文档内容
第 04 讲 指数与指数函数
目录
模拟基础练...................................................................................................................................2
题型一：指数幂的运算......................................................................................................................................2
题型二：指数函数的图象及应用.......................................................................................................................2
题型三：指数函数过定点问题...........................................................................................................................3
题型四：比较指数式的大小...............................................................................................................................3
题型五：解指数方程或不等式...........................................................................................................................4
题型六：指数函数的最值与值域问题................................................................................................................4
题型七：指数函数中的恒成立问题...................................................................................................................4
题型八：指数函数的综合问题...........................................................................................................................5
重难创新练...................................................................................................................................6
真题实战练...................................................................................................................................9题型一：指数幂的运算
1．已知 ，计算： .
2． .
3．化简求值:
(1) ；
(2) ．
题型二：指数函数的图象及应用
4．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
5．要使 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．当 时，函数 （ ，且 ）的图象恒在函数 的图象下方，则a的取值范围
为 .
7．设 、 分别是方程 与 的根，则 .
题型三：指数函数过定点问题
8．已知函数 的图象经过定点P，则点P的坐标是 .
9．对 且 的所有正实数，函数 的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是
．
10．已知函数 （ ， ）恒过定点 ，则函数 的图像不经过第
象限.
11．已知常数 且 ，假设无论a取何值，函数 的图像恒过定点 ，且点 的横坐
标为 ．又已知常数 且 ，假设无论b取何值，函数 的图像恒过定点 ，则点 的坐标
为 ．
题型四：比较指数式的大小
12．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
题型五：解指数方程或不等式
15．方程 的解为 ．
16．方程 的解为 ．
17．不等式 的解集是 .
18．设 ，则关于x的不等式 的解集是 .
题型六：指数函数的最值与值域问题
19．函数 的最大值是 ．
20．函数 的最小值是 .
21．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，则 的值域为 ．
22．设函数 是定义域为 的偶函数， 是定义域为 的奇函数，且 .
(1)求 与 的解析式；
(2)若 在 上的最小值为 ，求 的值.
题型七：指数函数中的恒成立问题
23．不等式 对任意 都成立，则实数 的取值范围 ．
24．若实数 ，使得 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
25．已知指数函数 （ 且 ）在其定义域内单调递增．设函数
，当 时，函数 恒成立，则x的取值范围是 ．
26．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， .
(1)求函数 的解析式；(2)若对于任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
题型八：指数函数的综合问题
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有7
个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ．
28．已知函数 ， .
(1)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
29．已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)求 的值域；
(3)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
30．（2024·河南·模拟预测）已知 为定义在 上的偶函数， ，且 ．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．31．设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数．
（1）若 ，试求不等式 的解集；
（2）若 ，且 ，求 在 上的最小值及取得最小值时的 的值．
1．（2024·广东茂名·模拟预测）自“ ”横空出世，全球科技企业掀起一场研发 大模型的热潮，
随着 算力等硬件底座逐步搭建完善， 大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业
软件领域已出现较为成熟的落地应用． 函数和 函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神
经网络的激活函数， 函数的解析式为 ，经过某次测试得知 ，则当把变量减
半时， （ ）
A． B．3 C．1 D． 或3
2．（2024·山东·二模）已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的值为
（ ）
A．1 B． C． D．0
7．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数 ，当 充分小时， .如：
，用这个方法计算 的近似值为（ ）
A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919
8．（2024·广东广州·二模）若 是方程 的实数解，则称 是函数 与
的“复合稳定点”．若函数 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 则 图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
11．（多选题）（2024·福建厦门·三模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．12．（多选题）（2024·云南曲靖·二模）已知集合 ，定义 ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 与 的全部元素之和等于3874
B．若 表示实数集， 表示正实数集，则
C．若 表示实数集，则
D．若 表示正实数集，函数 ，则2049属于函数 的值域
13．（2024·四川·模拟预测）已知实数 满足下列等式 ，则
.
14．（2024·全国·模拟预测）已知 为均不等于1且不相等的正实数．若函数 是奇函
数，则 ．
15．（2024·北京房山·一模）若对任意 ，函数 满足 ，且当 时，都有
，则函数 的一个解析式是 ．
16．（2024·上海黄浦·二模）设 ，函数 .
(1)求 的值，使得 为奇函数；
(2)若 ，求满足 的实数 的取值范围.
17．已知函数 ，且 .
(1)求a的值；
(2)当 时， 恒成立，求m的取值范围.
18．已知关于x的不等式 的解集为 ．
(1)求集合 ；(2)若 ，且 ， ， ，求 的最小值．
19．已知函数 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围.
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））函数 的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020年山东省春季高考数学真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，
则该函数在 上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷））设函数 ，其中.
（1）设集合 不能构成一个三角形的三条边，且 .则 所对应的 的
零点的取值集合为 .
（2）若 是三角形 的三条边，则下列结论正确的是 .
① .
② ，使 不能构成一个三角形的三条边长.
③若三角形 是钝角三角形，则 ，使 .
8．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））不等式 的解集为
．
9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））设函数
则满足 的x的取值范围是 .
10．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（山东卷））函数 的图象恒过定
点 ，若点 在直线 上，则 的最小值为 ．
