微专题02基本不等式求最值（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

微专题 02 基本不等式求最值的方法总结
集
考点梳理
合
考点 01 基本不等式 与
微
常
专
1、基本不等式的概念 题 用
2 逻
（1）𝑎2+𝑏2 ≥2𝑎𝑏⇔ 𝑎𝑏 ≤
𝑎2+𝑏2
(𝑎,𝑏 ∈ℝ,当且仅当𝑎 =𝑏时，等号成立) 基 辑
2 本
𝑎+𝑏 用
（2）基本不等式：√𝑎𝑏≤ (𝑎>0,𝑏 >0,当且仅当𝑎 =𝑏时，等号成立） 不
2 等 语
（3）基本不等式的推广
式
𝑎 +𝑎 +⋯𝑎 求
𝑛√𝑎 1 +𝑎 2 +⋯𝑎 𝑛 ≤ 1 2 𝑛 𝑛 (当且仅当𝑎 1 =𝑎 2 =⋯𝑎 𝑛 时取等) 最
值
2、对基本不等式的使用，需要满足以下条件 方
法
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构
成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是
所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
1
注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值
3、重要不等式链：
2 𝑎+𝑏 𝑎2+𝑏2
≤√𝑎𝑏≤ ≤√ (𝑎,𝑏 ∈𝑅+)
1 1 2 2
+
𝑎 𝑏
即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
4、对勾函数
𝑘
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线。形如𝑓(𝑥)=𝑥+ (𝑘 >0)的函数，由其图像的性质得
𝑥
名。
（1）当𝑥 ∈(−∞,−√𝑘)，函数单调递增，𝑥 ∈(−√𝑘，0)，函数单调递减，则在
𝑥 ∈(−∞,0)，函数𝑓(𝑥) =𝑓(−√𝑘)=−2√𝑘
𝑚𝑎𝑥
（2）当𝑥 ∈(0,√𝑘)，函数单调递减，𝑥 ∈(√𝑘，+∞)，函数单调递增，则在𝑥 ∈
(0,+∞)，函数𝑓(𝑥) =𝑓(√𝑘)=2√𝑘
𝑚𝑖𝑛
注意：在求最值或范围时，一定要注意定义域
【对点练】（多选）（2025·全国·模拟预测）已知
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
a , b  0 ，且a+b=1，则（ ）
1 1
A．ab的最大值是 B．a2+b2的最大值是
4 2C．
集
合
与
微 常
专
用 题
逻 2
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
方
法
2
1
a
+
1
b
的最小值是4 D． a + b 的最小值是 2
考点 02 求最值方法总结
1、利用基本不等式求最值时：
（1）如果积𝑥𝑦是定值𝑝，那么当且仅当𝑥 =𝑦时，𝑥+𝑦有最小值，（简记为：积定和最小）
（2）如果和𝑥+𝑦是定值𝑠，那么当且仅当𝑥 =𝑦时，𝑥𝑦有最大值，（简记为：和定积最大）
注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值
2、常见的基本不等式求最值的方法
（1）配凑法（拆项、并项、配凑）：目标是相关代数式种的项能够构造出“积为定值”或“和为定值”
的形式。
𝑎 𝑏
（2）常数1的代换：形如𝑥+𝑦=1和 + =1的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒
𝑥 𝑦
数结构
（3）消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示
另一个参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别
运用两个分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系．
（4）齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用
基本不等式进行求解．
【对点练】（2025�上海�高考真题）设 a , b  0 , a +
1
b
= 1 ，则 b +
1
a
的最小值为_________．
难点解读 01 柯西不等式
二维柯西不等式：
设𝑎，𝑏，𝑥，𝑦>0，则(𝑎2+𝑏2)(𝑥2+𝑦2)≥(𝑎𝑥+𝑏𝑦)2，当且仅当
a
x
=
b
y
时等号成立
1、分母的倍数和为常数
(𝑎+𝑏)( 𝑚 + 𝑛 )≥(√𝑚+√𝑛)2，其中𝑎 , 𝑏 , 𝑚 , 𝑛 ∈𝑅∗；
𝑎 𝑏
2、一高一低和式配凑类型
(𝑥2+𝑦2)(𝑚2+𝑛2)≥(𝑚𝑥+𝑛𝑦)2，其中𝑚，𝑛 ∈𝑅∗
3、同次积式配凑类型
已知 x y 的值，求(𝑥+𝑚)(𝑦+𝑛)(𝑚,𝑛 ∈𝑅∗)的最值，利用(𝑥+𝑚)(𝑦+𝑛)≥(√𝑥𝑦+√𝑚𝑛)2求最值．
难点破解（2025高三·全国·竞赛）若x,y,zR ，满足xy+yz+zx=1，则函数
+
f (x,y,z)= xy+5+ yz+5+ zx+5的最大值是_____．难点解读 02 权方和不等式
1、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用：
设𝑎，𝑏，𝑥，𝑦>0，则 𝑎2 + 𝑏2 ≥ (𝑎+𝑏)2 ，当且仅当 𝑎 = 𝑏 时等号成立 集
𝑥 𝑦 𝑥+𝑦 𝑥 𝑦 合
与
2、多维变量 微 常
专
题 用
若 2 逻
基 辑
本
用
不
等 语
式
求
最
值
方
法
3
崇文翰墨
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a
i
 0 , b
i
 0 , m  0 . 则 ( a
(
1
b
)
1
m
)
+
m
1 + ( a
(
2
b
)
2
m
)
+
m
1 +  + ( a
(
n
b
)
n
m
)
+
m
1  ( a 1
(b
+
1
+
a 2
b
2
+
+


+
+
) m a n
) m b
n
+ 1
a a a
当且仅当 1 = 2 == n 时，等号成立.
b b b
1 2 n
m 为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
难点破解（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变
量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 a ， b ， x ，y0，则
a
x
2
+
b 2
y

( a
x
+
+
b
y
) 2
，当且仅当
a
x
=
b
y
时
等号成立.根据权方和不等式，函数 f ( x ) =
3 x +
x
3
+
1
1
−
6
3 x

0  x 
1
3

的最小值为_____
题型突破
题型 01 直接法求最值
【典例1】（2026�上海�高考真题）若 a  0 ， b  0 ，且 a + 2 b = 4 ，则 a b 的最大值是______．
【典例2】（2024�上海�高考真题）已知ab=1， 4 a 2 + 9 b 2 的最小值为______．
题型 01 直接法或对勾函数求最值或范围
1、使用基本不等式求最值的时候，要注意使用基本不等式的条件，一正二定三相等，要满足时才能使
用。
2、先配凑成对勾形式，若范围包含顶点则用基本不等式直接得最值，若范围不包含顶点则用单调性求
端点值。
【典例1】（2026�天津河西�一模）已知a0， b  0 ，且2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．1 B．
1
4
C．
1
8
D．
1
9
【典例2】（2026�贵州贵阳�二模）若a0,b0，且ab=a+b，则ab的最小值是______．
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（ ）A．若
集
合
与
微
常
专
用 题
逻 2
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
方
法
4
a , b  R ，则
b
a
+
a
b
 2
b
a

a
b
= 2
B．若 x  0 ，则由 x +
x
1
+ 1
 2 ( x + 1 ) 
x
1
+ 1
− 1 = 1 知， x +
x
1
+ 1
的最小值为 1
4 4
C．若x0，则x+ −2 x =−4
x x
D．若 x y = 1 ，则x2+y2 2 xy =2
4
【变式2】（2026�北京海淀�二模）函数 f (x)= x+ 的最小值为（ ）
x+1
A．2 B．4
C．3 D．6
题型 02 配凑法求最值或范围
通过恒等变形（加减常数、乘除因子、拆项、添项、换元等），将目标表达式配凑成定值形式，以便应
用基本不等式或已知函数性质求解最值。
【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）若 x  2 y  0 ，则
x −
x
2 y
+
2 x
y
的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【典例2】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知实数 a ， b 满足 a b  0 ，则
b
a
+
a
4 a
+ b
的最小值为_____.
【变式1】（2026�云南昆明�模拟预测）函数 f ( x ) =
x
3 x
− 3
+ x （ x  3 ）的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．6+2 3 D．3+2 3
【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数 f ( x ) =
3
x
+
1
1
−
6
3 x

0  x 
1
3

的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
题型 03 常数 1 的代换求最值或范围
“常数1的代换”的本质是：利用已知的等于 1 的等式，将目标式中的 1 整体替换为已知等式，从
而进行“拼凑”与“化简”，以便运用基本不等式。
1.用已知等式表示 1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1。
2.乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的 1 或可视为 1 的部分）替换成该表达式。
3.变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。【典例1】（2026�上海静安�三模）若
集
合
与
微
常
专
题 用
2 逻
基 辑
本
用
不
等 语
式
求
最
值
方
法
5
崇文翰墨
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x , y 均为正数，且 x + y = 4 ，则
1
x
+
3
y
的最小值为___________．
【典例2】（2026�河南开封�模拟预测）已知正实数a，b满足 2 a +
1
b
= 1 ，则 b +
1
2 a
的最小值为
______．
【变式1】（2026�天津红桥�一模）已知 a  0 ， b  0 ，若a+b=2，则
1
4
+ a
+
1
1
+ b
的最小值为（ ）
A．2 B．
7
4
C．
9
4
D． 2 + 2
【变式2】（2026�辽宁沈阳�三模）已知正数x，y满足 x + y = 1 1 1 ，则 + 的最小值为______.
2x+y x+2y
题型 04 商式求最值或范围
对二次/二次、二次/一次、一次/二次、一次/一次这种商式求最值的问题中，我们可以通过除法分
解，将问题转化为可运用基本不等式或函数性质处理的形式
1、 对于二次/一次，将其分解成“一次+分式”，然后运用基本不等式求最值
2、 对于一次/二次，将其看作为二次/一次的倒数，先按二次/一次来求最值，然后再参考倒数的最
值。
3、 对于二次/二次，先分离常数，让其变成“常数+一次/二次”，然后再按二次/一次来求最值再参
考倒数的最值。
4、 对于一次/一次，先分离常数，让其变成“常数+常数/一次”，按反比例函数的单调性来求最值。
【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）设 x  1
x2−2x+3
，则 的最小值为_____________．
x−1
【典例2】（2026�北京昌平�一模）当x0时，函数 y =
x 2 +
x
1
的最小值为_____．
【变式1】若对 x  R 恒有
3 x
x
2
2
+
+
2
x
x
+
+
1
2
 n ，则 n 的取值范围是_____
x2−x+1
【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）若x1，则函数 f (x)= 的最小值为______，此时
x−1
x=______.
题型 05 消元法或换元法求最值或范围
消元后需注意新变量的取值范围（由原变量约束决定）；换元后新变量范围要准确对应；两种方法常结
合使用。【典例1】（2026�重庆万州�模拟预测）已知定义在
集
合
与
微 常 专
用 题
逻 2
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
方
法
6
( 0 , )  + 上的函数 f ( x ) = e x 满足
f
f
( 2 a
( b
))
 1 ，则
a 2 +
b ( 2
4
a − b )
的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【典例2】（2026�河南南阳�模拟预测）已知正数 x , y 4 y 满足 + y= ，则
x x
1
x
+ y 的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【变式1】（2026�福建南平�二模）若 a  0 ， b  0 ，且
2
a
+
1
b
= 1 ，则
2 a
b
+ b 的最小值为________.
【变式2】（2026�贵州贵阳�模拟预测）已知 m 
1
3
， n  1 ，且 3 m n − 3 m − n = 1 ，则
3 m
1
− 1
+
n
4
− 1
的最
小值是（ ）
A．2 B．4 C． 2 3 D． 2 2
题型 06 齐次式求最值或范围
1 1
在 1 的代换中，我们遇到的形式常是𝑥+𝑦 =1，求 + 的形式，但是如果遇到求最值的这个格式不一
𝑥 𝑦
致时，就需要先多次代换1，使要求的式子变成我们需要的格式
𝑥 𝑦
1、 可以把式子换成齐次式 + ，可以使用基本不等式
𝑦 𝑥
1 1
2、 变成可以使用1的代换的 + 式
𝑥 𝑦
【典例1】（2026�湖北武汉�模拟预测）已知函数 f ( x ) =
2 x
x
− 2
，若正数a，b，满足
f ( a ) + f ( 2 b ) = 1
ab
，则 的最大值为（ ）
a2+2b
A．
8
2
B．
2 2
7
− 1
C．
1
4
2 2+1
D．
7
【典例2】（2026�江苏常州�三模）已知随机变量 X N ( 2 , 3 ) ，正实数 a ， b 满足
P ( X  3 a + 2 ) = P ( X  4 b − 1 )
3b a+3
，则 + 的最小值为_________.
4a b
【变式1】（2026�广东清远�二模）已知实数 a  0 ， b  0 ，且a+b=1，则
a 2
a
+
b
1
的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．2 2−2 D．2 2+2
b+1 b
【变式2】（2026�湖南怀化�一模）已知b0，且3a9b =3，则 + 的最小值为__________.
2b a+3b题型 07 常见求不等式最值及不等式链的应用
重要不等式链的应用： 集
合
与
2 𝑎+𝑏 𝑎2+𝑏2
微
≤√𝑎𝑏≤ ≤√ (𝑎,𝑏 ∈𝑅+) 常
1 1 2 2 专
+ 题 用
𝑎 𝑏
2 逻
即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 基 辑
本
用
【典例1】（多选）（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知正实数 不
等 语
式
求
最
值
方
法
7
崇文翰墨
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x , y 满足：x+2y=1，下列
说法正确的是（ ）
A． 0  y 
1
2
B． x y 
1
8
C．
1
x
+
1
y
 4 + 2 2 D． x 2 + 4 y 2 
1
2
【典例2】（多选）（2026�陕西宝鸡�模拟预测）（多选）已知正数 m , n 满足3m+2n=1，则（ ）
A． 1  4 n  2
1
B．mn C．
48
2 2m  2 3n  1 6 6
1
D．m2+n2 
13
【变式1】（多选）（2026�贵州毕节�三模）（多选）已知正实数 a , b 满足 a + b = 2 ，则（ ）
A． a b  1 B． a + b  2 C． a 2 + b 2  2
1 1
D． + 1
a b
【变式2】（多选）（2026�河南�模拟预测）（多选）已知 a  0 ，b0， ( 2 a + 1 ) ( b + 1 ) = 4 ，下列说法
正确的是（ ）
A．
2 a
1
+ 1
+
b
1
+ 1
的最大值为1 B． 2 a + b 的最小值为2
1
C．ab的最大值为 D．
4

a 2 +
3
4

( b + 1 ) 的最小值为2
重难点 01 柯西不等式求最值或范围
1、已知平方和定值，求线性式的最值，将线性式平方，用柯西放缩。
2、已知线性式和定值，求平方和的最值，将平方和乘上常数，用柯西反向。
𝑚 𝑛
3、分式最值（如 + ，已知 𝑎𝑥+𝑏𝑦 =1），用柯西构造乘积定值。
𝑥 𝑦
配凑平方和与乘积和，写出柯西不等式，解出范围，最后验证取等条件是否满足题目限制。
x2+y2 + y2+4z2 + z2+16x2
【典例1】（2025高三·全国·竞赛）已知x,y,z0，则 f = 的最小值是
9x+3y+5z_____．
【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设
集
合
与
微
常
专
用 题
逻 2
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
方
法
8
2 x + y − 5 z = 2 ，则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为_____．
【变式1】（2025高三·全国·竞赛）设 a  c ， b  c ， c  0 ．求证： c ( a − c ) + c ( b − c )  a b ，并确定
等号成立的条件．
【变式2】（2025高三·全国·竞赛）已知 a ， b ， c 为正实数．证明：
( a 2 + 2 ) ( b 2 + 2 ) ( c 2 + 2 )  9 ( a b + b c + c a ) ．
重难点 02 权方和不等式求最值或范围
已知分母和（或分子和）为定值，求分式型表达式的最值。适用于分子为平方、分母为一次的分式求
和。确保分母为正；取等条件需能同时成立；若结构不完全匹配，先通过变形（如提取系数、拆分
项）配凑。
【典例1】（2026�广西南宁�二模）设 a  0 ， b  0 ，若不等式 a ( a 1 ) 2 b ( b 1 ) 2 a b  + + +  恒成立，则实
数的最大值为______．
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若 a  0 , b  0 ，且
2 a
1
+ b
+
b
1
+ 1
= 1 ，则 a + 2 b 的最小值为
________．
（2）已知正实数 x , y 满足 x + y = 1 ，则
1
x 2
+
8
y 2
的最小值为________．
【变式1】（2025高三·全国·竞赛）已知 x
8 1
是一个锐角，那么 + 的最小值是_____.
sinx cosx
【变式2】（2025高三·全国·竞赛）若锐角 A ， B ， C 满足sin2A+sin2B+sin2C=2，则
s in 2 A
1
c o s 4 B
+
s in 2 B
1
c o s 4 C
+
s in 2 C
1
c o s 4 A
的最小值是_____.
优题精练
1．（2026�广东江门�二模）已知a1， b  1 ，且 a b = a + b + 3 ，则 4 a + b 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（2026�内蒙古呼伦贝尔�模拟预测）当a0，b0且满足 a + b − a b = − 3 时，若 a b  k 2 + k + 7 恒成
立，则 k 的取值范围为（ ）
A． ( , 2 ) ( 1 , )   − −  + B．(−1,2)
C．(−,−1)(2,+) D．(−2,1)
3．（2026�广东湛江�二模）已知正数x，y满足x+3y=8，则(x+1)(y+1)的最大值为______.
4．（2026�湖北黄冈�三模）（多选）若a0，b0，a+b=4，则（ ）A．
集
合
与
微
常
专
题 用
2 逻
基 辑
本
用
不
等 语
式
求
最
值
方
法
9
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
a −
4
b
 0 B．
1
a
+
1
b
 1
C． a + b  2 2 D．12a2+3b2 48
5．（2026�云南昆明�模拟预测）设a0，b0，则下列结论正确的是（ ）
A． a 2 + b 2  2 ( a + b ) B．
a 2
a
+
+
b
b
2
 a b
C．
b
a
+
a
2 a
+ b
 2 2 D．
a 2
a
+
+
b
b
2 + 2

1
2
6．（2026�山东聊城�模拟预测）（多选）已知正数 a , b 满足 lo g
a
( a + b ) −
lo
1
g
b
a
= 1 ( a  1 , b  1 ) ，则
（ ）
A． a + b = a b B． a b 的最小值为2
C． a + 4 b
1
的最小值为9 D．a− 的最小值为1
b
7．（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知 a  0 ， b  0 ，且 a + 2 b = 1 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．ab的最大值为
1
8
B．
1
a
+
a
b
的最小值为 2 2
C． a + 2 b 的最大值为 2 D． 2 a + 4 b 的最小值为4
8．（2026�天津南开�二模）已知xkπ时，
s
1
in 2 x
+
2 +
4
c o s 2 x
的最小值为（ ）
9 7 9
A． B．3 C． D．
2 3 4
9．（2026�福建漳州�二模）（多选）已知正数a,b满足a+b=1，则下列说法正确的是（ ）
8 1
A． + 的最小值为9+4 2
a b
B．
8
a 2
+
1
b 2
的最小值为27
C． 3 a + 3 b + 6 的最大值为6
D．若cR，则
b c
8
2
a
+ b
+
a b c
1
2 + a b
+ 2 c 2 的最小值为6
10．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知 x  0
x2+2xy
且y0，则 的最大值为____．
2x2+ y2