培优基本不等式求最值问题全归纳（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

重难点培优 02 基本不等式求最值问题全归纳
集
知识梳理
合
与
常
培 用
知识点01 重要不等式 优 逻
基 辑
本
用
1、公式：对于任意的实数a,b，有 不
等 语
式
求
最
值
问
题
1
崇文翰墨
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a 2 + b 2  2 a b ，当且仅当 a = b 时，等号成立．
【说明】(a−b)2 0a2 +b2 −2ab0a2 +b2 2ab，当且仅当 a = b 时，等号成立．
2、常见变形： 2 ( a 2 + b 2 )  ( a + b ) 2 、 a b 
a 2 +
2
b 2
、 4 a b  a 2 + b 2 + 2 a b ．
知识点02 基本不等式
1、公式：如果 a  0 ， b  0
a+b
，那么 ab  ，当且仅当
2
a = b 时，等号成立．
2、常见变形： a + b  2 a b ； a b 
 a +
2
b 
2
.
3、常用结论：
①
b
a
+
a
b
 2 （ a , b 同号），当且仅当 a = b 时取等号；
b
a
+
a
b
 − 2 （ a , b 异号），当且仅当a=−b时取等号．
② a +
1
a
 2 （ a  0 ），当且仅当a=1时取等号；
a +
1
a
 − 2 （a0），当且仅当a=−1时取等号；
知识点03 基本不等式链
1
a
2
+
1
b
 a b 
a +
2
b

a 2 +
2
b 2
( a , b  R + )
即调和平均值  几何平均值  算数平均值  平方平均值(注意等号成立的条件).题型突破
集 题型01 直接使用基本不等式与配凑法
合
与
常
【技巧通法·提分快招】
用 培
逻 优
1、利用基本不等式求最值
辑 基
本
用 按照“一正、二定、三相等”的原则,即
不
语 等
式 (1)一正:符合基本不等式a+b≥√ 成立的前提条件,即a>0,b>0.
求 2 ab
最
值
(2)二定:化不等式的一边为定值.
问
题 (3)三相等:必须存在等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
2、拼凑法求解最值
其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保
证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件.
2
1．（2026·天津河西·一模）已知a0，b0，且 2 a + b = 1 ，则 a b 的最大值为（ ）
A．1 B．
1
4
C．
1
8
D．
1
9
2．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A． x +
1
x
 2 ( x  0 ) B． x +
2
x
 2 2 ( x  0 )
C． −
4
x
−
1
x
6
 1 ( x  0 ) D． x 2 + 3 +
x
1
2 + 3
 2 ( x  R )
4
3．若x1，则 −x的最大值为（ ）
1−x
A． 3 B． − 4 C． − 5 D． − 6
4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数a，b满足a+2b=2，则2a+4b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数x−1，则
x
4
+ 1
+ x 的最小值是__________.
6．（2026·贵州贵阳·二模）若a0,b0，且 a b = a + b ，则ab的最小值是______．题型02 常数代换法（“1”的代换）
【技巧通法·提分快招】
集
合
形如“已知x+y=t(t为常数),求 的最值”的问题，先将 转化为 ，再用基本
与
常
不等式求最值.
培 用
优 逻
基 辑
本
1．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试） 用
不
等 语
式
求
最
值
问
题
3
崇文翰墨
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a  0 ， b  0 ，
1
a
+
3
b
= 1 ，则a+3b的最小值是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知x0,y0，且满足3x+y=8，则
3
x
+
1
y
的最小值为（ ）
A．
1 6
7
B． 2 C．
7
2
D． 4
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知x0， y  0 ，且 x + 2 y − 2 x y = 0 ，则 x + 2 y 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（25-26高三上·河北保定·期中）设 m  0 , n  0 , 2 m +
1
n
= 1
2
，则n+ 的最小值为（ ）
m
A．10 B．9 C．8 D．7
1 1
5．已知0a1，则 + 的最小值是（ ）
a 1−a
A．4 B．3 C．2 D．1
题型03 变形后常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型.
 
形如a+b=tab，可以通过同除ab，化为 + =t构造“1”的代换求解.
b a
2、形如 a + b = t ，求
a
1
+ m
+
1
b
型，则可以凑配(a+m)+(b)=t+m，再利用“1”的代换来求解.
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配.
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
a
1
+ m
+
b
1
+ n
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，
再利用“1”的代换来求解.1．已知
集
合
与
常
用 培
逻 优
辑 基
本
用 不
语 等
式
求
最
值
问
题
4
x  0 ， y  0 ，且 x + y = 1 ，则
8 x
y
+
1
x y
的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数 a , b 满足 a + 4 b = 2
1 1
，则 + 的最小值为
a+2 b+1
（ ）
A．1 B．
3
4
C．
9
8
D．2
3．（2025·浙江台州·一模）已知a,b(−1,+)，且 a +
b
1
+ 1
= 2
9
，则b+ 的最小值为（ ）
a+2
A．2 B．
9
4
C．
5
2
D．3
4．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足x+y=1，则
2 x
1
+ y
+
x +
1
2 y
的最小值为______.
5．（2026·湖南怀化·一模）已知 b  0 ，且 3 a  9 b = 3 ，则
b
2
+
b
1
+
a
b
+ 3 b
的最小值为__________.
6．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知 a  b  0 且
a
6
+ b
+
a
2
− b
= 1 ，则 2 a + b 的最小值为____.
题型04 分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如
a x 2
m
+
x
b
+
x
n
+ c
，可以通过换元 t = m x + n 分离降幂，转化为对勾型
1．已知 x  − 1
x2−x+14
，则 的最大值是（ ）．
x+1
A．−11 B．−8 C．5 D．8
2．（2026·河南开封·模拟预测）设 x  1
x2−2x+3
，则 的最小值为_____________．
x−1
4x2−7
3．函数 f (x)= ,x0,1的值域为_____.
2−x
题型05 消元法
【技巧通法·提分快招】当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足
集
合
与
常
培 用
优 逻
基 辑
本
用
不
等 语
式
求
最
值
问
题
5
崇文翰墨
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a +
4
b
= 1 ，
a
b
的最大值为（ ）
A．
1
3 2
1
B． C．
16
1
8
D．
1
4
2．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足(1−x)(1+y)=1，则 y + 1
x
的最小值为
（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若2ab=4−3a，则a+b的值可能是（ ）
A．0 B． − 4
3
C．2 D．
2
4．设 x , y , z 均为正实数，满足 x − y + z = 0 ，则
y
x
2
z
的最小值为______.
5．已知 m  0 , n  0 ，且 m + n = 1
2m n
，则 + 的最大值为__________.
m2+n m+n2
题型06 单、双、三角换法
1．已知 a ， b 满足a2+ab−2b2 =1，则 3 a 2 − 2 a b 的最小值为（ ）
A． 1 B．2 C． 3 D． 5
2．已知正数 a ，b， c 满足2a+b+3c=4，则
a +
b
b
+
+
c
2 c
+
a
1
+ c
的最小值为（ ）
2 5
A．2 B． C． D．
2 2
5 + 2
4
2
3．已知实数x,y，满足 x 2 + x y + 3 y 2 = 3 ，则 x + y 的最大值为_____.
a2+b2
4．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知ab0，则 的最小值为______.
ab−b2
5．已知实数x,y满足 x ( x + y ) = 1 + 2 y 2 ，则
5
2
x 2 − 2 y 2 的最小值为______．
6．已知x2−2 3xy+5y2 =1，x,yR，则 x 2 + y 2 的最小值为____.题型07 多次使用基本不等式
【技巧通法·提分快招】
集
多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性.
合
与
常
用 培 1．（25-26高三上·湖南·期中）已知
逻 优
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
问
题
6
a  b  0 ，则 6 a 2 +
b ( a
1
− b )
的最小值为（ ）
A．6 B． 6 C． 2 6 D． 4 6
2．已知 a  b  0 ，那么，当代数式 2 a 2 +
b ( a
2
− b )
取最小值时，a+2b的值为（ ）
A． 2 2 B．4 C． 4 2 D．8
3．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数 a ， b ， c 满足 b + c = 1 ，则
8 a b
b
2
c
+ a
+
a
1 8
+ 1
的最小值为
（ ）
A． 1 2 6 − 1 2 B．16 C．12 D． 6 1 1 −
1 1
2
4．已知正实数 x , y 满足2x2+5xy+2y2 =2x+y.若z1，则 y z
x
+ z
x y
+
z
5
− 1
− 4 z 的最小值为________.
题型08 多元型均值不等式
【技巧通法·提分快招】
设a ,a ,,a 均大于零，则记
1 2 n
Q
n
=
a
1
2 + a
2
2
n
+ a
n
2
， A
n
=
a
1
+ a
2
+
n
+ a
n ，
G
n
= n a
1
a
2
a
n
，
H
n
=
1
a
1
+
1
a
2
n
+ +
1
a
n
，则
Q
n
 A
n
 G
n
 H
n
，其中等号成立的条件是
a
1
= a
2
= = a
n
. 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.
Q ,A ,G ,H
n n n n
a+b 2 a2+b2
1．我们知道    ，当且仅当a=b时，等号成立，即
 2  2
a , b 的算术平均数的平方不大于 a , b 平
方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即
 a + b
3
+ c  2

a 2 + b
3
2 + c 2
，当且仅当a=b=c时，等号成立.
已知x0,y0,z0，若不等式 x+ y+ z t x+y+z 恒成立，则实数t的最小值为（ ）A．3 B． 3 C．
集
合
与
常
培 用
优 逻
基 辑
本 用
不
等 语
式
求
最
值
问
题
7
崇文翰墨
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1
3
D．
3
3
2．已知x,y0，且
8
x 2
+
1
y
= 1 ，则 x + y 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．已知a，b为正数，且满足 a 3 + b 3 = 2 ，则
1
a
+
1
b
的最小值为______．
4．已知 a  0 , b  0 ，则
4 + b ( a
a
2
b
+ 2 5 b )
的最小值为________．
题型09 基本不等式交汇其他知识
x2 y2
1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆C: + =1的焦点分别为F，
1
25 16
F
2
，点 P 为 C 上任意一点，则
P F
1
 P F
2
的最大值为（ ）
A． 4 1 B．25 C． 1 0 D． 9
2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆 x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + 1 = 0 关于直线 a x − b y + 2 = 0 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0 ) 对称，则
1
a
+
2
b
的最小值为（ ）
A．2 B． 3 + 2 2 C．4 D．8
3．（2026·江西·模拟预测）已知数列a 为等差数列，
n
 b
n
 为等比数列， a
3
= b
3
= 2 ，则（ ）
A． b
2
b
4
 a
2
a
4
B． b
2
b
4
 a
2
a
4
C．a +a b +b D．a +a b +b
2 4 2 4 2 4 2 4
4．在 ABC中，M、N分别在边 A B 、 A C 上，且AB=4AM， A C = 3 A N ，D在边BC上（不包含端
点）.若 A D = x A M + y A N
1 3
，则 + 的最小值是（ ）
x y
5 7 9
A． B． C． D．4
4 4 4
5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数 f (x)=log (2x−1)+1（
a
a  0 且 a  1 ）的图象经过定点
P x
0
,y
0
，若 m x
0
+ n y
0
− 2 = 0 ，当满足m0，n0时，代数式
2
m
+
n
1
+ 1
的最小值是（ ）
A．
3 + 2
3
2
B．
2 + 3
3
2
C． 3 + 2 2 D． 2 + 3 2
6．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，
b2，2c2成等差数列，则tan(C−B)的最小值为（ ）A．
集
合
与
常
用 培
逻 优
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
问
题
8
−
3
3
B．
3
3
C． −
2
3
D．
2
3
分层突破
知识巩固
1．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数 f ( x ) = 2 x +
x
1
− 1
( x  1 ) 的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 2 2 + 2
2．（2026·福建泉州·二模）已知正数 a , b 满足 a +
2
b
= 1 ，则
a
b
的最大值为（ ）
A．
1
8
B．
1
4
C．
4
2 1
D．
2
3．已知 x , y 为正实数，且 x y + 1 = x ，则 x +
2
y
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． 2 + 2 2 D．3+2 2
4．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足a+b=1，则（ ）
1 1
A．ab B．a2+b2  C．
4 2
1
a
+
1
b
 4 D． a + b  2
5．已知 a  0 , b  0 ，则
1
a
+ a b 2 +
2
b
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（25-26高三上·辽宁·期中）已知 a  0 ， b  0 ，且a+b=1，则
3
a
+
1
a b
的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．13
7．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数 f(x)=5x3+x，正数 a , b
1 4
满足 f(a)+ f(b−1)=0，则 + 的最
a b
小值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
4 1
8．（2026·天津红桥·一模）已知a0，b0，若a+b=2，则 + 的最小值为（ ）
1+a 1+b
7 9
A．2 B． C． D．2+ 2
4 4 π
9．（2026·湖南永州·三模）已知,0, ，
 2
集
合
与
常
培 用
优 逻
基 辑
本
用
不
等 语
式
求
最
值
问
题
9
崇文翰墨
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2 s in c o s ( ) s in     = + ，则 ta n 的最大值为（ ）
A．
1
6
2
B．
6
6
C．
4
6 3
D．
6
10．已知x,y是非负实数且
x
x
+ 3
+
2
2
y
y
+ 1
= 1 ，则 3 x + 4 y 的最小值为（ ）
A．9 B．11 C．
7
2
6 D． 6 2
11．已知a,b满足a2+ab−2b2 =1，则 9 a 2 − 6 a b 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
12．若实数x，y满足 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x y
x2−1
，则 的最大值为（ ）
3y2+1
A．
2
5
B．
1
2
C．
2
3
3
D．
4
13．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数 a ，b， c 满足 2 a + b + 3 c = 8 ，则
a +
b
b
+
+
c
2 c
+
a
1
+ c
的最小值为
（ ）
A． 2 2 B．
3 + 2
4
2
C． 3 2 − 1 D．
5 + 2
4
2
14．已知x,y均为正实数，且 2 x + y = 2 ，则
2 x 2
x
+ 2
+
y
y
2 +
+
4
2
的最小值为（ ）
A．4 B． 3 + 2 3 C．6 D． 3 + 2 2
15．已知正数 x ， y ， z 满足 x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 = 1 ，则
1 +
2
2
x
z
y z
的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．16
16．（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．当 x  0 时， x +
1
x
 2 B．当 x  2 时， x +
1
x
最小值为2
4
C．当x 时，
3
y = 3 x − 2 +
3 x
1
− 4
 4 D．当xy0时，
x
y
+
y
x
 2
17．（多选题）（25-26高三上·安徽·期末）已知正数 x ，y，满足x+y=4，则（ ）
A． x y 的最大值为2 B．
x 2 +
x y
4 y
的最小值为3
C．
x
1
+ 1
+
y
1
+ 2
4
的最小值为 D．2x2+y2的最小值为
7
3 2
3
3 3
18．（25-26高三上·福建厦门·期中）设a，b0，a+ =3，则b+ 的最小值为__________.
b a19．（25-26高三上·北京·阶段检测）若
集
合
与
常
用 培
逻 优
辑 基
本
用
不
语 等
式
求
最
值
问
题
10
x  1 ，则函数 f ( x ) =
x 2 −
x
x
− 1
+ 1
的最小值为______，此时 x =
______.
1−2x
20．函数 f(x)= 在
x2+2
( −  ,
1
2
] 上的值域为______.
21．（2026·陕西咸阳·三模）已知 a  − 1 , b  − 2 ，且2a+b=−ab，则 2 a + b 的最小值为______．
22．已知 x  0 , y  0 ，且 x + 2 y = 4 ，则(1+x)(1+2y)的最大值为_________；
23．已知pq为实数，且满足 p 3 + q 3 = 2 ，那么 p + q 的最大值为______．
24．若实数a，b满足 a 2 − 4 b 2 = 4 ，则 a 2 + a b 的最小值为________．
25．（2025·上海长宁·一模）已知 a ， b ， c 均为正实数，且 a ( b + c ) = 1 ，则
1
a
+
b
1
+ c
+
a +
4
b + c
的最小值为
___________．
26．已知 b , c  R + ，a1，且满足：b+2c=2，则
6 a b 2
b
+
c
8 a
+
a
6
− 1
的最小值等于________．
27．已知 x  y  0 ，则
2 x
x y
2 +
−
2 y
2 y
的最小值为______.
28．已知正实数 a ， b 满足 5 a 2 + 4 a b = 1 + b 2 ，则 1 2 a 2 + 8 a b − b 2 的最小值是_____.
29．若正实数a，b满足 a + 2 b = a b ，则
a 2
4
+ 2 a
+
2 b
12
+ b
的最小值是________．
30．已知正实数 a 、b满足：a+2b+ab=6，则 a b 的最大值为______，若实数 c  0 ，则
a
a 2
+
c
2
+
2
b
b
+
2 c
1
+ a b c +
c
1 6
+ 1
的最小值为______．
能力提升
1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知 a  1 ， b 
1
2
，
a
1
− 1
+
2 b
2
− 1
= 2
1 1
，则 + 的最大值为（）
a b
3 4 5 6
A． B． C． D．
2 3 4 5
2．若正实数x，y，z满足 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4
z+2
，则 的最小值为（ ）
xyz
A．2 B．2 2 C． 2 3 D．3
3．已知正实数a,b满足5a2+4ab=1+b2，则12a2+8ab−b2的最小值为（ ）
7 19 19 7
A． B． C． D．
3 8 4 64．“
集
合
与
常
培 用
优 逻
基 辑
本
用 不
等 语
式
求
最
值
问
题
11
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
 a  b  0 ， a 2 b 2
a 3
a
3 b
b
3
 + 
+
−
”是假命题，则实数的最大值为_______．
5．若 x  0 ， y  0
x y 1
，则x2+ + + 的最小值为____．
y x y2
6．已知 a  1 ， b  2 ，则
b
a
−
2
2
+
8 (
b
a
2
− 1 )
的最小值为_________.
7．若 x  0 ， y  0 ，则
x +
2 x
x 2
+
+
3
9
y
y 2
的最小值为______．
8．设 a , b , c 为正实数，则
1 2 a
a
+
+
2 2 b
2 b
+
+
1
c
4 c
+
6 a
a
+ 1
+
0
b
b
+
+
2
1
c
2 c
−
a +
8
b
c
+ 3 c
的最小值是____________．