文档内容
重难点突破 06 证明不等式问题
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：直接法....................................................................................................................................2
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）................................................6
题型三：分析法..................................................................................................................................11
题型四：凹凸反转、拆分函数..........................................................................................................14
题型五：对数单身狗，指数找朋友..................................................................................................20
题型六：放缩法..................................................................................................................................24
题型七：虚设零点..............................................................................................................................31
题型八：同构法..................................................................................................................................37
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理..........................................................................................43
题型十：分段分析法、主元法、估算法..........................................................................................50
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值......................................55
题型十二：函数与数列不等式问题..................................................................................................60
题型十三：三角函数..........................................................................................................................67
03过关测试.........................................................................................................................................72利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
【解析】（1）由题意得 ，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，当 ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
综合得：当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由（1）可知，当 时， 的最小值为 ．要证 成立，需 成立，
即证 ．
令 ，则 ．
令 ，得 （负值舍去）．
当 时， ；当 时， ．
因此 在 上单调递减，在 ，上单调递增．
所以当 时， 取得最小值， ，
故当 时， ．
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在 上单调递减：
若 ，则由 得 ，当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
故当 时， 在 上单调递减：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）方法1，当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值．
所以 ，从而 ．
设 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，
故当 时， ，即 ；
方法2：当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值，
所以 ，从而 ，
令 ， ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，当 等号成立；
所以，当 时， ，
即 .
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若 ， ，证明： ．
【解析】（1）由 有3个极值点，
可得到 具有3个变号零点，
当 时不是 的零点，
则可得 在 有3个交点，
构造函数 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
所以当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
所以 ，
而当 时， ，当 时， ，当 时， ,
所以 ,
则 的取值范围为 .
（2）构造函数
则 ，且 ，
构造函数 ，则 ，
再令 ，则 ，因为 时，则 ， 在 单调递增，
而 ，所以 在 单调递增，
所以 ，所以 在 单调递增，
故 ，即 .
【变式1-2】已知函数 ， ．
(1)求 的最小值 ；
(2)证明： ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 解得 ，又因为当 时， 为增函数，
故当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
故 ，故 ．
（2） ， ，则 ，
故当 时， ，则 在 单调递增；
当 时， ，则 在 单调递减；
故 ．
又因为 ，所以 （当且仅当 时，取“ ”），
所以 ．
【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）由题意知 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增
（2）由（1）得 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
则 恒成立，
所以当 时， .
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数 和 ，设 ，
若存在 使得 ，则称 和 互为“零点相邻函数”.设 ，
，且 和 互为“零点相邻函数”.
(1)求 的取值范围；
(2)令 （ 为 的导函数），分析 与 是否互为“零点相邻函数”；
(3)若 ，证明： .
【解析】（1）令 ，得 ，
令 ，得 ，
① ，解得 ，
② ，解得 ，
所以 的取值范围为 .（2） ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
又 ，
当 时， 无零点，
所以 与 不互.为“零点相邻函数”；
当 时， ，函数 的零点为 ，
所以 与 互为“零点相邻函数”；
当 时， ，又因为 ，
所以此时在区间 内存在零点，所以 与 互为“零点相邻函数”；
当 时， ，又因为 ，
所以在区间 内存在零点，所以 与 互为“零点相邻函数”.
综上，当 时， 与 不互为“零点相邻函数”，
当 时， 与 互为“零点相邻函数”.
（3）当 时， ，
设 ，则 ，
则 ，
设 ，则 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，得证.
【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：函数 的图象位于直线 的下方；
【解析】（1） ，则 ，
又 ，
所以曲线在点 处的切线方程为 ；
（2）因为 ，所以 ，要证明 ，只需要证明 ，
即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
故 在 取极大值也是最大值，故 ，
所以 恒成立，即原不等式成立，
所以函数 的图象位于直线 的下方.
【变式2-1】已知函数 有且只有一个零点，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最大值；
(3)设 ，对任意 ，证明：不等式 恒成立．
【解析】（1） 的定义域为 ， ．
由 ，得 ．∵ 当 时， 则 在区间 上是增函数，
当 时， ， 在区间 上是减函数，
∴ 在 处取得极大值也为最大值．
由题意知 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，
当 时，取 得， ，知 不合题意．
当 时，设 ．
则 ．
令 ，得 ， ．
①若 ≤0，即 ≤ 时， 在 上恒成立，
∴ 在 上是增函数，从而总有 ，
即 在 上恒成立．
②若 ，即 时，对于 ， ，
∴ 在 上单调递减．
于是，当取 时， ，即 不成立．
故 不合题意．
综上， 的最大值为 ．
（3）由 ．不妨设 ，
则要证明 ，
只需证明 ，
即 ，
即证 ．
设 ，则只需证明 ，化简得 ．设 ，则 ， ∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ，得证．
故原不等式恒成立．
【变式2-2】设 ，当 时，求证： ．
【解析】要证 时， ，只需证 ，
记 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
要证 时， ，只需证 ，
记 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
综上， ，
【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间;
(2)若 ，证明: ．
【解析】（1） ，
令 ，所以 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
又因为 ，所以 ，即 ，且 至多在一个点处取到 .所以 在 上单调递减，没有单调递增区间.
（2）证明 ，
只需证： ，
即证： ，
令 ，所以 ，
只需证： ，
即证： ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ，
即 ，
所以 .
题型三：分析法
【典例3-1】已知函数 ，当 时，证明： .
【解析】当 时，有 ，
所以，要证 ，只需证 ，
即证 ， ,
设 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，得证.
【典例3-2】已知函数 ， ．
(1)若直线 是函数 的图象的切线，求实数 的值；
(2)当 时，证明：对于任意的 ，不等式 恒成立．【解析】（1） 直线 是函数 的图象的切线， 设切点为 ，
， ，得 ．
切点在函数 的图象上， ，
代入 得 ，解得 或 ．
再代入 解得 或 ，
∴实数 的值为1或 ．
（2）证明：要证 ，即 ，
， ，又由 知即证 ，
设 ，则 ．
令 ，则 ，由 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
在 单调递增，在 单调递减，
在 上， ，即 ，
令 ，则 ，设 ，则 ．
令 ，得 ， 当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增， 在 上有最小值，为 ．
的最小值为 ，原不等式得证．
【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)求曲线 在点 处切线的倾斜角；
(2)若函数 的极小值小于0，求实数 的取值范围；
(3)证明： .【解析】（1）由 ，
所以 ，
设曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处切线的倾斜角为0.
（2）由（1）知 ，且 ，解得： 或 ，
当 时， ， ， ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以 ；
当 时， ， ， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即此时极小值不可能小于0，所以当 时不符合题意；
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，即函数 无极值，不满足题意，
所以当 时不符合题意；
当 时， ， ， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ；
综上可知实数 的取值范围为 或 .（3）由（2）知，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，即 ，两边取自然对数得： ，则.
要证 成立，只需证 ， .
两边同除 得： ，即 .
只需证： ，即证 ，
令 ， ， ，解得： ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调
递增，
所以 ，即 ，
经检验，当 时， 成立.
综上可知不等式 得证.
题型四：凹凸反转、拆分函数
【典例4-1】已知函数 ，证明：当 时， .
【解析】由题意 等价于 ，
设函数 ，则 ．
当 时， ，所以 在 单调递减．
而 ，故当 时， ，即 ．
【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递增，当 时， ，函数 递减，
所以当 时，函数 取得最大值 .
（2）令函数 ，求导得 ，即函数 在 上单调递增，因此 ， ，由（1）知， 恒成立，
所以 ，即当 时， .
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若函数 的最小值与 的最小值之和为 ，求 的值．
(2)若 ， ，证明： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ．
令 ，解得 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ．
因为 ， ，所以 ．
令 ，解得 ．
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
由题意可得 ，解得 ．
（2）证明：方法一 当 时， ， ，则 ．
要证 ，即证 ， ．
令 ， ，则 ．
令 ， ，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增．
因为 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，且当 时， ；当 时， ．
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．所以 ．
由 ，得 ，所以 ．
两边取对数，得 ，所以 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
方法二 要证 ，即证 ，即证 ．
令 ， ， ， ．
易得 ，则令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ．
易得 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，故 ．
【变式4-2】已知 ， ， ，求证： ．
【解析】令 ， ，则 ，则 ，只需证明 ，即证 ；
， ，故只需证明 ，即证 ，
记 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
即 在 上递减，在 上递增，①，当且仅当 时等号成立，
再记 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上递增，在 上递减．
②，当且仅当 时等号成立．
由①②等号不同时取到，得 ，于是 ．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值及 的单调区间．
(2)若 的极大值为 ，求 的取值范围．
(3)当 时，求证： ．
【解析】（1）由题意，得 ，所以 ．
因为曲线 在 处的切线方程为 ，
又 ，所以 ，所以 ．
所以 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（2）由题意得 ．
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 只有极小值，不符合题意．
当 时，令 ，得 ， ．
因为 的极大值为 ，所以 ，解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
（3）当 时， ．要证 ，即证 ，
只需证 ．
先证： ， ．
设 ， ，则 ．
设 ， ，则 ．
所以函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，所以 ．
再证： ， ，即证 ．
设 ，则 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．所以 ．
设 ， ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以 ．所以 ，即 ．
综上， 得证．
故 ．
【变式4-4】已知函数 ，求证： .
【解析】由题意，当 时，由 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .设 ，当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
所以 在 上是增函数，
所以 ，即 ， ，所以 ，
而 ，所以 ，
综上，当 时， ．
【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，则 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时， ，
令 ，解得 或 （舍去），
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2） 即 ，也即 ，也即
.
设 ，则 ，令 ，解得 ，又 在 上单调递增，所以当 时， ，当 时， ，所以
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
由题意 ，所以 ，
所以 ，得证.
题型五：对数单身狗，指数找朋友
【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数 的导函数为 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1） ，
当 ，即 时，此时， ，故 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，
则 .
①当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.②当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：当 时， ，
证原不等式等价于证 ，令 ，
则 ，且 ，故只需证 ，即证
令 ，则 ，
令 ，则 ，
由于 ，令 则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.又 ，
当 时， ，即 ，当 , 时， ，即 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
所以，当 时， 1.
【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数 ，且曲线 在点 处
的切线方程为 ．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切 ，都有 ．
【解析】（1） ， ， ，
则有 ， ，
解得 ；
（2）由 ，故 ，
要证对一切 ，都有 ，
即证 对一切 恒成立，
即证 对一切 恒成立，令 ，
，
则当 时， ，则当 时， ，
即 在 、 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
故 对一切 恒成立，即得证.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处的切线
方程为 （其中 为自然对数的底数）．
(1)求实数 的值．
(2)当 时，证明：对 ，都有 ．
【解析】（1）由 ，
得 ．
所以 ．
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
由切线方程为 ，得 ．
（2）方法一
当 时，设 ，
则 ．
设 ，
则 ．
设 ，
则 ．
令 ，则 ．当 时， ；当 时， ．
所以函数 即 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，
所以存在唯一的 ，使 ，且当 时， ，
当 时， ，故函数 即 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，所以 ，
所以存在唯一的 ，使 ，且当 时， ，当 时，
，
故函数 在 上分别单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以 在 上恒成立，当且仅当 或 时取等号，
即对 ，都有 ．
方法二 当 时，记 ，
则要证 ，即证 ．
记 ，
则 ．
令 ，得 ．
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ．
所以 在 上分别单调递减，在 上单调递增．
又 ，所以 在 上恒成立，当且仅当 或 时取等号，
即对 ，都有 ．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 ．(1)求 的值；
(2)证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，可知切线斜率 ，
故 ，
解得 ；
（2）由（1）知 ，
要证 ，即证 ．
设 ，
则 ，
令 ，解得 ，或 （舍去），
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 ，
所以 ，即 ．
【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数 ， 为 的极值点.
(1)求a；
(2)证明： .
【解析】（1） ，
依题意， ，解得 ，
经检验符合题意，所以 ；
（2）由（1）可知， ，
要证 ，即证 ，设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值，
因为 ， ，
所以 .
题型六：放缩法
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最值．
(2)证明： （其中 为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题意知 ，定义域为 ，
从而 ．
所以当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以函数 的最大值为 ，无最小值．
（2）欲证 ，只需证 ．
由（1）知 ，从而 ，当且仅当 时取等号．
下面证明： ．
设 ，则 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
由于 ，
故设存在唯一的 ，使 ，
且当 时， ，当 时， ．
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，
所以存在唯一的 ，使 ，
故当 时， ；当 时， ．
从而函数 在 上分别单调递增，在 上单调递减．
因为 ，
所以 在 上恒成立，当且仅当 时取等号．
因为取等条件不相同，所以 恒成立，
即 成立．
【典例6-2】已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求函数 的零点个数；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题知 ， ，令 ，
而 恒成立，故 在 单调递增．
又 ， ，故 ，
由零点存在性定理可知一定存在 ，使得 ，
综合函数单调性可知，函数 有且仅有1个零点．（2）当 时， ，
令 ，而 ，当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，且 ，故 ， 成立
令 ，而 ，令 ， ，
令 ， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 最大值为 ，且 ，故 ，即 ，
故 得证，∴ ，不等式得证；
当 时，即证 ．
令 ， ，
则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
则 ①，
令 ， ，
则当 时， 单调递减； 时， 单调递增．
则 ②．
由①②可知， ，故不等式得证．
【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）当 时，有 ，所以 ，
因为 ，
所以 .
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 .
故 .
【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的极大值点，求 的取值范围；
(3)若 ，证明： ．
【解析】（1）由题知 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）当 时， ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
所以 是函数 的极小值点，不符合题意；
当 时， ，且 ，
由（1）知，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
所以 是函数 的极小值点，不符合题意；当 时， ，则当 时， 在 上单调递增，
所以 无极值点，不合题意；
当 时， ，且 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
所以 是函数 的极大值点，符合题意；
综上所述， 的取值范围是 .
（3）要证 ，
只要证 ，
只要证 ， ，
因为 ，则 ，
所以只要证对任意 ，有 ，
只要证对任意 ，有 （※），
因为由（2）知：当 时，若 ，则 ，
所以 ，即 ①，
令函数 ，则 ，
所以当 时 ，所以 在 单调递增；
则 ，即 ，
由① ②得 ，
所以（※）成立，
所以 成立.
【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线 或函数 的图象上的两个不同点
处的切线互相重合，则称该切线为曲线 或函数 的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C： ，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？
（给出结论即可，不必说明理由）(2)证明：当 时，函数 不存在“自公切线”；
(3)证明：当 ， 时， .
【解析】（1）曲线C： ，当 时， ，表示以点 为圆心，半径
为 的部分圆弧，当 时， ，表示以点 为圆心，半径为 的半圆圆，从而图象如下：
由图象可知，存在“自公切线”；
（2）由题意， ，下面只需证明 在 上单调即可，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减，即 单调递减；
当 时， ，此时 单调递减，即 单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
所以 在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
（3） ， ，
故只需证明 ，即只需证明 ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ，从而 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
故只需证 ，
设 ，注意到 ，
，注意到 ，
令 ，则由（2）知， ，
且由（2）知， 在 上单调递减，所以 ，
从而 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
从而，当 ， 时， .
【变式6-4】已知函数 ，证明：当 时， .
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，即函数的定义域为 ，
令 ，可得 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，
要证不等式 ，
只需证明 ，
又由函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以，当 时， ，只需证明： ，即 ，
即 ，即 ，令 ，可得 ，
设 ，可得 ，令 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
易知 在 单调递增， 故方程有唯一解.
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以 .
题型七：虚设零点
【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
【解析】（1）由题意可得： 的定义域为 ， ，
当 时，则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）构建 ，
则 ，
由 可知 ，
构建 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
且 ，
可知 在 上存在唯一零点 ，当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，
即 ，所以 .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性．
(2)若 ， ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 在 上单调递增，且 ．
①若 ，则 ，
所以当 时， 恒成立， 单调递增．
又 ，
所以 ；②若 ，则 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ．
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ．
综上所述，当 ， 时， ．
【变式7-1】已知函数 .
(1)若 在定义域内不单调，求a的取值范围；
(2)证明：若 ，且 ，则 .
【解析】（1） 的定义域为 ， .
若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
若 ，则当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在定义域内不单调时，a的取值范围为 .
（2）记 ，则 ，
因为 是 上的减函数，且 ， ，
由正切函数的性质可知，当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，所以 是 的极大值点.
令 ，则 ，所以 是 上的增函数，故 ，所以当 时， ，
令 ，则 ，由 ，得 ，
时 ， 是减函数， 时 ， 是增函数，
所以 ，即 ，
所以 ，
下面证明 ，令 ，即证 ，即 ，
设 ，则 ，所以 是 上的增函数，
所以 时， ， 成立，命题得证.
【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)求证： .
【解析】（1）因为函数 ，所以 ，
记 ， ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，所以 在 单调递减；
当 时， ，即 ，所以 在 单调递增，且 ，
所以 .
（2）要证 ，
只需证明： 对于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，令 ，
则 ， 在 上单调递增，即 在 上为增函数，
又因为 ， ，
所以存在 使得 ，由 ，
得 即 即 即 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .
【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，所以切线方程为 ，即 .
（2） ，
令 ，则 ，
因为 ，所以存在 ，使得 ，即 ，
易知 在 上单调递增，
所以，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以当 时， 取得最小值：
，
由二次函数性质可知， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 .
【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，函数极大值为 ，无极小值；
（2）证明：设 ，
，令 ，
则 ，即 在 上单调递增，，
故 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故
即 ，即 ，则 .
题型八：同构法
【典例8-1】已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
【解析】解：（1） 的定义域为 ，
，
①当 时， ，此时 在 上单调递减，
②当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
③当 时，由 可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
证明（2）设 ，则 ，
由（1）可得 在 上单调递增，
（1） ，
当 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减，
当 时， ，，
，
．
【典例8-2】已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，所以 在 恒成立，
下面证 ，即证2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，即当 时， ．
法二： ，即 ，
令 ，则原不等式等价于 ，
，令 ，则 ， 递减，
故 ， ， 递减，
又 ，故 ，原结论成立．
【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数 ，
(1)证明： .
(2)当 时，证明： .
【解析】（1）因为 ，其定义域为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，证毕.
（2）当 时， ，
而 ，要证 ，即证 ，即证 ，
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
且 ，
当 时， ，故只需证明 ，
由（1）知， 在 上成立，
故 ，即 成立.
【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性．
(2)证明： ．
(3)当 时，证明： ．
【解析】（1）因为 ，易知定义域为 ， ，
由 ，得到 ，由 ，得到 或 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ， .
（2）因为 ，易知定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
（3）由（2）知 ，当且仅当 时取等号，所以 ，当且仅当 时取等号，
要证明 ，即证明 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
又 ，所以 ，所以 ，命题得证.【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 （ ）.
(1)求 在区间 上的最大值与最小值；
(2)当 时，求证： .
【解析】（1） （ ）（ ），
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以 ， .
当 时， ，则当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以 ，
而 ， .所以
综上所述，当 时， ， ；
当 时，所以 ， .
（2）方法一：隐零点法
因为 ， ，所以 ，欲证 ，只需证明 ，
设 ，（ ）， ，
令 ，易知 在 上单调递增，
而 ， ，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的 使得 ，
即 ，因此 ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增；所以
所以 ，因此 .
方法二：（同构）
因为 ， ，所以 ，欲证 ，只需证明 ，
只需证明 ，
因此构造函数 （ ），
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增：
所以 ，所以 ，
所以 ，
因此 .
【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线 与直线 垂直，求 的方程；
(2)若 ，求证：当 时， ．
【解析】（1）由题意知， ，则 ，即 ．
因为切线 与直线 垂直，
所以直线 的斜率为1，得 ，
则 ，
故 的方程为 ，即 ．
（2）解法一 由题知 ，
当 时， ，故只需证 ．
令 ，则 ，
， 在 上单调递增，且 ， ，
所以 在 上有唯一零点，设该零点为 ，则 ，且 ，
所以 ．
当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增．
所以 ，
所以 ，故当 时， ．
解法二 由题知 ，
当 时， ，
故只需证 ，
即证 ．令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号．
易知函数 的值域为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
故当 时， ．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
【典例9-1】证明不等式： ．
【解析】设 ，则 ，
，
代入 的二阶泰勒公式，有 ，
．
所以原题得证．
【典例9-2】已知函数 ．（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时 ．若正实数 ， 满足 ， ， ， ，证
明： ．
【解析】解：（1） ， ，△ ，
① 时， 恒成立，
故函数 在 递增，无递减区间，
② 时， 或 ，
故函数 在 ， ， 递增，在 ， 递减，
综上， 时，函数 在 递增，无递减区间，
时，函数 在 ， ， 递增，在 ， 递减，
（2） ，对 ， 恒成立，
即 ， 时， 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，
则 ， 在 递减且 （1） ，
时， ， ， 递增，
当 ， ， ， 递减，
（1） ，
综上， 的范围是 ， ．
（3）证明：当 时， ，
，不妨设 ，
下先证：存在 ， ，使得 ，
构造函数 ，显然 ，且 ，
则由导数的几何意义可知，存在 ， ，使得 ，
即存在 ， ，使得 ，
又 为增函数，
，即 ，
设 ，则 ， ，
①，
②，
由① ② 得， ，
即 ．
【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间 上的极值点的个数．
(2)“ ”是一个求和符号，例如 ， ，等等．英国数学家布鲁克·
泰勒发现，当 时， ，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当 时，对 ，都有 ；
（ii） ．
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，即有 在 上单调递减，
则 ，
故函数 在区间 上没有极值点；
（2）（i）令 ，其中 ， ，则 ，
又当 时， ，
则
，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
由 ，故 ，又 ，
故 恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，即 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，故 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
则 ，即 ；
（ii）由 ， ，
故要证 ，即证 ，
即证 ，只需证 ，由（1）知，当 时， ，
则可令 ，此时 ，
则 ，即 ，
即 ，即 ，
故只需证 ，
令 ， ，则 ，
由（i）知，当 时， ，
即 ，即 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 ，即得证.
【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存
在时， ．注： 表示 的2阶导数，
即为 的导数， 表示 的 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算 的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得： ．当 时，试比较 与 的大小，并给出证明（不
使用泰勒公式）；
(3)设 ，证明： .
【解析】（1）令 ，则 ， ，
， ，
故 ， ， ， ， ，
由麦克劳林公式可得 ，故 ．
（2）结论： ，证明如下：
令 ， ，则
令 ，则 ，
故 在 上单调递增， ，则
故 在 上单调递增， ，
即证得 ，故 ．
（3）由（2）可得当 时， ，
且由 得 ，当且仅当 时取等号，
故当 时， ， ，
，
而
，
即有
故
而 ，即证得 ．
【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的
儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的 个不同的信封，他把这 封
信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～
1783）给出了解答：记都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装正确的情况种数，结合容斥
原理可得公式： ，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该公式也称
麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出 的值；
(2)估算 的大小（保留小数点后2位），并给出用 和 表示 的估计公式；
(3)求证： ，其中 ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ．
（2）由麦克劳林公式，令 ，有
再取 ，可得 ，
所以估算值为 ．
在 中，取 ，可得 .
（3）证明：由麦克劳林公式，当 时，令 ，有 ，猜想：令 ，有 ，猜想：
令 ，由 ，所以 ，即 ．
令 ，由 ，
再令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，且 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ．
又 时， ， ，所以 .
令 ， 当 ，有 ，
则 ，命题得证．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
【典例10-1】已知函数 ．
（1）讨论函数 的导函数的单调性；
（2）若 ，求证：对 ， 恒成立．
【解析】（1）由已知可得， ，设 ，
则 ．
当 时，有 恒成立，所以 ，即 在R上单调递增；
当 时，由 可得， ．
由 可得， ，所以 ，即 在 上单调递减；
由 可得， ，所以 ，即 在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．（2）因为 ，所以对 ，有 ．
设 ，则
．
解 可得， 或 或 ．
由 可得， ，所以，函数 在 上单调递增；
由 可得， 或 ，所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递减．
所以， 在 处取得极大值，在 处取得极小值．
又 ，所以 ，即 ．
所以，有 ，
整理可得， ，
所以，有 ， 恒成立．
【典例10-2】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 ，且 时， ．
【解析】（1） ， ，
①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增．
②当 ，即 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减．
③当 ，即 时，
若 ，则 ， 在区间 单调递增．若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增．
综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减；
时， 在区间 单调递增
时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增．
（2）证明：要证 ，即证 ，
即证 ．
令 ， ，则 ，
所以 在区间 单调递增，所以 时， ，
即 时， ．
令 ， ，则 在 时恒成立，
所以 ，且 时， 单调递增，
因为 时， ， ，且 ，
所以 ，且 时， ，即 ．
所以 ，且 时， ．
【变式10-1】若定义在 上的函数 满足 ， ，
．
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 ．当 且 时，试比较 和 哪个
更接近 ，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得 （1） ，
所以 （1） （1） ，即 ．
又 （1） ，
所以 ．
（Ⅱ） ，，
① 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得 ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（Ⅲ）解：设 ， ，
，
在 ， 上为减函数，又 （e） ，
当 时， ；当 时， ．
， ，
在 ， 上为增函数，又 （1） ，
， 时， ，
在 ， 上为增函数，
（1） ．
①当 时， ，
设 ，
则 ，
在 ， 上为减函数，
（1） ，
当 ，
，
，
比 更接近 ．②当 时， ，
设 ，则 ， ，
在 时为减函数，
（e） ，
在 时为减函数，
（e） ，
，
比 更接近 ．
综上：在 且 时时， 比 更接近 ．
【变式10-2】已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：对任意的 ， ， ．
【解析】解：（1）当 时， ，
则 ，
，
故
则 在 上单调递减．
（2）当 时， ，
要证明对任意的 ， ， ．
则只需要证明对任意的 ， ， ．
设 （a） ，
看作以 为变量的一次函数，
要使 ，
则 ，即 ，恒成立， ①恒成立，
对于②，令 ，
则 ，
设 时， ，即 ．
， ，
在 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减，
则当 时，函数 取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的 ， ， ．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知 ，函数 的图象在点 处的切
线方程为 .
(1)求a，b的值;
(2)若方程 （e为自然对数的底数）有两个实数根 ，且 ，证明：
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由题意知 ，所以 ，
联立方程组 ，解得 .
（2）由（1）可知 ， ，
，设 ，
，
所以 即 在 上单调递增.
又 ，所以存在 ，使得 ，且 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
设 ，令 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，即 ，当且仅当 时，等号成立.
因为方程 有两个实数根 ，且 ，
也就是 ，且注意到 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 .
设 的根为： ，则 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
故 ①.
易知 的图象在坐标原点处的切线方程为 ，
令 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.因为 ，所以 ，即 .
设 的根为 ，则 ，
又 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
从而 ②.
由①②可知： .
【典例11-2】已知函数 .
(1)求函数 的单调性；
(2)若 有两个不相等的零点 ，且 .
①证明： 随 的增大而增大；
②证明： .
【解析】（1）由 可得 ，
令 ，故 在 单调递增，
令 ，故 在 单调递减，
故 在 单调递增，在 单调递减
（2）①由于 有两个不相等的零点 ，且 .
所以 是 的两个实数根，
由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减，且 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，
对任意的 ，设 ，
则 其中其中
由于 在 单调递减， ，故 ，所以 ，
在 单调递增， ，故 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 随 的增大而增大；
②设 ，
令 ，则 ；
令 在 单调递增，
在 单调递减，
故 ，故 在 恒成立，
此时 恒成立，
由①知 所以 ，即 ，
令 ，
记 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减，
时， ， 在 单调递增，
故 ，进而 ，
因此 ，
所以 ，故 ，即 ，进而 ，
又因为 ，所以 ，得证
【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的两个相异零点，求证： ．
【解析】（1）令 ，则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，所以 ．
（2）易知函数 的定义域是 ．
由 ，可得 ．
令 得 ；令 得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
①当 ，即 时， 至多有1个零点，故不满足题意．
②当 ，即 时， ．
因为 在 上单调递增，且 ．所以 ，
所以 在 上有且只有1个零点，不妨记为 ，且 ．
由（1）知 ，所以 ．
因为 在 上单调递减， ，所以 在 上有且只有1个零点，记为 ，且 ．
所以 ，所以 ．
同理，若记
则有 ，
综上所述， ．
题型十二：函数与数列不等式问题
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 ．
(1)证明： 时， ；
(2)证明： ．
【解析】（1）证明：要证 ，只要证 ，
即证 时， ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 时， ，
所以 时， ．
（2）证明：由（1）知 ，
令 得 ，即 ，
所以 ，，
，
……，
，
所以
，
即 ．
【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
(1)若函数在 内点 处的切线斜率为 ，求点 的坐标；
(2) 当 时，求 在 上的最小值；
①
②证明： ．
【解析】（1）设点 .
由于 ，则 ，得 ，
则 ，且 ，所以点 的坐标为 .
（2）① ，
则 ，记 ，
则
易知 在 上单调递减，且 ,
，即 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.因为 ，
所以 时， ， 在 单调递增，
所以，当 时， 取得最小值 .
②由①可知 ，时 恒成立，即 恒成立.
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
取 ，则 ，
，得证.
【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，且 在 上的最小值为
0.
(1)求实数 的取值范围；
(2)设函数 在区间 上的导函数为 ，若 对任意实数 恒成立，则称函数
在区间 上具有性质 .
（i）求证：函数 在 上具有性质 ；
（ii）记 ，其中 ，求证： .
【解析】（1） ， ， ，
， ，令
，等号不同时取，
所以当 时， ， 在 上单调递增，
①若 ，即 ， ， 在 上单调递增，所以 在 上的最小值为 ，符合题意.
②若 ，即 ，此时 ，
，
又函数 在 的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 .
（2）（i）由（1）可知，当 时， .
要证函数 在 上具有性质 .
即证：当 时， .
即证：当 时， .
令 ， ，则 ，
即 ， ， ，
所以 在 上单调递增， .
即当 时， ，得证.
（ii）法一：由（i）得，当 时， ，
所以当 时， .
下面先证明两个不等式：① ，其中 ；② ，其中 .
①令 ， ，则 ， 在 上单调递增，所以 ，即
当 时， .
②令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
即当 时， ，故 ，得 .据不等式②可知，当 时， ，
所以当 时， .
结合不等式①可得，当 时，
.
所以当 时，
当 ， 时， ，有 .
所以 .
又 ，
所以
法二：要证： .
显然，当 时， ，结论成立.
只要证：当 ， 时， .
即证：当 ， 时， .
令 ， .
所以 ， ，
所以 ， 在 上单调递减，所以 ， 在 上单调递增，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， .
所以当 ， 时， ，有 ，
所以当 ， 时， .
所以
【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)求证： ．
【解析】（1） ，有 ，
因为 ，所以 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ， 的定义域为 ，
所以 是 的极大值点，因为 ，
所以 ，所以 ，
需验证，当 时， 恒成立即可，
因为 ，
令 ，则 ，
①当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增， ，
②当 时， ，则 在 上单调递减，所以 ，综上， 符合题意．
所以 恒成立时， .
（3）由（2）可知， ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，所以 ，
，
因为
，
所以即证 ，
令 ，则 ，当 时， ， ，
所以即证： ，
令 ，则 ，
所以 时， 单调递减，
所以 ，即 ，
综上， .
【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，首项 .
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若函数 ，正项数列 满足： .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
【解析】（1）正项数列 中， ， ， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
而 ，则 ，因此数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以数列 的通项公式为 .
（2）（i）令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，即 ，
于是 ，
即 ，即 ，
当 时， ，
当 时 ，因此 ，
所以
（ii）由已知 ，所以 ，得 ，
当 时， ，于是 ，
当 时， ，
又 ，所以 ，恒有 ，当 时， ，
由 ，得当 时， ，
则当 时， ，
从而
，
于是 ，
所以 .
题型十三：三角函数
【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求a的值；(2)证明： .
【解析】（1）由题意可得函数 的定义域为 ，
又 ，函数 在 处的切线方程为 ，其斜率为 ，
得： ，解得 .
（2）注意到 ，且 ，
则 ， ，
令 ，则 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增.
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
所以 .
【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【解析】（1）令 ，由 可知 ，
构建 ，
则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减，则 ，
所以 的最小值为1.
（2）由（1）可知： ，即 ，又因为 ，则 ，
可得 ，则 ，
构建 ， ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，则 ，
即 ，可得 ，
注意到 ，则 ，
所以 .
【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【解析】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，则 单调递增， 不存在极值；
当 时，令 ，则 ，
当 ，则 ，即 在 上单调递减，
当 ，则 ，即 在 上单调递增.
所以 是 的极小值点，
所以当 时， 存在极值，
综上所述， 存在极值时， 的取值范围是 .
（2）欲证不等式 在 时恒成立，
只需证明 在 时恒成立.
设 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 .
当 时 ， ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
即当 ， 时，不等式 恒成立.
【变式13-2】已知函数 ，（ 为自然对数的底数）．
(1)求曲线 在 处的切线方程
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值；
(3)证明： ．
【解析】（1）函数 ， ， ，
， ，
所以曲线 在 处的切点坐标为 ，切线斜率为0，
切线方程为 .
（2）
，
因为 ，所以 ，
则 ， ，所以函数 在 上单调递减.
， ，
所以函数 的值域为 .
若不等式 对任意 恒成立，
则实数 的最小值为 ，所以实数 的最大值为 .
（3） ，设 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
， ，
则有 ， ，
故存在 ，使得 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时，函数 有极小值，且是唯一的极小值，
故函数 ，
， ，
故 ，
所以
即 .
【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，且 ，证明： .
【解析】（1）由 ，得 ，
则 ， ，.
故曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .（2）证明：由 ， ，且 ，不妨设 ， ， ，
则证明 等价于证明 ， ，
即证 ，从而构造函数 ，利用其
调性证明结论.
令 ，则 ，当 时， ， 在 单调递减，
故 ， ，即 ， ，
则
，
要证 ，
只需证 .
令 ，则 ，
令 ，得 .
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
则 ，则 在 上恒成立，则 在 上单调递增.
当 时， ，则 ，
则 ， 在 单调递减，
当 时， ，则 ，
则 ， 在 单调递增.
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立，
从而 .1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 在其定义域内单调递增，求实数 的值；
(3)已知数列 的通项公式为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意可知： 等价于 ，其中 ．
构建 ，
则 ，
可知 在 上单调递减，则 时， ，
所以 时， ．
（2）由题意可知： ，
则
①若 ，则 ，由 可得 ，
可知 在 上单调递减，不合题意；
②若 ，则 ，
可知 上为增函数，符合题意；
③若 ，则 ，由 可得 ，
可知 在 上单调递减，不合题意；
综上所述： ．（3）由（2）知： 在 上单调递增，
所以 时， ，即 ，
由（1）知： 时， ，
则 ，
所以 时， ，
令 得： ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
由 知： ，又因为 ，
所以 ，
所以 ．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 ．
(1)判断并证明 的零点个数
(2)记 在 上的零点为 ，求证;
（i） 是一个递减数列
（ii） ．
【解析】（1）当 为奇数时， 有1个零点；当 为偶数时， 有2个零点.
证明如下：当 时，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ， ，
所以函数 在 内有唯一零点；
当 时， ，
若 为奇数， ，则 ，此时 在 内无零点；
若 为偶数，设 ，
则 ，方程 有一个解 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，此时 在 内有1个零点.
综上，当 为奇数时， 有1个零点；当 为偶数时， 有2个零点.
（2）（i）由（1）知，当 时， 在在 内的零点 ，
当 时， ， ，
则 ，
故 ，所以数列 是一个递减数列；
（ii）由（i）知，当 时， ，
当 时， ，
有 ，所以 ，求和可得
，当且仅当 时等号成立；
当 时， ，
故 ，则 ，得 ，
即 ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，当 时， ，
所以当 时，均有 成立，求和可得
.综上， .
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，判断 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： 时， ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
则 ，
令 ， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，即最小值，所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知 在 上的最小值为 ，
当 时 ，当 时 ，
若 存在两个极值点 ，则 有两个不相等的实数根 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
且当 时 ，即 ，则 单调递增，
当 时 ，即 ，则 单调递减，
当 时 ，即 ，则 单调递增，所以 为 的极大值点， 为 的极小值点，
因为 ，所以 ，
要证 ，即证 ，又 ，
只需证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 成立，
所以 ；
（ⅱ）由（ⅰ）知 ， ，
且当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
4．已知 ， .
(1)若 ，判断函数 在 的单调性；
(2)设 ，对 ， ，有 恒成立，求k的最小值；
(3)证明： . .
【解析】（1）由题意 ，函数 ， .
则 ，又 ，故 ，而 ，
所以 ，故 在 上单调递增.
（2）由题意知， ，对 ， ，有 恒成立.
，设 ，则 ，
由于 ，故 ， 时， 单调递增，
又 ， ，因此 在 内存在唯一零点 ，使 ，即
，且当 ， ， ， 单调递减；
， ， ， 单调递增.
故 ，
故 ，由于 ，则 ，
故 ，即 ，
设 ， ， ，
又设 ，故 在 上单调递增，
因此 ，即 ， 在 上单调递增，
，又 ，所以 ，故所求k的最小值为2.（3）由（1）可知 时， ，即 ，
设 ，则 ，
因此 ，
即 ，得证.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的值；
(2)求证： ．
【解析】（1）由题意，得 ，
由函数 在 上单调递增，得 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时，因为 ，所以 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，所以 恒大于等于0不成立.
当 时，由 得 ，
所以当 ，当 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
若 恒成立，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以当 时， .
综上，若函数 在 上单调递增，则 .
（2）由（1）得，当 时， 恒成立，即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则 ，
所以
令 ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，
所以 ，
所以
，
故 得证.
6．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)若 在 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
【解析】（1） 在 恒成立．
构造函数 ，则 在 恒成立．
当 时， ，所以 在 递增，
所以 ，矛盾，故舍去
当 时，由 得 ，所以 在 递增，
故 ，均有 ，矛盾，故舍去
当 时， ，所以 在 递减，
所以 ，满足题意；综上，实数a的取值范围为
（2）由（1）知当 时， 恒成立，
即 在 恒成立
且当且仅当 时取等号．
所以当 时，可得
同理 ， ， ，
两边分别累加得：
即
即
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的值域；
(2)求证：当 时， ．
【解析】（1） ， ，
令 ，则 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
故 的值域为 ．（2）令函数 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
故当 时， ，所以 ．
由（1）知，当 1时 ，
所以当 时， ，
所以 ，
令 ，其中 ， ，2，3， ，n，
则 ，
所以 ， ，
， ， ，
以上n个式子相加得
，
即当 时， ．
8．已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
【解析】（1）当 时， ， ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以 在 处取到极大值 ，无极小值.
（2）因为 ， 恒成立，所以 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
即 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 时， ，
所以 在区间 上单调递减，故 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）由（2）可知，取 ，当 时， ，所以 ，
取 ，则有 ，即 ，
所以
将上述式子相加得
即
9．已知 ，函数 ， ．
(1)若函数 的最小值是0，求实数m的值；
(2)已知曲线 在点 处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数 恰有两个零点；
（ⅱ）证明： ．
【解析】（1）因为 ，则 ，且 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 的最小值为 ，解得 .
（2）由（1）可知： ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，斜率 ，
则切线方程为 ，令 ，可得 ，
由题意可得： ，且 ，解得 ；
（i）因为 ，
可知 的定义域为 ， ，
设 ，则 在 内恒成立，
可知函数 在 上递增，
由（1）可知：当 时， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
可得 ，
又因 ，由零点的存在性定理可得，
存在 ，使得 ，即 ，（*）
当 时， ，即 ， 为减函数，
当 时， ，即 ， 为增函数，
又因为 ， ，
设 ，则 ，所以函数 在 上递增，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
则 ，
所以 ，且 ，
当 时， ，
所以由 的单调性可知 ，且 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以由零点的存在性定理可知， 在区间 上存在唯一的零点，
，且 ，
所以由零点的存在性定理可知， 在区间 上存在唯一的零点，
所以函数 恰有两个零点，
（ii）因为 ，即 ，
则 ，
所以 ，
有基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
由 ，由 可得 ，这与 矛盾，所以 ，
所以 ，要证 ，即证 ，
设 ，
则
所以函数 在 上递减，
所以当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .
10．（2024·河北邢台·二模）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明： .
【解析】（1）此时 ，故 .
所以 ， ，故所求切线经过点 ，斜率为 .
故该切线的方程为 ，即 .
（2）结论 即为 .
设 ，则 .
故当 即 时 ，当 即 时 .
所以 在 上递增，在 上递减，从而 的最大值就是 ，且恰在 时
取到.所以 的取值范围是 .
（3）由（2）的结论，知当正数 时，有 ，故 .
从而
.
11．（2024·广东广州·三模）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)已知 ，证明： ．
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ；
①当 时， ， ，
在 上单调递增， 无极值；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值；
综上所述：当 时， 无极值；当 时， 的极小值为 ，无极大值.
（2）令 ，则 ，
由（1）知： ， ，即 ，
令 ，则 且 ， ， ，
取 ，则 ，即
，
令 ，则 ，在 上单调递增， ，即 ，
，
即 .
12．已知函数 ．
(1)证明： ．
(2)已知 ，证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为R， ，
由 得 ，由 得 ，
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
故 的最小值是 ，所以 ．
（2）由（1）得， ．令 ，其中 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ， ．
令 ，则 且 不恒为零，
所以函数 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以 ， ．
所以
，问题得证．
13．已知函数 ．
(1)求函数 的最大值．(2)证明：当 且 时， ．
【解析】（1）易知函数的定义域为 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以当 时， ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
所以当 时， ．
（2）由（1）得 ，变形得 ，
当 时等号成立．所以令 ，得 ，即 ；
令 ，得 ，即 ；
令 ，得 ，即 ．
所以当 且 时， ．
由（1）得 ，变形得 ，当 等号成立．
所以令 ，得 ，即 ；
令 ，得 ，即 ．
令 ，得 ，即 ．
所以当 且 时， ．
又因为 ，所以当 且 时， ．
14．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数 在 处的切线为 轴.
(1)求实数 的值；(2)若 ，证明： .
【解析】（1）由题可得 ， ，
，
.
（2）证明：由（1）可知： ，
函数 在 上单调递增，
当 时， ，
， ， ，
，即 ，
，
.
15．（2024·福建莆田·三模）已知函数 ，其中 .
(1)当 时， ，求 的取值范围.
(2)若 ，证明： 有三个零点 ， ， （ ），且 ， ， 成等比数列.
(3)证明： （ ）.
【解析】（1）（解法一）由题意可知 的定义域为 ，
，
设 ，其中 .
①当 ，即 时， ，所以 ， 单调递增，所以当 时， ，故 满足题意；
②当 ，且 ，即 时， ，
所以 ， 单调递增，
所以当 时， ，故 满足题意；
③当 ，且 ，即 时，
设 的两根为 ， ，
解得 ， ，
则当 时， ，所以 ， 单调递减，
则 ，故 不满足题意 .
综上， 的取值范围是 .
（解法二）由题意可知 的定义域为 ，
，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
以下证明 满足题意.
由 可知， ，所以当 时， ，
设 ， ，所以 为递增函数，
所以 ，所以 ，
综上，a的取值范围是 .
（2）由（1）可知，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 ， ，
取 ， ，
（其中 ，所以 ，即 ），
取 ， .
（其中 ，所以 ，即 ），所以 在 上存在唯一零点 ，即在 上存在唯一零点 ，在 上存在唯一零点 ，即在
上存在唯一零点 ，且 ，
所以 ， ，
又 ，所以 也是函数的零点，
显然 且 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ， ， 成等比数列.
（3）由（1）可知当 时， 为单调递增函数，
所以当 时， ，即 ，
整理得 ，即 ，
所以 （ ），
则 （ ），
故 （ ）.
16．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 .
(1)当 时，证明： 是增函数.
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
(3)证明： （ ， ）.
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 .
令 ，则 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，
则 ，故 在 上恒成立， 是增函数.（2）当 时， 等价于 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 .
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 ，所以 ，即 ，故 的取值范围为 .
（3）证明：由（2）可知，当 时，有 ，则 ，
所以 ，…， ，
故 .
17．已知函数 .
(1)证明： ，总有 成立；
(2)设 ，证明： ．
【解析】（1）令 ，则因为 ， ，
令 ，则 ，
又令 ，则 ，
当 时 ， 在 上单调递减，所以 ，
所以 时 ， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，总有 成立；
（2）由（1）知 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，整理得到： ，故 ，
故不等式 成立.
18．求证： ．
【解析】令 ，由于 ，
因此 在 上单调递减，
不妨令 ，于是 ，即 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
可得 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，
所以
，
即 ．
19．（2024·河南·二模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围；(3)证明： .
【解析】（1）由 ，有 .
当 时， ，
所以 在 上单调递减；
当 时，有 ，
故当 时 ，当 时 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）先证明一个结论：对任意实数 都有 ，且不等号两边取等当且仅当 .
证明：设 ，则 ，
从而当 时有 ，当 时有 .
从而 在 上递减，在 上递增，
故 ，即 ，且等号只在 时成立，这就证明了结论.
回到原题.
代入 的表达式，将题目中的不等式 等价变形为 .
整理得到 ，故我们要求 的取值范围使得 对 恒成立.
一方面，若该不等式恒成立，则特别地对于 成立，即 ，从而 ；
另一方面，若 ，则对 ，利用之前证明的结论可以得到 ，再取对数又能得到 ，
所以 ，故原不等式对任意 恒成立.
综上， 的取值范围是 .
（3）对 ，由于 ，故由（2）证明的结论，有 ，再取对数得到
.所以
，这就证明了结论.
20．已知函数 （ ）， .
(1)求函数的极值；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)求证： 时， .
【解析】（1） ，
当 ， 恒成立，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
所以 在 单调递减；在 上单调递增；
所以极小值为 ；
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以无极值.
（2）因为 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
设 ，注意到 ，
，令 ，
则 在 为增函数，且 ，
所以 恒成立，即 单调递增，
其中 ，
若 ，则 恒成立，此时 单调递增，又 ，
所以 恒成立，
即 在 上恒成立，即结论成立；
若 ，则 ，又 ，
故由零点存在性定理可知，在 内存在 ，使得 ，
当 时， ，所以 单调递减，又 ，
所以当 时， ，即 ，不合题意，舍去；
综上：实数 的取值范围是 .
（3）构造函数 ， ，
，
令 ，
则 ，
当 时， 恒成立，
所以 在上 单调递增，
所以 ，故 在 单调递增，
，即 ，
构造函数 ， ，
，
所以 在 上为单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 时， ，证毕.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)若曲线 在点 处的切线与 轴垂直，求证： ．
【解析】（1）由题， ，函数的定义域为 ，
，
因为 有两个极值点，
所以方程 有两个不相等的正实根，
设为 ，且 ，得 ，
且 ，得 ．
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
所以 在 处有极小值，在 处有极大值，
因此 的取值范围是 ．
（2）因为 ，则 ，
由题意知 ，得 ，
故 ，所以 ，
即 ，
即 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 ．
显然 与 不同时为0，
所以 ，故 .
