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第 3 节 基本不等式及其应用
考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大
(小)值问题.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2(简记：积定和
最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是(简记：和定积最
大).
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就
会出错.
5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，
则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
2.(易错题)已知x＞2，则x＋的最小值是( )
A.1 B.2 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立.
3.若x<0，则x＋( )
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
答案 D
解析 因为x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成
立，
所以x＋≤－2.
4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )
A.9 B.18 C.36 D.81
答案 A
解析 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形
的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
答案 15
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当
且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2×2＝，当且仅当
2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法求最值
例1 (1)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为________.
(2)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x＜，则y＝x的最大值为________.
答案 (1) (2)5 (3)
解析 (1)x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号.
(2)∵x＞，∴4x－5＞0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号.
(3)∵0＜x＜，
∴y＝x＝＝
≤·＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，
则y＝x的最大值为.
角度2 常数代换法求最值
例 2 (2022·江西九校联考)若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则＋的最小值为
________.
答案 5
解析 因为a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋3，
因为a＞0，b＞0，所以＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立，
即＋的最小值为5.
角度3 消元法求最值
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
答案 6解析 法一(换元消元法)
由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x>0，y>0，
所以x＋3y≥2，
所以3xy≤，
所以×≥9－(x＋3y)，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
则x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6(当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号)，
故x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y
＝＝
＝3(1＋y)＋－6
≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
感悟提升 利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条
件——正数；②验证等号成立.
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，
但要注意利用基本不等式求最值的条件.
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用
“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.
训练1 (1)已知函数f(x)＝(x＜－1)，则( )
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4
(2)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________.
答案 (1)A (2)6
解析 (1)f(x)＝＝－
＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2.
因为x＜－1，所以x＋1＜0，－(x＋1)＞0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，
即x＝－2时，等号成立.
故f(x)有最小值4.
(2)∵a＞0，b＞0，∴ab≤，
即a＋b＋3≤，
整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≤－2(舍)或a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).
故a＋b的最小值为6.
考点二 基本不等式的综合应用
例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的
最大值是( )
A. B. C. D.1
(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数 x，y恒成立，则正实数 a的最小值为(
)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 (1)A (2)B
解析 (1)圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r＝1，由直线ax＋2by－1＝0和x2＋
y2＝1相切，得＝1，则a2＋4b2＝1，又由1＝a2＋4b2≥4ab，可得ab≤，当且仅
当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立，故ab的最大值是.
(2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)的最小值大于
或等于9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋
≥a＋2＋1＝(＋1)2，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴(＋1)2≥9，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4.
感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等
式的条件，然后利用常数代换法求最值.
2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.
训练2 (1)若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：
cos A＝＝
＝＝－
≥－＝.
当且仅当b＝c时等号成立.
综上可得，cos A的最小值是.
(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥＝，x∈(0，＋∞)，故x＋≥2，当且仅当x＝1时等号
成立，故y＝≤，故a≥.
考点三 基本不等式的实际应用
例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花
圃，如图，计划以相距 6 米的 M，N 两点为AMBN 一组相对的顶点，当
AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为( )
A.6 B.12 C.18 D.24
答案 D
解析 设AM＝x，AN＝y，
则由已知可得x＋y＝10，
在△MAN中，MN＝6，
由余弦定理可得，
cos A＝＝－1
＝－1≥－1＝－1＝，
当且仅当x＝y＝5时等号成立，
此时(cos A) ＝，
min
所以(sin A) ＝＝，
max
所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×＝24，此时四边形AMBN是边长为
5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)
内求解.
训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一
年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝
________吨.
答案 20
解析 该公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费
为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用为之和
为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费
用之和最小.
1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A.a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.a2＋b2>2ab
答案 C
解析 因为和同号，所以＝＋≥2.
2.若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( )
A.4 B.4 C.2 D.2
答案 A
解析 因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，
即x＝，y＝时等号成立.
3.若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 C
解析 依题意ab＝a＋b，∴a＋b＝ab≤，即a＋b≤，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为4.
4.已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )A. B. C.－1 D.0
答案 D
解析 因为x∈，所以f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等
号.
又1∈，所以f(x)在上的最小值为0.
5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800元，若每批生产x
件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件
产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
答案 B
解析 设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，
总的费用是元，由基本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号.
6.对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.
答案 B
解析 ∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，当且仅当＝即m＝n时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2.
7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a }，a ，3a ，a 成等
n 6 5 7
差数列，若{a }中存在两项a ，a ，使得4a 为其等比中项，则＋的最小值为(
n m n 1
)
A.4 B.9 C. D.
答案 D
解析 设各项均为正数的等比数列{a }的公比为q，q＞0，
n
由a ，3a ，a 成等差数列，可得6a ＝a ＋a ，即6a q4＝a q5＋a q6，
6 5 7 5 6 7 1 1 1
解得q＝2(q＝－3舍去)，
由{a }中存在两项a ，a ，使得4a 为其等比中项，
n m n 1
可得16a＝a a ＝a·2m＋n－2，
m n
化简可得m＋n＝6，m，n∈N*，
则＋＝(m＋n)
＝≥＝.当且仅当n＝2m＝4时，上式取得等号.
8.已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝，
∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)
＝2
≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，
∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每
月最少要处理300吨垃圾，最多要处理 600吨垃圾，月处理成本 y(单位：元)与
月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为 y＝x2－300x＋80 000，为使
每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.
答案 400
解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为＝＝＋－ 300，其中
300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，所以当且仅当＝，即 x＝
400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低.
10.(2022·兰州诊断)设a，b，c均为正实数，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.
答案 9
解析 ∵a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
11.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.
答案
解析 由题意知 y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得 x2＝，所以 x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2
＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号.所以x2＋y2的最小值为.
12.(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________.
答案 4
解析 因为a＞0，b＞0，ab＝1，
所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.
故＋＋的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x>0，y>0，x＋2y＝3，则的最小值为( )
A.3－2 B.2＋1
C.－1 D.＋1
答案 B
解析 x>0，y>0，x＋2y＝3，
则＝
＝＋＋1≥2＋1＝2＋1.
当且仅当x＝y时，上式取得等号，
则的最小值为2＋1.
14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成
为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理
都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半
圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完
成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B.a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案 D
解析 由图形可知OF＝AB＝(a＋b)，OC＝＝，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得
CF＝＝，
∵CF≥OF，∴≥(a＋b)(a>0，b>0).故选D.
15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋
≥2＝4，当且仅当即时取得等号.
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范
围是________.
答案
解析 对任意x∈N*，f(x)≥3，
即 ≥3恒成立，
即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，
则g(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时等号成立，
又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x) ＝.
min
∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
