第08讲函数模型及其应用（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 08 讲 函数模型及其应用
函
知识精讲
数
与
基
本
第
初
8
讲 等
知识点1 三种函数模型的性质
函
函
数 数
1.三种函数模型的增长差异 模
型
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝kx(k>0) 及
a
其
应
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
用
随x增大逐渐近 随x增大逐渐近似与x轴
图象的变化趋势 保持固定增长速度
似与y轴平行 平行
y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的
增长速度
增长速度，y＝log x(a>1)的增长速度越来越慢
a
增长结果 存在一个x ，当x>x 时，有ax>kx>log x
0 0 a
自主检测图（1）（2）（3）分别是函数
1
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
y = 3 x 和y=5x在不同范围内的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．由图（1）可知函数 y = 5 x 的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数y=3x的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数y=3x的图象比 y = 5 x 的图象增长得慢
D．以上均错误
知识点2 常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b为常数且k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
自主检测为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树
函 7
高为 米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之
数 3
与
基 间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①
本
第
初 8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
2
y = 2 t − a ；② y = a + lo g
2
t ；③
1
y= t+a；④y= t +a中（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最
2
好的是 （填写序号），估计该树生长8年后的树高为 米．
知识点3 解函数模型的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化
为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示：
题型突破
题型1 二次函数模型应用
例1-2某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷
出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下
图）．
过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛
物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标
系．则池中心O与汇合点 H 之间的距离 O H = m．
例1-2劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/
件，且满足
函
数
与
基
本
第
初
8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
3
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
s = 8 2 0 − 2 x ，每天的成本合计为 6 0 0 + 2 0 x 元，请你帮他计算日产量为___________件时，获
得的日利润最大，最大利润为___________万元.
【变式训练1-1·变考法】小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6
元．若日均销量Q（束）与销售单价x（元）的关系为 Q = 1 0 0 − 5 x ( x  6 ) ，则当该店每天获利最大时，
每束花应定价为（ ）
A．15元 B．13元 C．11元 D．10元
【变式训练1-2·变考法】（多选）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产 1 0 0 台时又需可
变成本 0 .2 5 万元，市场对此商品的年需求量为 5 0 0 台，销售收入函数为 R ( x ) = 5 x −
1
2
x 2 (万元) 0  x  5 ，
其中x是产品的年产量 ( 单位：百台 ) ，则下列说法正确的是（ ）
A．利润 y 表示为年产量 x 的函数为 y = − 0 .5 x 2 + 4 .7 5 x − 0 .5 ( 0  x  5 )
B．当年产量为 4 7 5 台时企业所得的利润最大，为
3 4 5
3 2
万元
C．当年产量 0 .1 1  x  4 8 (单位：百台)时，企业不亏本
D．企业不亏本的最大年产量为 5 0 0 台
【变式训练1-3·变考法】（25-26高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域 O A C B ，该场地由线
段 O A 、 O B 、 A C 及曲线段 B C 围成.经测量，  A O B = 9 0  ， O A = O B = 1 0 0 米，曲线 B C 是以 O B 为对称
轴的抛物线的一部分，点 C 到 O A 、 O B 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场 O E D F ，其
中点 D 在曲线段 B C 上，点 E ， F 分别在线段OA， O B 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设 D F = x
米，游乐场的面积为 S 平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段 B C 的方程；
(2)求面积S关于x的函数解析式 S = f ( x ) ，并计算面积S的最大值（结果精确到 0 .0 1 ）.题型2 分式型函数模型应用
例2-1用32
函
数
与
基
本 第
初
8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
4
m 2 的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的宽规定为2m, 那么这个盒子的最大容
积可以是（ ）
A．36 B．18 C．16 D．14
例2-2某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的
楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为 s = 3 0 0 0 + 5 0 x （单
位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+
购地总费用
平均购地费用，平均购地费用= ）
建筑总面积
【变式训练2-1·变考法】某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产
品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产 x 万件，需可变成本p(x)万元，当产量
不足50万件时， p ( x ) =
1
1
2 0
x 3 + 6 0 x ；当产量不小于50万件时， p ( x ) = 1 0 1 x +
6 4 0
x
0
− 1 3 6 0 .每件A产品
的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为
万元.
【变式训练2-2·变考法】为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的
底面是正方形，且水池最大储水量为6m3．已知水池底面的造价为600元 /m 2 ，侧面的造价为400元 /m 2 ．（注：
衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价 S （单位：元）表示为水池底面边长 x （单位：m）的函数；
(2)若x1,t（ t  1 的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
题型3 分段函数模型应用
例3-1【新思维】（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研
数学试题）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量
的关系如下表所示．分档 户年用水量
函
数
与
基
本
第
初
8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
5
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
/ m 3 综合用水单价 / ( 元m−3)
第一阶梯 0~240(含) 3.0
第二阶梯 240~330(含) 4.5
第三阶梯 330以上 5.5
假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（ ）
A．190 m 3 B．217 m 3 C．270 m 3 D．285 m 3
例3-2【新载体】某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率 f ( t ) （单
位： m g /g ）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为 f ( t ) =
 2
1
0
7
(
+
1 −
5 
2 kt .5
kt
2 , 2
)
t
, 0


3
t  3
．若 t = 1 时降解效率
为12mg/g，则 t = 4 时降解效率为_______mg/g．
【变式训练3-1·变考法】我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实
现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持
下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：
万元）与处理量x（单位：吨）(x[120,500])之间的函数关系可近似表示为
y =
 1
31
2
x
x
3
2
−
−
8
2
0
0
x
0
2
x
+
+
5
8
0
0
4
0
0
0
x
0
,
,
x
x


1
1
2
4
0
4
,1
, 5
4
0
4
0
)

，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
【变式训练3-2·变题型】2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与
产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，
模型的综合性能评分 P ( t ) （满分100分）和有效训练时长 t （单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.
通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： P ( t ) =

−
− 0
k
t
.4
−
t
1
2 +
.8 t
8
+
t
1
+
7
c
0
, 0
,1 0


t 
t 
1 0
6 0
.已知初始综合
性能评分P(0)=40，且函数图象是连续不断的.
(1)求常数c和k的值；(2)已知大模型的标准化训练效率定义为
函
数
与
基
本
第
初
8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
6
E ( t ) =
P ( t )
t
− 5 0
， t  0 ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准
化训练效率最高？
【变式训练3-3·变题型】（25-26高二下·山东枣庄·阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔
订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动
成本 f ( x ) 千元，当生产量小于20吨时， f ( x ) = − x 2 + 4 9 x − 2 0 5 ，当生产量不小于20吨时，
f ( x ) = − 3 0 ln x + 2 4 x + 5 ．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为
25千元．已知生产的物资能全部售出．
(1)写出总利润g(x)（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入 − 流动成本 − 固定成
本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据： ln 2 0  3 .0 ）
题型4 指数函数模型应用
例4-1【新情境】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质
3 H 含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知
3 H 的质量M(kg)随时间t（年）的指数衰减规律是：M =M 2−0.08t（其中M 为
0 0
3 H 的初始质量）．则
当 3 H
9
的质量衰减为最初的 时，所经过的时间约为（参考数据：
16
lg 2  0 .3 0 ，lg30.48）（ ）
A．20年 B．15年 C． 1 2 年 D．10年
例4-2【新思维】（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲
通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023
年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年
实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（ ）
A．6a B．8a C．9a D．12a
函
数
与
【变式训练4-1】（2026·河南·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为 基
本
第
初 8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
7
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
0 .9 % ，经过 t 分钟
净化后，废气中二氧化硫的浓度为 y % ，并满足 y 0 .0 5 e
t5
0  = + − .根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度
降至0.1%时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：
ln152.708，ln172.833，ln192.944）（ ）
A．136分钟 B．140分钟
C．142分钟 D．150分钟
【变式训练4-2】某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品
的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1
月为第1个月，第 n ( n  N
+
) 个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则n的最小值是
（ ）（参考数据： lg 2  0 .3 0 1 ， lg 3  0 .4 7 7 ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练4-3】（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数
量变化，使用公式： P
n
= P
0
(1 + k ) n ( k  − 1 ) 来研究种群数量的变化趋势，其中 P
n
为最终预测数量， P
0
为初
始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（ ）
A．当k(−1,0)，则这期间种群数呈下降趋势
B．当 k  ( 0 ,1 ) ，则这期间种群数呈下降趋势
C．若初始数量 P
0
= 1 0 0 0 ，年增长率为k=0.03，则2年后预测种群数量约为1061
D．若初始数量 P
0
= 3 0 0 0 ，年增长率为 k = − 0 .0 2 ，则2年后预测种群数量约为2991
【变式训练4-4】（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一
处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t
t
（单位：年）的衰变规律满足N =N    1  5730（
0 2
N 0 表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布
2
币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的 至
2
3
4
，据此推测青铜布币生产的时期距今约
（ ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：log 31.6）
2
A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年【变式训练4-5·变模型】现有两个函数模型如下，模型一：如果C 是碳14的初始质量，那么经过
0
函
数
与
基
本
第
初 8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
8
t 年
后，碳14的质量为 C ( t ) = C
0
 1
2
 5
t7
3 0 ；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型 y = y
0
e rt ，其中 t 表示
经过的时间， y
0
表示t=0时的人口数， r 是常数（ e 是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半
B．碳14的年衰减率与初始质量有关
C．设nN*，碳14的第n年，第 n + 1 年，第 n + 2 年的衰减量分别为 
1
， 
2
， 
3
，则


2
1
=


3
2
D．以上两个模型都可以归结为模型“ y = e kx + b ”（其中x为自变量， k ， b 为常数， e 是自然对数的
底）
题型5 对数函数模型应用
例5-1（2026·湖南长沙·阶段检测）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般
地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有 L = 1 0 lg
1 0
I
− 1 2
．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的
噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪
音强度的等级约为（ ）
（参考数据： lg 2  0 .3 0 1 ）
A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB
 S 
例 5-2 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog 1+ ，其中 C 为最大数据传输速
2  N
率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为 H z ；
S
N
为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作
S
用.当 =99，W =2000Hz时，最大数据传输速率记为
N
C
1
；当
S
N
= 9 9 9 9 ， W = 3 0 0 0 H z 时，最大数据传输速率
记为 C
2
，则
C
C
2
1
为（ ）
A．
1
3
B．
5
2
15
C． D．3
4
【变式训练5-1·变考法】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游
速 v （单位： m / s
1 O
）可以表示为v= log ，其中
2 3100
O 表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都
做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值
为（ ）A．3 B．9 C．27 D．81
【变式训练5-2·变考法】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单
位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，
函
数 单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度
与
基
本
第
初
8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
9
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
S 的关系式为 lg S = 0 .0 3 0 1  ( L N − 4 0 ) ，则（ ）
（参考数据： lg 2  0 .3 0 1 ）
A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋
C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方
【变式训练5-3·变考法】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振
A
幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M =lg max （其中常数
A
0
A
0
是距震中100公里
处接收到的0级地震的地震波的最大振幅， A
m ax
是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的
地震波的最大振幅）.地震的能量E（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已
知 E = 1 0 4 .8  1 0 1 .5 M ，其中M 为地震震级.下列说法正确的是（ ）
A．若地震震级 M 增加1级，则最大振幅A 增加到原来的10倍
max
B．若地震震级M 增加2级，则放出的能量 E 增加到原来的20倍
C．若最大振幅 A
m ax
增加到原来的10倍，则放出的能量 E 增加到原来的 1 0 1 0 倍
D．若最大振幅 A
m ax
增加到原来的100倍，则放出的能量 E 也增加到原来的100倍
【变式训练5-4·变考法】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的
准确率提升倍数 A 与训练数据量 x （单位： G B ）的关系式为
A = k 1 .5
ln x2 ，其中k为常数.当训练数据量
为 e 4 G B 时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数 A 达到135时，模型在识别复杂图象时能
达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：
ln 2  0 .7 , ln 3  1 .1 , ln 1 0  2 .3 ）
A．104,8GB B．105.1GB C．105.4GB D．105.7GB
方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指
数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问
题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的
图象求解最值问题，必要时可借助导数．题型6 幂函数模型应用
例6-1异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比
如，某类动物的新陈代谢率
函
数
与
基
本
第
初
8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
10
y 与其体重 x 满足 y k x  = ，其中 k 和为正常数，该类动物某一个体在生长
发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为
（ ）
A．
1
4
B．
1
2
C．
2
3
3
D．
4
例6-2在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 v （单位： c m 3 / s ）与管道
半径 r （单位： c m ）的四次方成正比．若气体在半径为 5 c m 的管道中，流量为 2 5 0 0 c m 3 / s ，气体在半
径为xcm的管道中，流量大于 3 0 0 0 c m 3 / s 且小于 4 0 0 0 c m 3 / s ，则 x 的取值范围是（ ）
A．
(
4 5 0 0 , 4 7 5 0
)
B．
(
4 5 0 0 , 4 1 0 0 0
)
C．
(
4 7 0 0 , 4 9 0 0
) ( )
D． 4750,41000
【变式训练6-1】某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的
1 6 .6 m 2 增长到2023年的 1 6 .9 m 2 .设 2 0 2 0  2 0 2 3 年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为 r .则
（ ）
A． 1 6 .6 r 3 = 1 6 .9 B． 1 6 .6 r 3 = 0 .3
C． 1 6 .6 ( 1 + r ) 3 = 1 6 .9 D．16.6(1+r)3 =0.3
【变式训练6-2】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）
存在的关系为 y x  = （α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利
润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（ ）
A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元
题型7 函数模型的选择
例7-1【新思维】某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯
利润y（单位：万元）随销售收入 x （单位：万元）的变化情况如下表所示：
x (万元) 2 3 5
y(万元) 1 5 9
4 4 4
(1)根据表中数据，分别用模型y=log (x+m)+b（a0且a1）与y=c x+n+d建立y关于x的函数
a解析式；
(2)已知当
函
数
与
基
本
第
初
8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
11
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
x = 9 时，y=3.3，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：
5 7  7 .5 5 ）
【变式训练7-1·变考法】为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，
生长4年的树高为
7
3
米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关
系．请你据此判断，在下列函数模型：① y = 2 t − a ；② y = a + lo g
2
t ；③ y =
1
2
t + a ；④ y = t + a 中（其
中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8年后的
树高为_______米．
【变式训练7-2·变考法】（25-26高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经
实验表明，用 1 0 0  C 的水泡制，待茶水温度降至 6 0  C 时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动
探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔
1min测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 ( 分钟) 0 1 2 3 4 5
水温 ( 摄氏度 ) 100 91 82.9 78.4 72.5 67.3
设茶水温度从 1 0 0  C 经过x分钟后温度变为 y C ，现给出以下三种函数模型：①y=cx+b(c0,x0)；
② y = c  a x + b ， ( c  0 , 0  a  1 , x  0 ) ；③y=log (x+c)，
a
( a  1 , c  0 , x  0 ) .
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到 0 .0 1 ) ，（参考数
据：lg20.301，lg30.4771）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.题型8 构造函数模型解决实际问题
例8-1【新情境】（2026·浙江绍兴·模拟预测）
函
数
与
基
本
第
初
8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其 应
用
12
2 0 2 6 年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行
驶时，剩余续航里程y(km)与行驶总时间x(h)满足函数关系y=600e−0.12x．该车先匀速行驶 2 h ，之后进
入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按 y = y
0
e − 0 .3 t 衰减（y 为匀速2h后的剩余续航，t为拥堵行
0
驶时间）．当剩余续航降至 1 5 0 k m 时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（ ）（参考数据：
ln 2  0 .6 9 3 ）
A． 5 .6 h B． 5 .8 h C． 6 .0 h D． 6 .2 h
例8-2【新思维】某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面 A B C D 中设计两个相同形状的矩
形栏目，每个栏目的面积为 1 5 0 c m 2 ，在其上下各留 3 c m 的空白，左右各留2cm的空白，而两个矩形栏目
中间留 1 c m 的空白. 如图所示，设 E F 的长为x(cm)，整个矩形版面ABCD的面积为 y ( c m 2 ) .
(1)试用 x 的代数式表示 y ；
(2)当x为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到 0 .1 c m ）
【变式训练8-1·变考法】某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药 t ( 0  t  1 2 ) 小时后每毫升血液中
的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量
不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
【变式训练8-2·变考法】新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150
米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为
函
数
与
基
本
第
初
8
讲 等
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
13
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
y A s in ( t ) b   = + + ，  π , π )   − ．而点 P 的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度 y （米）关于
时间 t （分钟）的函数解析式________．
【变式训练8-3·变题型】已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车
速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶
1 3
速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y= x3− x+8(0x120).
128000 80
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？真题训练
函 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
数
与
基
本
第
初
8
等 讲
函
函
数 数
模
型
及
其
应
用
14
T = k lo g 2 N （单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到
1 .0 2 4  1 0 9 个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从 1 .0 2 4  1 0 9 个单位增加到 4 .0 9 6  1 0 9 个单位
时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强
p
弱，定义声压级L =20lg ，其中常数p (p 0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源
p p 0 0
0
的声压级：
声源 与声源的距离 / m 声压级 / d B
燃油汽车 10 6 0 ~ 9 0
混合动力汽车 10 5 0  6 0
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 1 0 m 处测得实际声压分别为 p
1
, p
2
, p
3
，则（ ）．
A． p
1
 p
2
B． p
2
 1 0 p
3
C． p
3
= 1 0 0 p
0
D．p 100p
1 2