第05讲一元二次不等式（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
知识精讲
集
合
与
知识点1 一元二次不等式与三个二次的关系 常
第
5 用
1、一元二次不等式的一般形式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 >0或𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 <0（a≠0），其中a,b,c为常数。 讲 逻
一 辑
2、三个“二次”间的关系
元
用
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二
次 语
方
二次函数y＝ax2＋bx 程
与
＋c (a＞0)的图象 不
等
式
有两相等实根
一元二次方程ax2＋bx 有两相异实根
＋c＝0 (a＞0)的根 x ，x (x ＜x ) x ＝x ＝－
1 2 1 2 1 2
1
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b
2 a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
2.1、有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则
b
a

b
a
+
+
m
m
；
b
a

b
a
−
−
m
m
(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔
1
a

1
b
.
2.2、对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记 时的情形.
2.3、当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
3、一元二次不等式的解法步骤
1. 化正：将二次项系数化为正数；
2. 求根：求对应一元二次方程的根；
3. 画图：画出对应二次函数的草图；
4. 写解集：根据图象写出不等式的解集。
自主检测（2026·云南昆明·模拟预测）（多选题）若函数 f (x)=x2−4x+alnx有两个极值点，设这两个
极值点为x,x ，且x x ，则（ ）
1 2 1 2
A．x +x =2 B．xx =2 C． f (x )−3 D． f (x )−3
1 2 1 2 1 2知识点2 分式不等式的解法
核心思想：转化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。
𝑓(𝑥)
集 1. >0⇔𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)>0
𝑔(𝑥)
合
与 2. 𝑓(𝑥) <0⇔𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)<0
常 𝑔(𝑥)
用 第 𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)≥0
𝑓(𝑥)
逻 5 3. ≥0⇔{
讲 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)≠0
辑
用 一 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)≤0
元 4. ≤0⇔{
语 二 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)≠0
次
方
与
不
等
式
自主检测（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
2
A x
x
x
1
1
0
−
=

+


 
 1 
，B=x y= ，则

x(2−x)

 
A B =
（ ）
A．  x − 1  x  2  B． x −1x0 C．  x 0  x  1  D．  x − 1  x  1 
知识点3 绝对值不等式的解法
1. 基本类型
￮ |𝑥|<𝑎(𝑎>0)⇔−𝑎<𝑥 <𝑎
￮ |𝑥|>𝑎(𝑎>0)⇔𝑥 <−𝑎或𝑥 >𝑎
2. 拓展类型
￮ |𝑓(𝑥)|<𝑔(𝑥)⇔−𝑔(𝑥)<𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
￮ |𝑓(𝑥)|>𝑔(𝑥)⇔𝑓(𝑥)<−𝑔(𝑥)或𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
￮ |𝑓(𝑥)|>|𝑔(𝑥)|⇔𝑓2(𝑥)>𝑔2(𝑥)
 2x−5   
自主检测（2026·天津·模拟预测）已知集合A=x 0，B= x x−12 ，则
 x+3 
A B = （ ）
A．−3,3 B． ( − 3 , 3 
 5  5
C．

−1,

D．−1,

 2  2
知识点4 高次不等式的解法（穿根法）
1. 步骤：a. 化正：将不等式化为(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )…(𝑥−𝑥 )>0（或 < 0）的形式，确保最高次项系数为正；
1 2 𝑛
b. 标根：将所有根标在数轴上；
c. 穿线：从数轴右上方开始，按照 “奇穿偶回” 的原则穿线（奇次根穿过数轴，偶次根不穿过）；
d. 写解集：根据数轴上方（>0）或下方（<0）的区间写出解集。 集
合
与
自主检测（2025·江苏宿迁·二模）设函数 第 常
5 用
讲 逻
一 辑
元
用
二
次 语
方
程
与
不
等
式
3
崇文翰墨
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f ( x ) = ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) ， 其中 a  b  c .若不等式
f ( 1 + x ) f ( 2 − x )  0 对任意 x  R 恒成立，则 a + b + c = ________.
知识点5 指数对数不等式的解法
核心思想：利用指数函数和对数函数的单调性转化为整式不等式，注意定义域限制。
1. 指数不等式
￮ 当𝑎 >1时，𝑎𝑓(𝑥) >𝑎𝑔(𝑥) ⇔𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
￮ 当0<𝑎 <1时，𝑎𝑓(𝑥) >𝑎𝑔(𝑥) ⇔𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
2. 对数不等式
𝑓(𝑥)>0
￮ 当𝑎 >1时，log ⁡𝑓(𝑥)>log ⁡𝑔(𝑥)⇔{ 𝑔(𝑥)>0
𝑎 𝑎
𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)>0
￮ 当0<𝑎 <1时，log ⁡𝑓(𝑥)>log ⁡𝑔(𝑥)⇔{ 𝑔(𝑥)>0
𝑎 𝑎
𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)
   3 
自主检测（2026·重庆·二模）已知集合A= x log x 1 ，B=x 1，则
2  x+2 
A  B =（ ）
A．
 1
2
, 2

B． ( 1 , 2 )
C．

− 2 ,
1
2

D．
 1
2
,1

知识点6 含参一元二次不等式的解法
分类讨论的三个层次：
1. 讨论二次项系数𝑎的符号：𝑎 >0、𝑎 =0、𝑎 <0；
2. 讨论判别式Δ的符号：Δ>0、Δ=0、Δ<0；
3. 当Δ>0时，讨论两根𝑥 ,𝑥 的大小关系。
1 2
自主检测（2026·西藏林芝·二模）（多选题）已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(−1,2)，则下
列说法正确的是（ ）A．
集
合
与
常
用 第
逻 5
讲
辑
一
用 元
语 二
次
方
与
不
等
式
4
a  0 B． a + b + c  0
C．不等式 a x + b  0 的解集为(−,1) D．不等式ax2+(c−1)x+20的解集为
 1
a
, 2

题型突破
题型1 一元二次不等式的基础解法
  例1-1已知集合A= x x2−x−120 ， B =  x  Z x  3  ，则 A B = （ ）
A． { − 2 , − 1 , 0 } B．{0,1,2}
C．{−2,−1,0,1,2} D． { − 3 , − 2 , − 1 , 0 ,1 , 2 }
例1-2设集合 A = { x x 2 − 2 x − 3  0 } ， B = { x lo g
2
x  1 } ，则 A B = ( )
A． ( − 1 , 2 ) B． ( − 1 , 3 )
C． ( 2 , 3 ) D． ( − 1 , +  )
方法技巧 不等式性质的快速判断
1. 严格按照 “化正→求根→画图→写解集” 四步求解；
2. 对于Δ≤0的情况，直接根据二次函数图象写出解集；
3. 注意不等式中的等号是否成立。
易错分析 忽略前提条件
1. 未将二次项系数化为正数，导致解集方向错误；
2. 求根时计算错误；
3. 忽略等号条件，导致解集漏写端点。
【变式训练1-1】已知集合 A = { x  R | x 2 − x − 2  0 } ，B=−1,0,1，则 A B = （ ）
A．  − 1 , 0 ,1  B．  0 ,1  C．  − 1 , 0  D．{0}
【变式训练1-2】（2026·北京·三模）设全集U =R，集合 A =  x x 2 − 2 x − 3  0  ，B=x x−20 ，则
A (
U
B ) =（ ）
A．  x − 1  x  2  B．  x − 1  x  2 
C．
x 2x3
D．
x x−1【变式训练1-3】（2026·福建漳州·三模）已知
集
合
与
常
第
5 用
讲 逻
一 辑
元
用
二
次 语
方
程
与
不
等
式
5
崇文翰墨
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f ( x ) =
−
2
x 2
x + 1
+
+
b
a
是定义域为 R 的奇函数，则不等式
f ( x 2 ) + f ( x − a )  0 的解集是（ ）
A． ( −  , − 2 ) ( 1 , +  ) B．(−,−1) (2,+)
C． ( − 2 ,1 ) D． ( − 1 , 2 )
【变式训练1-4·变载体】（多选题）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知点 A ( 2 , 0 ) ，点 B 为圆
C:(x+a)2+(y−a)2 =1 上的动点，则（ ）
A． A B  2 − 1
B．存在点 B 使 C A B
4

 
1
C．A，B，C 构成的三角形面积最大值为
2
D．若 A B  1 恒成立，则 a 的取值范围为 ( , 2   0 , )   − −  +
题型2 三个二次的综合应用
例2-1已知关于 x 的不等式 a x 2 + b x + c  0 ( a ， b ， c  R ) 的解集为 ( − 4 ,1 ) ，则
c
a
2 +
+
9
b
的取值范围为（ ）
A．−6,+) B． ( , 6 )  − C． ( 6 , )  − + D．(−,−6
例2-2（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为
x −3x4
，则下列说法正确的有（ ）．
A． a  0 B．不等式 c x 2 − b x + a  0
 1 1
的解集为x − x 
 4 3
C． a + b + c  0 D． 9 a − 3 b + c  0
方法技巧
1. 已知一元二次不等式的解集，可转化为对应二次方程的根，利用韦达定理求参数；
2. 注意二次项系数的符号与解集形式的对应关系；
3. 二次函数的零点、方程的根、不等式的解集三者可以相互转化。
易错分析
1. 忽略二次项系数的符号，导致参数求解错误；
2. 韦达定理公式记错；
3. 转化时混淆不等式的方向。【变式训练2-1·变载体】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
集
合
与
常
用 第
逻 5
讲
辑
一
用
元
语 二
次
方
与
不
等
式
6
f ( x ) = x 2 + b x + c , f ( x )  0 的解集为
{ x | 0  x  1 } ．在数列  a
n
 中有 a
1
= 1 ，当 n  2 时，记 a
n
=
1
2
f ( n )
(1)求数列  a
n
 的通项公式．
(2)设数列  b
n
 满足 b
n
=
1
a
n
，数列  b
n
 的前n项和为 T
n
，求证： 1  T
n
 3 ．
【变式训练2-2·】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数 f ( x ) = a x 2 + b x − 2 ，且 f ( x )  0 的解集为
(−2,2)．
(1)求函数 f (x)的解析式；
(2)若函数 h ( x ) = f ( c o s x ) − s in 2 x ，求h(x)在区间

0 ,
π
3

上的值域．
【变式训练2-3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于 x 的不等式 a x 2 − 3 x + b  0 的解集为  x 1  x  2  .
(1)求a，b的值并求解不等式 a x 2 + b x − 3  0 的解集；
(2)当x0， y  0 且满足
a
x
+
b
y
= 1 时，有2x+yk2+4恒成立，求k的取值范围.
题型3 分式与高次不等式的解法
例3-1已知集合 A =

x |
x
x
−
−
2
1
 0

， B =  x | lo g
2
x  1  ，则A B=（ ）
A． ( 0 ,1 ) B．(0,2) C． ( 1 , 2 ) D．(2,+)
例3-2（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合A=  x(x−1)2 0  ，B=  x x4 1,xZ  ，则A B=（ ）A．
集
合
与
常
第
5 用
讲 逻
一 辑
元
用
二
次 语
方
程
与
不
等
式
7
崇文翰墨
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 − 1 ,1  B． ( − 1 ,1 ) C．  − 1 , 0  D．−1,0,1
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
1. 分式不等式必须移项通分，不能直接乘分母；
2. 穿根法严格遵循 “奇穿偶回” 原则；
3. 注意分母不为 0 和偶次根的特殊情况。
易错分析 范围扩大问题
1. 分式不等式直接乘分母，忽略分母符号和不为 0 的条件；
2. 穿根时忘记 “奇穿偶回”，导致解集错误；
3. 高次不等式未将最高次项系数化为正数。
(2−x)2
【变式训练3-1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式 1的解集是（ ）
x
A． ( −  ,1    4 , +  ) B． 1 , 4  C． 1 , 2 ) ( 2 , 4 
D．(0,1 4,+)
【变式训练3-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式 x 
1
x
 x 2 的解集为__________．
【变式训练3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数 f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 1 1 x − 6 ．
(1)求 f ( x ) 极值点的个数，并解不等式 f ( x )  0 ；
(2)求证：若x +x =4，则
1 2
f ( x
1
) + f ( x
2
) = 0
题型4 绝对值与指数对数不等式的解法
例4-1设集合 A =  x 2 x − 1  1  ， B =  x lo g
2
x + 1  0  ，则 A B = （ ）
A．   1 ,1   B．(0,1) C．   1 ,2   D．(0,2)
2  2 
例4-2（2026·天津滨海新区·三模）已知p： lo g
2
( x + 1 )  1 ，q：
1
x
 1 ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件方法技巧
1. 绝对值不等式根据类型选择合适的等价转化方法；
2. 指数对数不等式先化为同底数，再利用单调性转化；
3. 对数不等式必须保证真数大于 0。
集
合 易错分析
与
1. 绝对值不等式漏写等价条件；
常
用 第 2. 指数对数不等式忽略底数范围对单调性的影响；
逻 5 3. 对数不等式忘记考虑真数的定义域。
讲
辑
一
用
元
语 二 次 【变式训练4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）设集合
方
与
不
等
式
8
A =  x lo g
2
x  4  ， B =  x | x
x
−
+
4
1
 0  ，则 A  B 中
整数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
【变式训练4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合 A =

x
 1
2
 x
 1

，集合 B =

x
x
x
−
+
2
1
 0

，则
A B = （ ）
A．  ∣x − 1  x  2  B． { ∣x 0  x  2 }
C．  ∣x 0  x  2  D． { ∣x − 1  x  0 }
【变式训练4-3·变考法】（2026·湖南湘西·三模）已知函数 f (x)的定义域为 R ,
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) − 1 ，且当 x  0 时， f (x)1，若𝑓( 𝛽)< 𝑓( 𝛼)<𝑓(0)，则下列说法正确的是
ln ln
（ ）
1 1 1 1
A． +  +
e  e 
B． s in s in    + 
C．不等式 f
x 2
x
2
5
x 3
f ( 1 )
−
−

−

 的解集中所有区间的长度之和为3（区间的长度 = 区间右端点 − 区间
左端点）
D．若关于 x 的不等式 f ( x−2) f (ax−2)(a0)有且仅有一个整数解，则 1  a  3
题型5 含参一元二次不等式的解法
例5-1（2026·青海西宁·二模）已知集合M =  x|x2−ax0  ,N =x|log (x+1)1 ，若M N，则实数
2
a的取值范围是（ ）A．
集
合
与
常
第
5 用
讲 逻
一 辑
元
用
二
次 语
方
程
与
不
等
式
9
崇文翰墨
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( −  ,1  B．  − 1 , 0  C．  0 ,1  D．  − 1 ,1 
例5-2（2026·陕西·二模）已知集合 A =  x ( x − a ) ( x + 1 )  0  ( a  0 ) , B =  x  N x t = 2 , t  N *  ，若 B  A ，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A．6,+) B．(6,+) C．  2 , +  ) D． ( 3 , +  )
方法技巧
1. 按照 “二次项系数→判别式→根的大小” 的顺序进行分类讨论；
2. 分类时做到不重不漏；
3. 最后将各种情况的结果综合起来。
易错分析
1. 忽略二次项系数为 0 的情况；
2. 分类讨论不全面；
3. 比较根的大小时出错。
【变式训练5-1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合
A =  ∣x ( x − a ) ( x + 1 )  0  ( a  0 ) , B =  x  N ∣ tx = 6 , t  N *  ，若 B  A ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． [ 6 , +  ) B． ( 6 , +  ) C． [ 3 , +  ) D． ( 3 , +  )
【变式训练5-2】（2026·上海普陀·二模）设 a  R ，集合M =−1,−2,−a， N =  x | x 2 − a x  0  ，若集合
A  ( M N ) ，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
【变式训练5-3】（2026·山西吕梁·二模）设 a  R ，函数 f ( x ) = 2 a x 2 − x − x − 2 + 1 .若 f ( x ) 恰有一个零
点，则a的取值范围是_______.
【变式训练5-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知 m  0
2x+1
，使得不等式 1成立的一个充分不必要
x−m
条件是 − 2  x  4 ，则m的取值范围是__________.
题型6 含参不等式恒成立 / 能成立问题
例6-1（2026·吉林·三模）若2lg(ax)lg(x−1)对任意的 x  ( 1 , +  ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．

0 ,
1
2

B．
 1
2
, + 
  1
C．0,  D．
 4
 1
4
, + 

例6-2（2026·江西九江·模拟预测）（多选题）已知不等式 x − 2 + x + 1  a 2 − 2 a 对任意实数x恒成立，
则实数 a 的可能取值为（ ）
A．−3 B．1 C．3 D．5方法技巧 优先使用分离参数法
1. 恒成立问题优先使用分离参数法，转化为求函数的最值；
2. 恒成立：𝑓(𝑥)>𝑎恒成立⇔𝑓(𝑥) >𝑎；𝑓(𝑥)<𝑎恒成立⇔𝑓(𝑥) <𝑎；
𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑥
3. 能成立：𝑓(𝑥)>𝑎能成立⇔𝑓(𝑥) >𝑎；𝑓(𝑥)<𝑎能成立⇔𝑓(𝑥) <𝑎；
集 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛
4. 若无法分离参数，可结合二次函数图象分析。
合
与
易错分析
常
用 第 1、混淆恒成立与能成立问题的最值要求；
逻 5 2、求函数最值时忽略定义域；
讲
辑
一 3、分离参数时除以负数未改变不等号方向。
用
元
语 二 【变式训练6-1】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数
次
方
与
不
等
式
10
f ( x ) = x 2 − a x ，当 a  1 , 2  时，对于
 x  1 , +  ) ， f ( x )  − k x 2 + 4 x + 2 k 恒成立，则k取值范围为____________________．
【变式训练6-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数 f (x)=x2+(2a−1)2，g(x)= x+2a−1，不等式
f ( x ) − g ( x )  4 对任意的 x  R 恒成立，则实数 a 的取值范围为_____________．
【变式训练6-3】（2026·上海宝山·三模）已知 x , k 是实数，不等式 ( 1 + k 2 ) x  k 4 + 5 ．
(1)若 x = 3 ，求上述关于 k 的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数 k 恒成立，求实数 x 的取值范围．
真题训练
一、单选题
1．（2015·安徽·高考真题）函数 f (x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a0， b  0 ，c0，d 0 B．a0， b  0 ，c0， d  0
C．a<0，b0，c0， d  0 D． a  0 ，b0，c0， d  0
x−4
2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式 2的解集是（ ）
x−1
A．{x∣−2x1} B．{x∣x−2}C．
集
合
与
常 第
5 用
讲 逻
一 辑
元
用
二
次 语
方
程
与
不
等
式
11
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
{ ∣x − 2  x  1 } D．{x∣x1}
二、填空题
3．（2025·上海·高考真题）不等式
x
x
−
−
1
3
 0 的解集为_________．
4．（2024·上海·高考真题）已知 f ( x ) = x 2 , g ( x ) =
 f
−
(
f
x
(
) ,
−
x
x

) ,
0
x  0
，求 g ( x )  2 − x 的 x 的取值范围_______.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）设 a  ( 0 ,1 ) ，若函数 f ( x ) = a x + ( 1 + a ) x 在 ( 0 , )  + 上单调递增，则a的取
值范围是______.