第 04 讲 基本不等式及其应用
知识精讲 集
合
与
知识点1 基本不等式核心公式 第 常
用
0
4
1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式） 讲 逻
辑
若a>0,b>0，则 ，当且仅当a＝b时取等号。 集 用
合 语
• 一正：a,b全为正数（负数不能直接套原式）； 及
其
• 二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值；
运
• 三相等：等号可取（a＝b在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。 算
1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件）
1.
1
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a 2 + b 2 2 a b , a , b R , a＝b取等（全体实数可用，无正数限制）；
2. （积≤和平方四分之一，常用放缩）；
3. 同号：
a
b
+
b
a
2 ( a b ＞ 0 ) ； ab<0时
a
b
+
b
a
− 2 。
1.3 四项均值不等式链
对于正数 a,b，有：0＜a≤
1
a
2
+
1
b
≤ a b ≤
l n
b
b
−
−
a
l n a
a+b
≤ ≤
2
a 2 +
2
b 2
≤b
其中：记忆口诀：调几对算平
•
1
a
2
+
1
b
：调和平均数（HM）
• a b ：几何平均数（GM）
•
a +
2
b
：算术平均数（AM）
a2 +b2
• ：平方平均数（QM）
2
当且仅当 a=b时，所有等号同时成立。
自主检测已知𝑎 >𝑏 >0，且𝑎+𝑏 =1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．√e<e𝑎 B． 1 < 1 C．√𝑎+√𝑏 <√2 D．sin𝑎 <cos𝑏
𝑎−𝑏 𝑏
知识点2 两大最值模型
1. 积定求和最小：ab＝k（定值，a,b>0）a+b2 k ，a＝b取最小；2. 和定求积最大：a＋b＝k（定值，a,b>0）
集
合
与
第 常
用 0
4 逻
讲
辑
集 用
合 语
及
其
运
算
2
a b
k
4
2
，a＝b取最大。
核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关
键。
自主检测（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知𝑎 >0，则(𝑎𝑥3+ 1 ) 4 关于𝑥的展开式中各项系数之和的最小
𝑎𝑥2
值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
知识点3 经典题型：“1 的代换”
已知 ma＋nb＝1(a,b>0)，求
p
x
+
q
y
类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。
例：a>0,b>0,a+b＝1，求
1
a
+
2
b
= (
1
a
+
2
b
) ( a + b ) = 3 +
b
a
+
2
b
a
3 + 2 2 。
1 1
自主检测已知正实数a，b满足2𝑎+ =1，则𝑏+ 的最小值为______．
𝑏 2𝑎
知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理
1. x<0：令t＝－x>0，变形后用不等式；例 x +
1
x
( x ＜ 0 ) − ( − x +
−
1
x
) − 2
2. 定义域限制无法a＝b：放弃基本不等式，用 。
自主检测已知𝑎 >𝑏 >0，且𝑎+𝑏 =1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
．．．
1 1 1 1 1 1
A． > B． < C．√𝑎+√𝑏 <√2 D． + >4
𝑎−𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 𝑏 𝑎 𝑏
题型突破
题型1 基本不等式条件正误判断
例1-1已知𝑥 >0，那么以下关于式子𝑥2+ 1 的分析判断正确的选项是（ ）
𝑥
（1）𝑥2+ 1 ≥2√𝑥；
𝑥
（2）上式当且仅当𝑥2 = 1 即𝑥 =1时，等号成立；
𝑥
（3）所以当𝑥 =1时，𝑥2+ 1 取得最小值2
𝑥
A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错
例1-2已知正实数a，b满足𝑎+𝑏 =1，则（ ）A．𝑎𝑏 ≤ 1 B．𝑎2+𝑏2 ≤ 1 C． 1 + 1 ≤4 D．√𝑎+√𝑏 ≥√2
4 2 𝑎 𝑏
方法技巧 不等式性质的快速判断
1. 特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项；
集
2. 三条件逐项核验法：按 "一正→二定→三相等" 顺序逐一验证，缺一不可； 合
与
第 常
3. 性质区分法：明确a2 +b2 2ab （全体实数）与
用 0
4
逻
讲
辑
集 用
合 语
及
其
运
算
3
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
a +
2
b
a b （仅正数）的适用范围。
易错分析 忽略前提条件
1. 忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式；
2. 忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值；
3. 忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果；
4. 混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。
【变式训练1-1】（多选题）已知正实数𝑎,𝑏满足𝑎+𝑏 =2，则（ ）
A．𝑎𝑏 ≤1 B．√𝑎+√𝑏 ≤2 C．𝑎2+𝑏2 ≤2 D． 1 + 1 ≤1
𝑎 𝑏
【变式训练1-2】（多选题）若6𝑎 =2，6𝑏 =3，则下列判断正确的是（ ）
A．𝑎+𝑏 =1 B．𝑎𝑏 < 1 C．𝑎2+𝑏2 < 1 D．𝑏 < 1
4 2 2
【变式训练1-3】（多选题）若𝑎 >0，𝑏 >0，𝑎+𝑏 =1，则（ ）
A．𝑎𝑏 ≤ 1 B．√𝑎+√𝑏 ≤1 C．𝑎+ln𝑏 <0 D．e𝑎+𝑏 <2
4
【变式训练1-4】（多选题）已知𝑎 >𝑏 >0,𝑐 >0，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 𝑏+𝑐 𝑏
A． < B． >
𝑎 𝑏 𝑎+𝑐 𝑎
C．𝑐𝑎 >𝑐𝑏 D．(𝑎+ 1 )⋅( 1 +𝑐)≥4
𝑐 𝑎
题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数）
例2-1已知𝑥 >0，𝑦>0，且3𝑥+𝑦+𝑥𝑦 =9，则3𝑥+𝑦的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例2-2【新考法】（2026·河北沧州二中·预测（一））已知实数𝑚,𝑛满足𝑚2+𝑛2 =8𝑚−12，则 𝑚+√3𝑛
√8𝑚−12
的最大值为__________.
方法技巧
拆项法（凑和为定值）：
k
适用：x+ 型；
x−m操作：
集
合
与
第 常
用
0
4 逻
讲
辑
集 用
合 语
及
其
运
算
4
x +
x
k
− m
= ( x − m ) +
x
k
− m
+ m ，此时 （ x - m ）
x
k
− m
= k 为定值。
配系数法（凑积为定值）：
适用： x(k-mx)型；
操作： x ( k − m x ) =
1
m
m x ( k − m x ) ，此时mx+(k-mx)=k为定值。
分离常数法：
适用：
x
x 2
− 1
型；
操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。
易错分析
1. 拆项时漏加常数项，导致结果偏小；
2. 配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小；
3. 等号条件不在定义域内，未改用函数单调性；
4. 混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。
【变式训练2-1·变载体】（多选题）已知离散型随机变量𝜉的分布列如表所示.其中𝑎 >0,𝑏 >0,且𝐸(𝜉)=
0.3，则下列说法正确的是（ ）
𝜉 −1 0 1 2
𝑏
P 0.2 c a
2
A．𝑎𝑏 ≤ 1 B．𝑎2+𝑏2 ≥ 1
16 4
4 1 4𝑎 𝑏 5
C． + ≥18 D． + ≥
𝑎 𝑏 4−𝑎 1−𝑏 9
【变式训练2-2·】已知𝑥 >0，𝑦 >0，且𝑥+2𝑦−2𝑥𝑦=0，则𝑥+2𝑦的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练2-3】（多选题）已知正实数𝑥,𝑦满足：𝑥+2𝑦=1，下列说法正确的是（ ）
1 1
A．0<𝑦 < B．𝑥𝑦≤
2 8
C． 1 + 1 ≥4+2√2 D．𝑥2+4𝑦2 ≤ 1
𝑥 𝑦 2
【变式训练2-4】已知正实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏+𝑎+𝑏 =8，则𝑎𝑏的最大值是__________．
题型3 "1 的代换" 求最值
例3-1（陕西省镇安中学2026届高三模拟）已知函数𝑓(𝑥)=5𝑥3+𝑥，正数𝑎,𝑏满足𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏−1)=0，则
1
+
4
的最小值为（ ）
𝑎 𝑏
A．2 B．5 C．8 D．9
1 1
例3-2已知实数𝑥 >−1，𝑦 >0，且满足(√4𝑥2+1−2𝑥)(√𝑦2+2𝑦+2−𝑦−1)=1，则 + 的最小
𝑥+1 𝑦
集
值为（ ）
合
与
A．5 B．3+2√2 C．3+4√2 D．9
第 常
用
0
方法技巧 求代数式范围的规范步骤 4
逻
讲
辑
标准解题模板： 集 用
合 语
及
1. 变形定值：将ma+nb=k化为
其
运
算
5
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
m a +
k
n b
= 1 ；
2. 整体乘 1：所求代数式乘以
m a +
k
n b
；
3. 展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"；
4. 用基本不等式求最值，验证等号条件。
变形技巧：若已知
m
x
+
n
y
= 1 ，直接将px+qy乘以 （
m
x
+
n
y
） 即可。
易错分析 范围扩大问题
1. 乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件；
2. 展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误；
3. 联立方程求解等号条件时计算错误；
4. 多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。
【变式训练3-1】（湖南株洲市第二中学2026届高三全真模拟）已知𝑚,𝑛 ∈(0,+∞)，2𝑚+𝑛 =1，则
𝑛
+
1
的取值范围是（ ）
𝑚 𝑛
A．(0,+∞) B．[√2+1,+∞) C．[4,+∞) D．[2√2+1,+∞)
【变式训练3-2】已知𝑥 >0，𝑦 >0且𝑥+𝑦 =1，则
1
+
4
的最小值为（ ）
𝑥 𝑦
A．5 B．6 C．7 D．9
2 1
【变式训练3-3】已知𝑥，𝑦均为正数，且𝑥+2𝑦=4，则 + 的最小值为___________
𝑥 𝑦
题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到）
9
𝑥+ ,𝑥 <0
例4-1已知函数𝑓(𝑥)={ 𝑥 在定义域内有最大值，则实数𝑎的取值范围是（ ）
−𝑥+𝑎,𝑥 >0
A．[6,+∞) B．(−∞,−6] C．(−∞,3] D．[3,+∞)例4-2（多选题）下列不等式正确的是（ ）
A．√6−√3<√5−√2 B．sin2𝑥+ 4 的最小值是4
sin2𝑥
C．若0<𝑎 <1，则 1 + 1 ≥4 D．0<log (−𝑥2+4𝑥)≤2
𝑎 1−𝑎 2
集
合 方法技巧
与
1. 含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变；
第 常
用 2. 等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。
0
4 逻
讲 易错分析
辑
集 用 1. 负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向；
合 语
2. 等号取不到时仍用基本不等式的结果；
及
其 3. 对勾函数的单调性记反，导致最值求错；
运 4. 换元后未重新确定新变量的定义域。
算
【变式训练4-1·变载体】（重庆市七校联盟2026届高三考前联合诊断）已知数列{𝑎 }满足𝑎 =
𝑛 𝑛+1
𝑎𝑛
，𝑎 =1，数列{𝑏 }满足𝑏 =1，𝑏 −𝑏 =
1
(𝑛≥2)，则数列{
𝑏𝑛+13
}的最小值为__________．
1 𝑛 1 𝑛 𝑛−1
2𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 𝑛
【变式训练4-2·变考法】已知直线𝑙:𝑥−1=0与圆𝑂:𝑥2+𝑦2 =1相切于点𝑇，𝐴是圆𝑂上一动点，点𝑃满
足𝑃𝑂⊥ 𝑂𝐴，且以𝑃为圆心，𝑃𝐴为半径的圆恰与𝑙相切，则当cos∠𝑃𝑇𝑂取最小值时，点𝑃的坐标可以为
6
______.
2𝑥𝑦
【变式训练4-3·变考法】已知实数𝑥,𝑦满足|3𝑥−2𝑦|+|𝑦−𝑥|=|2𝑥−𝑦|且𝑦 ≠0，则 的最大
9𝑥2+3𝑥𝑦+4𝑦2
值是______．
题型5 基本不等式实际应用
例5-1如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH
构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相
同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；在四个空角（图中四个三角形）上铺
草坪，造价为80元/m2．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD
的长度为（ ）
A．2√10m
B．√10m
C．10m
D．10√2m
例5-21471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现
最长？我们把地球表面视为平面𝛼，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面𝛼，直线l上有两点A，B位于平面𝛼的同侧，求平面上一点
C，使得∠𝐴𝐶𝐵最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为(0,8)，(0,4)，点C
的坐标为(𝑐,0)，则当∠𝐴𝐶𝐵最大时，c的值为（ ）
集
合
A．64
与
B．32 第 常
用
0
C．8√2 4 逻
讲
辑
D．4√2
集 用
合 语
方法技巧 及
其
建模解题四步走：
运
1. 设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）； 算
2. 列关系式：建立目标函数和变量的取值范围；
3. 求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件；
4. 作答：将数学结果转化为实际问题的答案。
易错分析
1. 忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）；
2. 目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误；
3. 等号条件不符合实际，未改用函数单调性； 7
4. 单位不统一，导致计算结果错误。
【变式训练5-1】已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的
高为______.
【变式训练5-2】某夏令营在△𝐴𝐵𝐶区域内活动，三个内角满足2sin𝐴+sin𝐵 =3sin𝐶．
(1)求cos𝐶的最小值；
(2)夏令营活动组织者要求在𝐴点集合，设小明从𝐵点出发准时到达𝐴点的概率为𝑝，小红从𝐶点出发准时到
达𝐴点的概率为𝑞，两人是否准时到达𝐴点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达𝐴点的概率为
0.52，至少有一人准时到达𝐴点的概率为0.76，求|𝑝−𝑞|的值．
【变式训练5-3】某学校计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场
地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为𝑥米（4≤𝑥 ≤6）. 现有甲、乙两支
工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为(1+ 2 )×6𝑘×104元（𝑘 >0）. 假
𝑥
设甲、乙工程队均不考虑其他因素.
(1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
集 (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数𝑘的取值范围.
合
与
第 常
用
0
4 逻
讲
辑
集 用
合 语
及
其
题型6 含参恒成立问题
运
算
例6-1已知数列{𝑎 }满足𝑎 =
𝑎𝑛 2+3
(𝑛=1，2，3，⋯)，给出下面3个结论，
𝑛 𝑛+1
2𝑎𝑛
①若{𝑎 }为常数列，则𝑎 =√3；
𝑛 1
②当𝑎 >2时，总有√3<𝑎 ≤𝑎 ；
1 𝑛 1
③当𝑎 =−2时，{𝑎 }为递增数列，且存在常数𝑀 <0，使得𝑎 ≤𝑀恒成立．
1 𝑛 𝑛
8
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例6-2已知正实数𝑥，𝑦满足𝑥+𝑦−
1
𝑥𝑦=0，且不等式𝑥+𝑦−𝑎 >0恒成立，则𝑎的取值范围是（ ）
2
A．𝑎 <2 B．𝑎 <8 C．𝑎 <6 D．𝑎 <4
方法技巧 优先使用分离参数法
1. 分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边；
2. 求最值：求函数f(x)的最大值或最小值；
3. 得范围：若a f(x) 恒成立，则 a f ( x )
m a x
；若 a f ( x ) 恒成立，则 a f ( x )
m in
。
易错分析
1. 分离参数时，除以负数未改变不等号方向；
2. 求函数最值时忽略等号条件；
3. 恒成立问题遗漏端点值；
4. 混淆恒成立与能成立的最值要求。
4 1
【变式训练6-1】已知𝑥 >0,𝑦 >0，且𝑥+𝑦 =5，若 + ≥2𝑚+1恒成立，则实数𝑚的取值范围是
𝑥+1 𝑦+2
（ ）
1 2 1
A．(−∞, ] B．(−∞, ] C．(−∞, ] D．(−∞,4]
16 5 2
【变式训练6-2】（多选题）已知𝑎 >0，𝑏 >0，则下列说法正确的是（ ）
A．若𝑎𝑏 =𝑎+𝑏+3，则𝑎𝑏 ≥9B．𝑎2+ 4 的最小值为1
𝑎2+3
36 𝑎
C．若𝑎+𝑏 =9，则 + 的最小值为8
𝑎 𝑏
D．若√𝑎+√5𝑏≤𝑘√𝑎+𝑏恒成立，则𝑘的最小值为√5
集
【变式训练6-3】（多选题）已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥−ln𝑥,𝑓′(𝑥)是其导函数.若存在𝑥 ,𝑥 ∈(0,π)且𝑥 <
1 2 1 合
𝑥 ，满足𝑓′(𝑥 )=𝑓′(𝑥 )，则（ ） 与
2 1 2
第 常
A．𝑓(𝑥 )>𝑓(𝑥 ) B．𝑥 𝑥 >1 用
1 2 1 2 0
4
逻
C．𝑓(𝑥 )𝑓(𝑥 )>1 D．𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 )<2 讲
1 2 1 2 辑
集 用
【变式训练6-4】已知数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，2𝑆 +𝑛2+2𝑛+3=𝑎 ．
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 合 语
(1)求数列{𝑎 }的通项公式； 及
𝑛
其
(2)若𝑏 =|𝑎 |，对任意𝑛 ∈𝑁∗，𝑏 + 25 ≥𝑡恒成立，求𝑡的取值范围． 运
𝑛 2𝑛 𝑛
𝑏𝑛
算
真题训练
9
一、单选题
1．（2024·北京·高考）已知(𝑥 ,𝑦 )，(𝑥 ,𝑦 )是函数𝑦 =2𝑥的图象上两个不同的点，则（ ）
1 1 2 2
A．log
𝑦1+𝑦2
<
𝑥1+𝑥2
B．log
𝑦1+𝑦2
>
𝑥1+𝑥2
2 2
2 2 2 2
C．log
𝑦1+𝑦2
<𝑥 +𝑥 D．log
𝑦1+𝑦2
>𝑥 +𝑥
2 1 2 2 1 2
2 2
二、填空题
2．（2023·上海·高考）已知正实数a、b满足𝑎+4𝑏=1，则𝑎𝑏的最大值为_______________．
→ → → →
3．（2023·天津·高考）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶 =1，∠𝐴=60∘，𝐴𝐷 = 1 𝐴𝐵,𝐶𝐸 = 1 𝐶𝐷，记𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑎 ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝑏⃗ ，
2 2
用𝑎 → ,𝑏 → 表示𝐴 𝐸 =_________；若𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 1 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ 的最大值为_________．
3
4．（2024·上海·春季高考）已知𝑎𝑏 =1，4𝑎2+9𝑏2的最小值为______．
1 1
5．（2025·上海·高考）设𝑎,𝑏 >0,𝑎+ =1，则𝑏+ 的最小值为_________．
𝑏 𝑎
三、解答题
1
6．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃到𝑥轴的距离等于点𝑃到点(0, )的距离，记动
2
点𝑃的轨迹为𝑊．
(1)求𝑊的方程；
(2)已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷有三个顶点在𝑊上，证明：矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长大于3√3．
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
