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§1.4 基本不等式 ≤(a，b≥0)
课标要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立．
(3)其中______________叫作正数a，b的算术平均数，____________叫作正数a，b的几何平
均数．
2．利用基本不等式求最值
(1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值
__________．
(2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
__________．
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．( )
(2)y＝x＋的最小值是2.( )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( )
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( )
2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
3．已知00，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________.
题型一 基本不等式的理解及常见变形
例1 (1)若0>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要
依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．
现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直
径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，
垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练1 (1)已知p：a>b>0，q：>2，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A.≥ B.≤
C.≤ D．ab≤
题型二 利用基本不等式求最值
命题点1 直接法
例2 (1)(多选)下列代数式中最小值为2的是( )A．x－ B．2x＋2－x
C．x2＋ D.＋
(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2 配凑法
例3 (1)(2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为( )
A. B. C．2 D．2
(2)已知x>1，则 的最小值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)．
(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x) ＝f()＝＋＝2；
min
(2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x) ＝f(a)＝a＋；
min
(3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x) ＝f(b)＝b＋.
min
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数
的单调性求最值．
典例 函数f(x)＝x2＋的最小值是______．
命题点3 代换法
例4 (1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为( )
A．54 B．56 C．72 D．81
延伸探究 已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．
(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则＋的最小值为( )
A. B. C．2 D．3
命题点4 消元法
例5 已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2
命题点5 构造不等式法
例6 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为( )A．9 B．6 C．3 D．12
跟踪训练2 (1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是( )
A．y＝sin x＋
B．y＝2－x－(x＜0)
C．y＝
D．y＝4x＋4－x
(2)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是( )
A．ab的最大值为2
B．a＋b的最小值为4
C．a＋2b的最小值为6－3
D.＋的最小值为
