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重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题
目录
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于 ，构造 ，
4、对于 ，构造
5、对于 ，构造 ，
6、对于 ，构造
7、对于 ，构造 ，
8、对于 ，构造
9、对于 ，构造 ，
10、对于 ，构造
11、对于 ，构造 ，
12、对于 ，构造
13、对于 ，构造
14、对于 ，构造
15、 ； ； ；
16、 ； ．题型一：利用 构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知 的定义域为
， 为 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数 ， ，则 ，
所以函数 的图象在 上单调递减.
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数 的定义域
为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解
集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，即 在 上递增，
又 ，则 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，原不等式解集为 .
故选：C
例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数 的定
义域为 ， 为函数 的导函数，若 ， ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
，可得 ，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
所以 的极大值为 .简图如下：
所以 ， ， .
故选：D.
变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在 上的偶函数 的导函
数为 ，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，所以当 时， ，
令 ，则当 时， ，
故 在 上单调递增，
又因为 在 上为偶函数，所以 在 上为奇函数，
故 在 上单调递增，因为 ，所以 ，当 时， 可变形为 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，故 ；
当 时， 可变形为 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，故无解.
综上不等式 的解集为 .
故选：C.
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在 上的函数
满足 ， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，所以 在 单调递减，
不等式 可以转化为 ，即 ，所以 .
故选：D.
变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数
的定义域为 ，其导函数是 ，且 ．若 ，则不等式 的
解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，其中 ，
则 ，
故函数 在 上为增函数，且 ，
因为 ，由 可得 ，即 ，解得 .故选：B.
变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知 是定义
在R上的偶函数，其导函数为 ，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 在R上为奇函数，且 .
又 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，
因此 在R上为增函数.
又 ，当 时，不等式 化为 ，
即 ，
所以 ；
当 时，不等式 化为 ，即 ，
解得 ，故无解，
故不等式 的解集为 .
故选：C
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型二：利用 构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在
的函数 满足： ，其中 为 的导函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】设 ，
因为 ，
所以在 上 ，
所以 在 上单调递增，
由已知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以 等价于 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 .
故选：A.
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝
，则不等式g(x)
