文档内容
第 05 讲 对数与对数函数
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：对数式的运算................................................................................................................................................2
题型二：对数函数的图象及应用................................................................................................................................2
题型三：对数函数过定点问题....................................................................................................................................3
题型四：比较对数式的大小........................................................................................................................................3
题型五：解对数方程或不等式....................................................................................................................................4
题型六：对数函数的最值与值域问题........................................................................................................................4
题型七：对数函数中的恒成立问题............................................................................................................................5
题型八：对数函数的综合问题....................................................................................................................................6
重难创新练............................................................................................................................................6
真题实战练............................................................................................................................................9题型一：对数式的运算
1．若 ，则 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ， ，则 .
3．求值：
(1) ；
(2) ．
4．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
题型二：对数函数的图象及应用
5．（2024·高三·山东潍坊·期中）已知指数函数 ，对数函数 的图象如图所示，则下列关系成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．47．如图所示的曲线分别是对数函数 ， ， ， 的图象，则 ， ， ， ，
1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数 的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为
．
9．（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是函数 的一个零点， 是函数
的一个零点，则 的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．4048 D．8096
题型三：对数函数过定点问题
10．函数 的图像恒过定点（ ）
A． B． C． D．
11．函数 恒过定点 ，则 的值（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．函数 的图象恒过点P，若角 的终边经过点P，则 （ ）
A． B． C． D．
题型四：比较对数式的大小
13．（2024·宁夏银川·二模）若 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·云南·模拟预测）已知函数 为 上的偶函数，且当 时，，若 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
题型五：解对数方程或不等式
18．（2024·高三·上海虹口·期中）方程 的解为 ．
19．关于 的方程 的解为 ．
20．不等式 的解集 .
21．不等式 的解集为 .
22．不等式 的解集为 ．
23．不等式 的解集为 ．
题型六：对数函数的最值与值域问题
24． 的最小值为 .
25．已知对数函数 在区间 上的最大值比最小值大1，则 ．
26．函数 的最大值为 .
27．设函数 且 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若 在 上的最大值与最小值之差为1，求 的值．
28．已知函数 （ 且 ）为奇函数.
(1)求函数 的定义域及解析式；(2)若 ，函数 的最大值比最小值大2，求 的值.
题型七：对数函数中的恒成立问题
29．已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，
使 成立，则实数 的取值范围为 .
30．已知函数 且 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 且存在 ，使得 成立，求 的最小整数值．
31．已知函数 ， 且 ．
(1)若 ，求方程 的解；
(2)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
32．已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 的单调性并证明；
(3)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围.题型八：对数函数的综合问题
33．设方程 和方程 的根分别为 ，设函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·高三·河北邢台·期中）已知 ，且 的图象过点 ，又
.
(1)若 成立，求 的取值范围；
(2)若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
35．（2024·高三·安徽·期中）已知 ，且 是偶函数．
(1)求 的值；
(2)若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的最大整数值．
36．（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.1．（2024·高三·广西·开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大
为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 在 上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建莆田·三模）已知 ，点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 的最小值
是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 是定义在 上的函数，则给定 上的函数 （ ）
A．存在 上的函数 ，使得B．存在 上的函数 ，使得
C．存在 上的函数 ，使得
D．存在 上的函数 ，使得
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子
和两个中子组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:
年)的衰变规律满足 ，其中 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: )
A．
B．经过 年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过 年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若 年后，样本中氚元素的含量为 ，则
10．（多选题）（2024·江西萍乡·二模）已知 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 ，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是
（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·宁夏银川·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则
．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 则函数 有 个零点．15．已知函数 ，若 ，则 的最小值为 ．
16．（2024·高三·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a的
取值范围为 ．
17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 及函数 的定义域；
(2)求函数 的零点．
18．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围．
19．已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求
的取值范围.1．（2021年天津高考数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021年天津高考数学试题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表
测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，
5 8
c=log 8，则（ ）
13
A．a
