
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 满足 在 处取得极值.
则 ，
所以过点 的切线方程为
(2) ,则
当 时， ，则 在 上单调递增.
令 , ， ，对称轴方程为
当 时， 开口向下，对称轴方程为 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 .
则 在 上单调递增.
当 时， ，有两个不等实数根 ，
所以 得出 ， 得出
则 在 上单调递增，在 上单调递减
综上所以：当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）
所以
又
所以
即
则
由 ，则 ，设设 ，则
所以 在 上单调递减,所以
所以 恒成立,即
由 ，则
由 ，则 在 时恒成立.
所以 在 上单调递增.
所以由 ，可得 成立.
例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：当 时， ；
（Ⅲ）设 是 的两个零点，证明 .
【解析】（Ⅰ）求导，并判断导数的符号，分别讨论 的取值，确定函数的单调区间．
（Ⅱ）构造函数 ，利用导数求函数 当 时的最大值小于零即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，从而 ，于是 ，由（Ⅰ）知，
.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ，
求导数，得 ，
若 ，则 ，此时 在 上单调递增，
若 ，则由 得 ，当 时， ，当 时， ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
（Ⅱ）令 ，则.
求导数，得 ，
当时 ， ， 在 上是减函数.
而 ， ，
故当 时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当 时，函数 至多有一个零点，
故 ，从而 的最小值为 ，且 ，
不妨设 ，则 ， ，
由（Ⅱ）得 ，
从而 ，于是 ，
由（Ⅰ）知， .
点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数
的符号，分别讨论 的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数 ，把不
等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数 当 时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用
（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.
例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数 且 .
（1）讨论函数 的单调性;
（2）当 时，若函数 的图象与 轴交于 ， 两点，设线段 中点的横坐标为 ，证明:
.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，解得 (舍去)， ．
当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增；
当 时，在 上 ，函数 单调递减，在 上 ，函数 单调递增．
综上， 时，函数 单调递增；
时， 在 上单调递减；在 上单调递增；
（2）由（1）知， ， ，
令 ， ，则 ，当 时， 恒成立，所以 单调递增，
即 单调递增；
又 ，故要证 ，即证 ；
设 ， ，且 ，
由题设条件知， ，因此只需证 ；
由题意， ，
两式作差可得， ，
即 ，
即 ，
下面先证明 ，即证 ，
令 ， ，
则 显然成立，
所以 在 上单调递增，
则 ，所以 ，即 ，
所以 ，
因此 ，
即 ， ，
即
因此 ，
所以原命题得证.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 的图像与x轴交于A，B两点，线段 中点的横坐标为 ，证明： .
【解析】（1） 的定义域为 ，
．
①若 ，则 ，所以 在 单调递增．
②若 ，则由 得 ，
且当 时， ，当 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
（2）由（1）可知：当 时，函数 在 上单调递增，
故 图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而 ．
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
不妨设 ， ， ，则 ．
由 ，
两式相减得： ，
即： ，
又
令 ， ，则 ，从而函数 在 上单调递减，
故 ，从而 ，又 ，所以 ．
变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 图象上不重合的两点 .证明： .（ 是直线
的斜率）
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
且
①当 时， ，此时 在 单调递增；
②当 时，令 可得 或 （舍）， ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上：①当 时，函数 在 上单调递增；
②当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题意得 ，
所以
又 ，
要证 成立，即证： 成立，
即证： 成立.
令 ，即证 时， 成立.
设
则
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，都有 ，
即 ， ，
所以
变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数 （
）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，若函数 的两个极值点 ， （ ）恰为函数 的两个零点，且
的取值范围是 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
可得 ，
对于方程 的判别式 （其中 ），
（i）若 ，即 时， 恒成立，
故 在 上单调递增；
（ii）若 ，即 时，
令 ，解得 ， ．当 ， ；
当 时， ．
所以当 时， 单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 单调递增区间为 和 ；
单调递增区间为 ．
（2）由（1）知： 且 ， ，其中 ，
因为 ，可得 （ ），
所以 ，
由 ，可得
两式相减，得 ．（ ）
∴
令 ，可得 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
由 的取值范围是 ，得 的取值范围是 ，
所以 ，
又因为 ，故实数 的取值范围是 ．
题型五：双变量不等式:剪刀模型
例13．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数 在点( ， )处的切线方程为 ．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数
x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于 的方程 有两个实数根 、 ，且 ，证明： ．
【解析】（1）将 代入切线方程 中，有 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ．
若 ，则 ，与 矛盾，
故 ．
（2）由(1)可知 ， ， ，
令 ，有 或 ，
故 为 ．
曲线在点 处的切线方程为 ，
则 ，
令 ，
则 ，
∴ ，
令g(x)＝ ，则 ，∴ 在R上单调递增，
∵ ，
∴当 时， ， 单调递减，
当x＞－1时， ， 单调递增．
∴ ，即 成立．
（3）由(2)知 在 处的切线方程为 ，且f(x)≥h(x)，则 ，
设 ，则 ，
故 ，∵ 单调递减，∴ ，
设 在 处的切线方程为 ，易得 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
当 时， , 单调递减， ，
当 时， , 单调递增，
又∵ ，
∴当 时， ，T(x)单调递减，
当 时， ，T(x)单调递增，
∴ ，即 ，∴ ，
设 ，则 ，
故 ，∵ 单调递增，故 ，
又 ，
则 .
例14．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数 在点 处的切线方
程为 ．
（1）求 ， ；
（2）函数 图像与 轴负半轴的交点为 ，且在点 处的切线方程为 ，函数
， ，求 的最小值；
（3）关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．
【解析】（1）将 代入切线方程 中，得 ，所以 ，
又 或 ，
又 ，
所以 ，
若 ，则 （舍去）；
所以 ，则 ；
（2）由（1）可知 ， ，
所以 ，
令 ，有 或 ，
故曲线 与 轴负半轴的唯一交点 为
曲线在点 处的切线方程为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ．
若 ， ，
若 ， ， ，
所以 .
若 ， ，
，，所以 在 上单调递增，
，函数 在 上单调递增．
当 时， 取得极小值，也是最小值，
所以 ．
最小值
（3） ，设 的根为 ，
则 ，又 单调递减，
由（2）知 恒成立．
又 ，所以 ，
设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ，
令 ，
．
当 时， ，
当 时， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递增，故 ，故 ．
又 ，所以 ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是 的极值点．
(1)求 的值；
(2)设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线为直线 ．求证：曲线 上的点都
不在直线 的上方；
(3)若关于 的方程 有两个不等实根 ， ，求证： ．
【解析】(1) ；由题意知， ， ；
(2)证明：设曲线 在 ， 处切线为直线 ；
令 ；
；
；
在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
；
，即 ，即 上的点都不在直线 的上方；
(3)由（2）设方程 的解为 ；
则有 ，解得 ；
由题意知， ；
令 ， ；
；
在 上单调递增；
；
的图象不在 的下方；
与 交点的横坐标为 ；
则有 ，即 ；；
关于 的函数 在 上单调递增；
．
变式13．（2023·安徽·校联考二模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)设曲线 与 轴正半轴相交于点 ，曲线在点 处的切线为 ，求证：曲线 上的点
都不在直线 的上方；
(2)若关于 的方程 （ 为正实数）有两个不等实根 ，求证： .
【解析】（1）证明：由题意可得： ，
，
可得曲线在点 处的切线为 .
令 ，
，
当 时， ，当 时，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
曲线 上的点都不在直线 的上方.
（2）证明：由（1）可得 ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的最大值为 ，
，
曲线在点 处的切线为 ，
由（1）得 ，
令 ，
， ，
∴由零点的存在性定理知 ，
同理可得曲线 在点 处的切线为 ，设 与 的交点的横坐标分别为
则 ，
.
下面证明： .
，
，且 ，
.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，在点 处的切线方程记为
，令 ．
(1)设函数 的图象与 轴正半轴相交于 ， 在点 处的切线为 ，证明：曲线 上的点都不在
直线 的上方；
(2)关于 的方程 为正实数）有两个实根 ， ，求证： ．
【解析】(1)证明：由 ，则 ，即切点为
求导 ，则切线斜率 ，
在点 处的切线方程为： ，记为 ，
．
由 ． ，解得 ．
求导 ，则切线斜率 ．
在点 处的切线为 ．
令 ． ．
求导 ，
恒成立，令 ，得 ，解得
当 时， ，函数 单减；当 时， ，函数 单增．
，即 ．
因此曲线 上的点都不在直线 的上方．(2)由（1）知 ，求导
当 时， ，函数 单增，当 时， ，函数 单减；
，且 有两个零点：0，
又 在点 处的切线为 ．
同理可得： 在点 处的切线为： ．
设 与 ， 的交点的恒坐标分别为 ， ．
又 ，则 ， ．
．
．
题型六：双变量不等式:主元法
例16．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
【解析】(1)
令 得： ，
， ；
令 得： ；
在 上为增函数；在 上为减函数；
.(2)由（1）知：当 时，有 ，
，即： ， .
(3)将 变形为：
即只证：
设函数
，
令 ，得： ．
在 上单调递增；在 上单调递减；
的最小值为： ，即总有： ．
，即： ，
令 ， ，则
，
成立．
例17．（2023·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的最小值，并证明：当 时， ．（其中e为自然对数的底数）
【解析】(1) 的定义域为 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
(2)令 ， ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
证明如下：当 时，有 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
例18．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： ， ．
【解析】（1）由题知 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
（2）由题知 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以
令
即证 在 上恒成立，因为
当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
因为 ， ，
令 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 恒成立，
因为 ，
所以 在 上恒成立，即得证.
变式15．（2023·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数 （其中
且 为常数， 为自然对数的底数， ．
(1)若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围；
(2)当 时，若 （其中 恒成立，求 的最小值 的最大值．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
其导数为 ．
由 或 ，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ．
即 在区间 上递增，在区间 上递减，
，又当 时， ，当 时， 且 恒成立．
当 或 时，方程 无根，函数 只有 一个极值点．
当 时，方程 的根也为 ，此时 的因式 恒成立，
故函数 只有 一个极值点．
当 时，方程 有两个根 、 且 ， ，
函数 在区间 单调递减； ， 单调递增； 单调递减； ， 单调递增，此时函数
有 、1、 三个极值点．
综上所述，当 或 时，函数 只有一个极值点．
（2）依题意得 ，令 ，则对 ，都有 成立．
， 当 时，函数 在 上单调递增，
注意到 ，
若 ， ，有 成立，这与 恒成立矛盾；
当 时，因为 在 上为减函数，且 ，
函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
，
若对 ，都有 成立，则只需 成立，
，
当 时，则 的最小值 ，
，
函数 在 上递增，在 上递减，
，即 的最小值 的最大值为 ；
综上所述， 的最小值 的最大值为 ．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；(3)若 ，证明： .
【解析】(1)函数 ，则 ，
令 ，解得： ，且当 时， ， 时，
因此： 的极小值为 ，无极大值.
(2)
令 ，则 ，
注意到： ，若要 ，必须要求 ，即 ，亦即
另一方面：当 时，因为 单调递增，则当 时，
恒成立，所以 在 时单调递增，故 ；故实数 的取值范围为： ；
(3)构造函数 ， ， ，
， ， ， 在 上是单调递增的；
故 即：
另一方面，构造函数 ，
，
在 上是单调递减的
故 即：
综上， .
变式17．（2023·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知 函数.
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 ，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)若对任意的 ，关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值
范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ；（2）由题可知 ，
若存在 ，使得 ，
则不等式 的解集非空，
则 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ；
（3）对任意的 ，关于 的不等式 在区间 上恒成立，
等价于对于任意的 ，不等式 在区间 上恒成立，
令 ，对称轴 ，
由 ，可知 ，
所以 在区间 单调递增， ，
所以只要当 时， 恒成立即可，
即当 时， 恒成立，
所以 .
所以实数 的取值范围是 .
