第02讲函数基本性质（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
知识精讲
函
数
知识点1 单调性
第
1．函数单调性的定义
0
2
讲
增函数 减函数
函
一般地，设函数 数
的
性
质
定义
1
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的
值x ，x
1 2
[
当x  x 时，都有
1 2
f ( x
1
)  f ( x
2
) ，那么就说
函数 f ( x ) 在区间 D
当
上是
x
1
 x
2
时，都有 f ( x
1
)  f ( x
2
) ，那么就说
函数 f ( x ) 在区间D上是
图象描
述
自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设 x
1
, x
2
 [ a , b ] ， x
1
 x
2
，
f(x )− f(x )
若有(x −x )[f (x )− f (x )]0或 1 2 0，则
1 2 1 2 x −x
1 2
f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上是 ；
f(x )− f(x )
若有(x −x )[f (x )− f (x )]0或 1 2 0，则
1 2 1 2 x −x
1 2
f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上是 .
2．单调区间的定义
若函数y= f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数y= f (x) 在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间D叫做函数 f (x) 的单调区间．
必记结论
（1）若 f (x),g(x) 均为区间A上的增(减)函数，则 f ( x ) + g ( x ) 也是区间A上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数y= f (u),u =(x)在函数y = f ( (x)) 的定义域上，如果y= f (u)与
u =(x)的单调性相同，那么y = f ( (x)) 单调递增；如果y= f (u)与u =(x)的单调性相反，那么函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
2
y f ( ( x ) )  = 单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ；
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同
一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然 B  A .
自主检测下列函数中，在区间 ( 1 , +  ) 上单调递增的是（ ）
A． y = x − 2 B．y=2−x C． y =
1
1
− x
D． y = − ln x
知识点2 最大（小）值
前提 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足
对于任意的
条件
x  I ，都有 ；
存在 x
0
 I ，使得 f ( x
0
) = M
对于任意的 x  I ，都有 ；
存在 x
0
 I ，使得 f ( x
0
) = M
结论 M 为最大值 M 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值
域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
x
自主检测函数y= 在区间[2,4]上的最大值､最小值分别为（ ）
1+x
A．最大值为
5
4
2
，最小值为 B．最大值为
3
4
5
，最小值为
2
3
C．最大值为1，最小值为
1
3
4
D．最大值为 ，最小值为
5
1
3
知识点3 奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 图 象 关 于 y 轴对称
奇函数 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个x，都有 图 象 关 于 原点对称
必记结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2）
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
3
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) ， g ( x ) 在它们的公共定义域上有下面的结论：
f ( x ) g ( x ) f ( x )  g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( g ( x ) )
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括0，则 f ( 0 ) = 0 ．
（4）若函数 f ( x ) 是偶函数，则 f (−x)= f (x)= f ( x) ．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数 f ( x ) = a x + a − x 为偶函数，函数 f ( x ) = a x − a − x 为奇函数．
②函数 f ( x ) =
a
a
x
x
−
+
a
a
−
−
x
x
=
a
a
2
2
x
x
−
+
1
1
（ a  0 且a1）为奇函数．
③函数 f ( x ) = l o g
a
1
1
−
+
x
x
（ a  0 且 a  1 ）为奇函数．
④函数 f ( x ) = l o g
a
(
x + x 2 + 1
)
（ a  0 且a1）为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x， − x 也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
自主检测（1）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．y=x B． y = − x 3 C． y x 2 D． y = 1 − x
（2）（多选）下列函数是偶函数的有（ ）
A． f (x)= x B． f (x)= x C． f ( x ) = x 2 + x D． f ( x ) = ( x + 1 ) 2
知识点4 周期性
周期函数
对于函数 y = f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有___________，
那么就称函数 y = f ( x ) 为___________，称T为这个函数的周期．
必记结论函数周期性与图象对称性二级结论
“周期为1倍差
周期结论
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
4
( | a − b |) ”： f ( x + a ) = f ( x + b )
“周期为2倍差(2|a−b|)”： f(x+a)=−f(x+b)； f ( x + a ) = 
f ( x
1
+ b )
“周期为4倍差 ( 4 | a − b |) ”： f ( x + a ) =
1
1
+
−
f
f
(
(
x
x
+
+
b
b
)
)
双对称
结论
f ( x ) 的图象关于直线 x = a 与直线 x = b
f(a+x)= f(a−x),
对称 ( )→ 周期
f(b+x)= f(b−x)
T = 2 | b − a |
f ( x ) 的图象关于点 ( a , 0 ) 与点 ( b , 0 )
f(a+x)=−f(a−x),
对称( )→周期
f(b+x)=−f(b−x)
T = 2 | b − a |
f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x = a 与 点 ( b , 0 ) 对 称 (
 f
f
(
(
a
b
+
+
x
x
)
)
=
=
f
−
(
f
a
(
−
b −
x )
x
,
)
) → 周 期
T = 2 | b − a |
自主检测（1）已知函数 f ( x ) 是周期为2的奇函数，且 f ( 2 0 2 .5 ) = 1 ，则 f ( − 0 .5 ) = （ ）
A． − 1 B．0 C．1 D．2
知识点5 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数 y = f ( x ) 的图像关于点 A ( a ， b ) 对称的充要条件是：
f ( x ) + f ( 2 a − x ) = 2 b ，即 f ( a − x ) + f ( a + x ) = 2 b ；
（2）函数 y = f ( x ) 的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是：
f(a+x)= f(a−x)，即 f ( x ) = f ( 2 a − x ) 。
2．不同函数对称性
（1）函数 y = f ( a + x ) 与y= f(b−x)的图像关于直线_____________成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线 y = x 对称。
自主检测（多选）（2026·福建泉州·模拟）定义在R上的奇函数 f ( x ) 满足 f (−3x)= f (2+3x)，则下
列结论一定成立的是（ ）
A． f (2)=1 B． f (2026)=0
C．(2,0)是 f (x)图象的一个对称中心 D． f (3x+1)为偶函数题型突破
题型1 函数的单调性及单调区间 函
数
例1-1下列函数为增函数的是（ ）
第
0 A． 2
讲
函
数
的
性
质
5
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) = x B． f ( x ) = x C． f ( x ) = x 2 D． f ( x ) =
1
x
例1-2下列函数中，既是奇函数又在 ( 0 , +  ) 单调递增的是（ ）
A． y = x 3 B．y=|x|+1 C．y=−x2 +1 D． y = 2 − |x|
例1-3【新思维】（2026·四川内江·模拟）函数 f ( x ) = lo g
0 .2
c o s

2 x +
π
4

的单调减区间是
____________.
例1-4设函数 f ( x ) =
a x 2
x
+ 1
，且 f ( 2 ) =
5
2
.
（1）求 a 的值；
（2）用定义证明 f (x)在1,+)上单调递增.
方法技巧 求函数的单调区间的方法
1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间．
2．复合函数法：
（1）求函数的定义域．
（2）求简单函数的单调区间．
（3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
【变式训练1-1】下列函数中，在定义域内函数值 y 随x的增大而增大的是（ ）
A． y = −
x
2
+ 1
B．y=−2x+1 C． y =
2
x
D． y = 2 x
【变式训练1-2】若函数 f (x)的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A．
−4,−11,4
B．−1,1
C．−2,2
D．
−4,−1,1,4【变式训练1-3】（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
6
( 0 , +  ) 上单调递增的是（ ）
A． y = 3 − x − 3 x B． y = ln
(
x 2 + 1 − x
)
C． y = x 3 + x − 1 D． y =
 x
−
2
x
+
2
2
+
x
2
，
x ，
x 
x
0
 0
【变式训练1-4·变考法】已知函数 f (x)=log (1−x)−log (1+x)．
2 2
（1）判断 f (x)的奇偶性，并证明；
（2）判断 f ( x ) 的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
题型2 复合函数的单调性
例2-1（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数 f ( x ) = 2 − x 2 ，则 f ( x ) 的单调递增区间为（ ）
A． ( −  ,1 ) B． ( −  , 0 ) C． ( 0 , )  + D． ( 1 , +  )
y=log ( −x2+2x+3 )
例2-2函数 1 的单调增区间是（ ）
3
A． ( ,1 )  − B． ( − 1 ,1 ) C． (1 , +  ) D． (1 , 3 )
例2-3若函数 f ( x ) = 2 x 2 + a x − 3 在 ( 1 , +  ) 上单调，则 a 的取值范围是（ ）
A．−2,+) B．−1,+) C．(−,−2 D．(−,−1
例2-4【新角度】已知函数 f ( x ) =
 ( 1 − 3 a ) x
2 a
+
x ,
a + 1 , x
x


2
2
满足对任意的 x
1
 x
2
，都有
f ( x
1
x
)
1
−
−
f
x
2
( x
2
)
 0
成立，则实数 a 的取值范围为____________.
【变式训练2-1·变载体】（2026·山西太原·模拟）若函数 f ( x ) = 2 0 2 ∣5 x − ∣a 在区间2026,+)上单调
递增，则a的取值范围为（ ）
【变式训练2-2·变载体】函数 f ( x ) = lo g
a
( 5 − a x ) ( a  0 , a  1 ) 在(1,3)上是减函数，则 a 的取值范围是
（ ）
A．
 5
3
, + 

B．
 1
5
,1
  5 5
C．1,  D．(1, ]
 3 3
1
【变式训练2-3】函数 f (x)= 的单调递减区间是____________.
−x2+5x−6【变式训练2-4】已知函数
函
数
第
0 2
讲
函
数
的
性
质
7
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
y =
 1
2
 2x − 6 x + 1 7
则函数的单调增区间为____________.
题型3 比较大小
例3-1（2026·浙江金华·阶段检测）已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f ( x ) 在 ( , 0 )  − 上为增函
数，设 a =  1
2
 −
25
， b = 3 23 ， c = ( − 3 ) 25 ，则 f ( a ) ， f ( b ) ， f ( c ) 的大小关系是（ ）
A． f (a) f (b) f (c) B． f (a) f (c) f (b)
C． f ( c )  f ( b )  f ( a ) D． f (c) f (a) f (b)
例3-2【新思维】（2026·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数 f (x)=xex， a = f ( lo g
3
5 ) ，
 1
b=−f log ，
 3 2
c = f ( ln 3 ) ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． c  b  a B． b  c  a C． a  b  c D． c  a  b
例3-3【新思维】（2026·江西·二模）已知函数 f ( x ) = 2 x −
1
2 x
，若a= f (log 0.2)，
2
b = f ( lo g
0 .3
0 .2 ) ，
c = f ( lo g
0 .2
0 .3 ) ，则（ ）
A． c  b  a B． c  a  b C． a  c  b D． a  b  c
例3-4【新考法】（2026·陕西咸阳·二模）已知 a = e 0 .1 ， b = 1 − ln
1
1
0
1
， c = 1 .1 ，则（ ）
A． b  a  c B． a  b  c C． a  c  b D． c  a  b
【变式训练3-1】（2026·福建厦门·二模）设函数 f(x)=ex+e−x，记
a = f  − 1
2
 , b = f  lo g
2
3
2
 , c = f ( 2 0 .1 ) ，则（ ）
A． b  a  c B． b  c  a
C． c  b  a D． c  a  b
4 x−1
【变式训练3-2·变载体】已知 f (x)=  ，则下列不等关系正确的是（ ）
5
A． f ( lo g
2
6 )  f ( lo g
0 .5
1 .2 5 )  f ( 1 ) B． f ( lo g
0 .5
1 .2 5 )  f ( lo g
2
6 )  f ( 1 )
C． f (1) f (log 1.25) f (log 6) D． f (1) f (log 6) f (log 1.25)
0.5 2 2 0.5
2
【变式训练3-3】（2026·湖南湘潭·三模）已知a=ln2,b=e−0.2,c= ，则（ ）
e
A．bac B．bca C．cba D．abc【变式训练3-4·变载体】设
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
8
a =
1
1
0 0
， b = ln 1 .0 1 ， c = e 0 .0 1 − 1 ，则下列关系正确的是（ ）
A． a  b  c B． b  a  c C． c  b  a D． c  a  b
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2026·安徽芜湖·二模）已知 f (x)=x+ex，则不等式 f ( x − 2 )  f ( 1 ) 的解集为（ ）
A． { ∣x x  3 } B．  ∣x x  3  C．  ∣x x  1  D．{x∣x1}
例4-2（2026·贵州贵阳·二模）已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意x,x 0,+),x x ，总有
1 2 1 2
f ( x
1x
)
1
−
−
f
x
(
2
x
2
)
 0 ，则不等式 f ( 2 m − 1 )  f ( m ) 的解集为（ ）
例4-3【新角度】设函数 f ( x ) = ln ( 1 + x 2 ) −
1 + 2
1
0 2 5 x
，则不等式 f (2x) f (x+1)的解集为（ ）
A．

−
1
3
,1

B．

−  , −
1
3
  1
3
, + 

C．

−
1
3
,
1
3

D． ( −  , − 13 )  ( 1 , +  )
方法技巧 利用单调性解不等式注意四点
（1）准确判断函数的单调性．
（2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x )的形式．
0
（3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化．
（4）勿忘定义域对变量的限制．
【变式训练4-1·变载体】已知函数 f(x)=ex−e−x−2x，若 f(3a+1)+ f(2−a)0，则实数 a 的取值范围
是（ ）
1   1
A． ,+ B．−,  C．
4   4

−  , −
3
2

D．

−
3
2
, + 

【变式训练4-2·变载体】已知函数 f ( x ) =
3 x
2
+ 1
− x 3 + 2 ，则不等式 f ( m 2 ) + f ( m − 2 )  6 的解集为
（ ）
A． ( − 1 , 2 ) B． ( −  , − 1 )  ( 2 , +  ) C． ( − 2 , − 1 ) D．(−,−2) (1,+)
3,x0
【变式训练4-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数 f (x)= ，则满足
ex+e−x+1,x0
f (a−3) f (3a−1)的实数a的取值范围是（ ）
A．(3,+) B．(−1,+) C．(−1,3) D．(−,3)
【变式训练4-4·原创题】已知 f (x)是定义在R上的奇函数，当x、x (0,+)且x x 时，都有
1 2 1 2函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
9
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
x
2
f
x
( x
1
x
1 2
)( −
x
1
x
−
1
f
x
( x
)
2
2
)
 0 成立， f ( 2 0 2 7 ) = 2 0 2 7 ，则不等式 f ( x ) − x  0 的解集为（ ）
A．
(−,−2027) (2027,+)
B．
(−2027,0) (2027,+)
C． ( − 2 0 2 7 , 2 0 2 7 )
 1 1 
D． − , 
 2027 2027
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1 函数 f ( x ) = 7 + 2 a x − x 2 在区间  − 1 ,1  上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． a  − 1 B． a  − 1 C． − 3  a  − 1 D．−3a−1
a
例5-2（2026·河北承德·模拟预测）若函数 f(x)= x+ 在
x
( 0 , 2 ] 上单调递减，则实数a的取值范围是
（ ）
A． ( 0 , 2 ] B． ( 0 , 4 ] C． [ 2 , +  ) D． [ 4 , +  )
例5-3【真题改编】已知函数 f ( x ) =
 a
x
x
−
+ 1
1
x
,
,
x
x


2
2
在 R 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．

0 ,
1
2

B．

0 ,
1
2

C．

0 ,
1
4
  1
D．0,

 4
方法技巧 一些重要函数的单调性
1
（1）y = x+ 的单调性：在
x
( −  , − 1  和  1 , +  ) 上单调递增，在 ( − 1 , 0 ) 和 ( 0 , 1 ) 上单调递减；
（2） y = a x +
b
x
（a0，b0）的单调性：在

−  , −
b
a

和
 b
a
, + 

上单调递增，在

−
b
a
, 0

和
 b 
0, 
 
a
 
【变式训练5-1】若函数 y = x −
k
x
+
k
3
在(1,+)上单调递增，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． ( −  , − 1  B．  − 1 , +  ) C． ( −  ,1  D． 1 , +  )
【变式训练5-2】若函数 f ( x ) = a x 2 − x 在区间  − 2 ,2  上是减函数，则实数 a 的取值范围为____________.
 1
a− x−2a+1,x1
【变式训练5-3·变载体】已知函数 f (x)= 2 （a0且a1）在R上单调递减，则
 ax,x1实数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
10
a 的取值范围为____________.
【变式训练5-4】【新情境】（2026高三·全国·专题练习）形如 f ( x ) = x +
t
x
( t  0 ) 的函数，我们称之为
“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数 f ( x ) = x +
a
x
( a  0 ) 在2,4上单调，则a的取值范围为
____________.
题型6 利用函数的单调性求最值（值域）
例6-1下列函数中，单调递增且值域为
．．
 0 , +  ) 的是（ ）
A． y x 2 B． y = x + 1 C． y = 3 x − 1 D． y = lo g 2 x
例6-2【新考法】已知函数 f ( x + 1 ) = 2 x − 2 − x ，则 f ( x ) 在  − 1 ,1  上的最大值为（ ）
A．
3
2
B．
1 5
4
C．0 D．1
例6-3【新思维】函数 y = c o s 2 x − 5 s i n x 的值域为____________.
例6-4（25-26高三上·甘肃兰州·期中测试）已知函数 f ( x ) =
 1
3
 2x − 2 x
，
（1）求函数 f ( x ) 的单调区间；
（2）求函数 f ( x ) 的值域．
【变式训练6-1】函数 y =
x 2 −
8
4 x + 5
的最值为（ ）
A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8
C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值
【变式训练6-2】【新考法】（多选）下列关于函数 f ( x ) = x − 4 x ，下列结论正确的有（ ）
A． f ( x ) 的定义域为 0,+) B． f ( x ) 的值域为  4 , )  − +
C．当x1,16 时， f (x)−3,0 D． f (x)在  5 , )  + 上是增函数
x−1
【变式训练6-3】已知函数 f(x)= ，下列说法正确的是（ ）
x2+3
A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值
C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值
【变式训练6-4】已知函数 f (x)=3x+(2x+3) 1−x2 .（1）指出
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
11
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) 的定义域；
（2）求 f ( x ) 的最小值与最大值.
题型7 函数奇偶性的判断
例7-1判断下列各函数是否具有奇偶性
（1） f (x)=x3+2x
x3−x2
（2） f (x)=
x−1
（3） f ( x ) = x − 2 + 2 − x
（4） f ( x ) =
x
1
+
−
2
x
−
2
2
；
（5） f(x)= x2−1+ 1−x2
（6） f ( x ) = (1 − x )
1
1
+
−
x
x
例7-2【新角度】（多选题）已知函数 f ( x ) 的定义域为R， f ( x y ) = y 2 f ( x ) + x 2 f ( y ) ，则（ ）
A． f (0)=0 B． f (1)=0 C． f (x)是奇函数 D． f (x)是偶函数
方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.
(2)判断 f(x)与 f(−x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量
关系式( f(x)+ f(−x)=0(奇函数)或 f(x)− f(−x)=0(偶函数))是否成立.
【变式训练7-1】(多选)（2026·河南开封·二模）下列函数是偶函数的是（ ）
A． f(x)=2|x| B． f ( x ) = | ln ( x + 1 ) |
C． f(x)=ex−e−x D． f(x)=ln(1+x)+ln(1−x)
2+x
【变式训练7-2·变考法】（2026·山东济宁·阶段检测）设函数 f (x)= ，则下列函数中为奇函数
x−1
的是（ ）
A． f (x−1)−1 B． f (x−1)+1C．
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
12
f ( x + 1 ) − 1 D． f ( x + 1 ) + 1
【变式训练7-3·变题型】（多选）已知 f ( x ) ， g ( x ) 都是定义在 R 上且不恒为0的函数，则（ ）
A． y = f ( x ) + f ( − x ) 为偶函数
B．y=g(x)−g(−x)为奇函数
C．若 f (x)为奇函数， g ( x ) 为偶函数，则 y = g ( f ( x ) ) 为奇函数
D．若 f ( x ) 为奇函数， g ( x ) 为偶函数，则 y = f ( x ) − g ( x ) 为非奇非偶函数
【变式训练7-4·变载体】（多选）已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + y ) = x f ( y ) + y f ( x ) ，定义在 R
上的函数 g ( x ) 满足 g ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x 2 + 2 x ) ，则（ ）
A． f ( x ) 不是奇函数 B． f ( x ) 既是奇函数又是偶函数
C． g ( x ) 是奇函数 D． g ( x ) 既不是奇函数又不是偶函数
题型8 根据奇偶求解析式或函数值
例8-1（26-27高三上·河南新乡·阶段考试）已知 f ( x ) 是定义在R上的奇函数，且当 x  0 时，
f ( x ) = x ( 1 − x ) ，则当 x  0 时， f ( x ) = （ ）
A． − x ( 1 − x ) B． x(1−x) C． − x ( 1 + x ) D．x(1+x)
例8-2（2026·安徽滁州·二模）已知 f (x)是定义在 R 上且周期为2的奇函数，当 1  x  2 时，
f ( x ) = x 2 − x ，则 f

−
7
2

= （ ）
例8-3（2026·河北张家口·一模）设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为2的偶函数，当 2  x  3 时，
f(x)=5−2x，则 f

−
2 0 2
4
7 
= （ ）
A． − 1
2
B． − 1
4
C． 1
4
D． 1
2
【变式训练8-1】（2026·山西太原·二模）已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x  0 时，
f ( x ) = − x 2 + 2 x + 3 − m ，则 f (−1)=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【变式训练8-2】（2026·江西赣州·二模）设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f ( x ) = f ( 2 − x ) ，当
x 

0 ,
1
2

时， f (x)=2x+1，则 f

−
7
3

= （ ）
2 5 7 11
A． B． C． D．
3 3 3 3【变式训练8-3】（2026·山东东营·二模）已知奇函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
13
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) 的周期为2，且当 x  ( 1 , 2 ) 时，
f ( x ) = 2 x + 1 ，则 f

lo g
2
1 6
3

= ____________.
【变式训练8-4·变题型】定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且x(0,1)时， f ( x ) =
4
2
x
x
+ 1
．
（1）求 f ( x ) 在  − 1 ,1  上的解析式；
（2）取何值时，方程 f ( x )  = 在  − 1 ,1  上有解．
题型9 利用奇偶性求值或求参数
例9-1（2026·河北·二模）若函数 f ( x ) =
2 x
x
+ 1
+ a x + 1 为偶函数，则 f ( 2 a ) = （ ）
A．
4
3
B．
7
3
C．
7
5
D．
5
6
例9-2（2026·天津河东·二模）已知函数 f ( x ) = 1 −
5
m
x + 1
，当函数 f ( x ) 为奇函数时，则 f

l o g
15
3

=
（ ）
A． −
1
2
B． − 1 C．0 D．
1
2
例9-3已知函数 f ( x ) =
 x
a
2
x
+
2
2
−
x
b
,
x
x
, x


0 ,
0 .
为奇函数，则a+b=（ ）
A．-2 B．0 C．-3 D．-1
【变式训练9-1·变载体】（2026·山西朔州·一模）函数 f ( x ) = ( 1 2 − x + 9 − x ) a 2 x ( a  0 , a  1 ) 是偶函数，则
a = （ ）
A．4108 B． 4 1 2 C． 6 3 D． 2 3
【变式训练9-2·变载体】已知函数 f ( x ) = ( m −
5
5x
+ 1
) c o s x 为奇函数，则m＝（ ）
5
A．5 B．4 C． D．1
2
【变式训练9-3·变载体】已知 f (x)=(2027+m)sinx−x4为偶函数，则实数m=（ ）
A．0 B．1 C． − 2 0 2 7 D．2027
x−b
【变式训练9-4·变考法】已知 f (x)=ln ，
1−x 
b  R ，则“ b = − 1 ”是“ f (x)是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练9-5】（2026·山东威海·二模）已知函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
14
f ( x ) = x lo g
2
x
x
−
+
1
a
为偶函数，则 a = ____________.
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式
例10-1（2026·安徽黄山·一模）已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且 f ( 2 ) = 0 ，若 f ( x ) 在(−,0)上单调递
减，则不等式 f (x)0的解集为（ ）
A． ( , 2 ) ( 0 , 2 )  − −  B． ( − 2 , 2 )
C． ( 2 , 0 ) ( 2 , )  −  + D． ( , 2 ) ( 2 , )   − −  +
例10-2（2026·贵州贵阳·二模）已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意 x
1
, x
2
 0 , ) , x
1
x
2
  +  ，总
有
f ( x
1x
)
1
−
−
f
x
(
2
x
2
)
 0 ，则不等式 f(2m−1) f(m)的解集为（ ）
A． ( −  ,
1
3
)  (1 , +  ) B．(1,+) C． (
1
3
,1 ) D． ( −  ,1 )
例10-3【新角度】（2026·河北邢台·二模）已知函数 f ( x ) = ∣2 ∣x −
x
1
2 + 1
则不等式 f ( x + 1 )  f ( 2 x ) 的解
集为（ ）
A．

−
1
3
,1

B． ,
1
3
( 1 , )  

−

 +
C．

− 1 ,
1
3
 1 
D．(−,−1) ,+
3 
【变式训练10-1·变载体】已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在  0 , )  + 上单调递减， f ( − 4 ) = 0 ，则
不等式 f ( x )  0 的解集是（ ）
A．(−4,0)(4,+) B．(−,−4)(0,4)
C． ( , 4 ) ( 4 , )   − −  + D． ( − 4 , 4 )
【变式训练10-2·变载体】已知函数 f ( x ) = e
e
x
x
−
+
1
1
，且满足 f ( m 2 ) + f ( m − 2 )  0 ，则实数m的取值范围是
（ ）
A． ( 1 , +  ) B．(−,−2) C．(−,−2) (1,+) D．(−2,1)
【变式训练10-3·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意
x
1
, x
2
 0 , ) , x
1
x
2
  +  ，总有
f ( x
1x
)
1
−
−
f
x
(
2
x
2
)
 0 ，则不等式 f ( 2 m − 1 )  f ( m ) 的解集为（ ）
1
A．(−, )(1,+) B．(1,+) C．
3
(
1
3
,1 ) D． ( −  ,1 )
2x−a
【变式训练10-4】(多选)（2026·河北邯郸·二模）已知函数 f (x)= 为奇函数，则下列结论正确的是
2x+1（ ）
A．
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
15
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
a = 1 B． f ( x ) 在 R 上单调递减
C． f ( x ) 的值域为(−1,1) D． f ( x + 1 ) + f ( x − 3 )  0 的解集为  x | x  1 
【变式训练10-5】（2026·广东茂名·一模）已知函数 f ( x ) = lo g
2

1
2
+ x
− 1  ，则不等式
f (a+1)+ f ( −2a2) 0的解集为____________.
题型11 函数的周期性
例11-1 已知奇函数 f ( x ) 的周期为8，则（ ）
A． f ( 9 ) = 0 B． f (1 0 ) = 0 C． f (1 1 ) = 0 D． f (1 2 ) = 0
例11-2（2026·湖南怀化·一模）已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2 ) + f ( x ) = 4 ，且 f ( 0 ) = 0 ，则
f (2026)=（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
例11-3（2025·江西新余·模拟预测）已知函数 f ( x ) 的定义域为N*，且 f ( 3 ) = − 5 ， f (1 7 ) = 3 ，
f ( x + 1 ) = f ( x ) + f ( x + 2 ) ，则 f ( 2 0 2 6 ) = （ ）
A．5 B．−5 C．2 D． − 2
【变式训练11-1】（2026·广东深圳·一模）设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f ( 2 + x ) = f ( − x ) ， f ( − 1 ) = 1 ，
则 f(9)=（ ）
A． − 1 B．0 C．1 D．2
【变式训练11-2】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且
f ( 4 − x ) = f ( x )
3
，当0x 时，
2
f ( x ) = 5 − 2 x ，则 f(−2025)=（ ）
A． − 1 B．1 C．3 D．7
【变式训练11-3·变考法】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数 f (x)是定义域为R的奇函数，
g(x)=(x−2) f (x)，若 g ( 4 − x ) = g ( x ) ， f (1 ) = 2 ， f ( 2 ) = 0 ，则（ ）
A．g(3)=2 B．g(5)=−6
C． f (x)是周期为4的周期函数 D．
2 0 2 5
i=
1
f ( i ) = 2
【变式训练11-4·变载体】已知xR， f ( x + 3 ) = − f ( x ) ．当x(0,3)时， f ( x ) = s in
 π x
2

，则
f (2026)=____________.
题型12 对称性例12-1（2026·河北邢台·一模）函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
16
f ( x ) =
x
2 x
+ 1
图象的对称中心的坐标为（ ）
A． ( 1 , − 2 ) B． ( 1 , 2 ) C． ( − 1 , 2 ) D．(−1,−2)
例12-2（2026·广东广州·二模）若函数 y = f ( x ) 的图象与 y = lo g
3
x + a 的图象关于直线y=x对称，且
f(2)=18，则 a = （ ）
A． − 9 B． − lo g
3
2 C． lo g
3
2 D．9
例12-3（2026·安徽阜阳·二模）已知 f ( x ) 的定义域为R， f ( x ) 的图象关于点 ( 1 , 2 ) 对称，
g(x)= f (x−2)+3x，且g(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(19)=（ ）
A．99 B．78 C．66 D．52
方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论
1.中心对称结论：
（1）若函数 f ( x ) 满足 f ( a + x ) + f ( a − x ) = 2 b ，则 f ( x ) 的一个对称中心为 ( a , b )
（2）若函数 f ( x ) 满足 f (2a−x)+ f (x)=2b，则 f ( x ) 的一个对称中心为 ( a , b )
（3）若函数 f ( x ) 满足 f ( 2 a + x ) + f ( − x ) = 2 b ，则 f ( x ) 的一个对称中心为 ( a , b ) .
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数 f ( x ) 满足 f ( a + x ) = f ( a − x ) ,则 f ( x ) 的一条对称轴为 x = a
（2）若函数 f ( x ) 满足 f ( 2 a − x ) = f ( x ) ,则 f ( x ) 的一条对称轴为 x = a
（3）若函数 f ( x ) 满足 f ( 2 a + x ) = f ( − x ) ,则 f ( x ) 的一条对称轴为 x = a
a＋b
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x= 对称；
2
【变式训练12-1·变载体】（2026·安徽滁州·二模）已知函数 f ( x ) 的定义域为R，若满足 f ( x + 1 ) 为偶函
数，且 f ( x − 1 ) 为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． f ( 1 ) = 0 B． f ( − 1 ) = f ( 2 ) C． f ( 0 ) = − f ( 4 ) D． f ( − 2 ) + f ( 3 ) = 1
【变式训练12-2·变载体】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 2 + x ) = f ( 2 − x ) ，
且 f (x+1)=−f (x) ，则（ ）
A． f ( x ) 是偶函数 B． f ( x ) 的最小正周期是2
C． f (x)关于点(2,0)中心对称 D． f (x+3)是奇函数
【变式训练12-3·变考法】已知函数 f ( x ) = ( x − a ) ln
 x +
x
2 
.
（1）若 f(x)为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标；（2）当
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
17
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
x  0 时， f
 1
x

 2 ，求a的取值范围.
题型13 由函数对称性求函数值或参数
例13-1【新思维】（2026·西藏日喀则·模拟）若曲线 y = ( x − a ) lo g
2

1 −
2
x

关于直线 x = b 对称，则
a − b = （ ）
A． − 2 B．2 C．0 D．1
例13-2（2026·山东·二模）已知函数 f ( x ) =
a x
x
−
−
1
1
的图象关于点(1,2)对称，则 a = ____________.
【变式训练13-1】【新思维】函数 y = f ( 1 − x ) 的图像与函数 y = f ( 2 + x ) 的图像关于直线 x = m 对称，其
中 m = （ ）
A．3 B．
3
2
C．−1 D． −
1
2
【变式训练13-2·变载体】已知曲线 y = ln
2
x
+ x
− x + a 关于点 ( − 1 , 0 ) 中心对称，则 a = （ ）
A．2 B．1 C． − 1 D． − 2
【变式训练13-3·变考法】已知函数 f ( x ) = 2 x +
x
1
− 1
对称中心在直线 y = a x + b ( a  0 ) 上，则 a 2 +
2
2
a
b 2 的
最小值为（ ）
A． 4 3 − 4 B． 4 3 + 4 C． 2 6 − 4 D． 2 6 + 4
【变式训练13-4】【新考法】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 f (x)=(x+2)5−ax4−bx2−32的
图象关于坐标原点对称，则a+b的值为（ ）
A．20 B．50 C．70 D．90题型14 对称性、周期性的综合
例14-1（2026·江西·二模）已知函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
18
f ( x ) 的定义域为R， f ( 3 x − 2 ) 为奇函数， f ( 4 x − 1 ) 为偶函数，且
f(−1)=2，则
2 0 2 6
i=
1
f ( i ) = （ ）
A． − 2 B． − 1 C．1 D．2
例14-2【新角度】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( − 1 + x ) + f ( − 1 − x ) = 0 ，且 f ( 1 + x ) + f ( 1 − x ) = 0 ，当
x   − 1 , 0 ) 时， f ( x ) = e x − a ，当 x   0 ,1  时， f ( x ) = 2 x − b ，则 f ( x ) 的最小值为（ ）
A． − 6 B． − 4 C． − 3 D． − 2
【变式训练14-1·变载体】已知定义域均为R的函数 f(x)，g(x)满足 f (2−x)+ f (x)=2，
g ( 4 − x ) = g ( x ) ， g ( 2 ) = 3 ，若 f ( x ) = g ( 2 + x ) + 4 ，则下列说法错误的是（ ）
A． f ( x ) 的图象关于y轴对称 B． − 8 为 f ( x ) 的一个周期
C． f ( 2 0 2 3 ) = − 1 D．
2 2
k
= 1
f ( k ) = 1 6
【变式训练14-2·变考法】（多选）已知函数 f ( x ) 及其导函数 f  ( x ) 的定义域均为 R ，记 g ( x ) = f  ( x ) ，
若 f
 3
2
− 2 x

， g ( 2 + x ) 均为偶函数，则（ ）
A． f (0)=0 B． g

−
1
2

= 0
C． f ( − 2 ) = f ( 5 ) D． g ( − 1 ) + g ( 2 ) = 0
【变式训练14-3·变考法】（多选）已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( − x ) = 0 ， f ( x + 2 ) 是偶函
数，且对任意的
1
x，x −2,0，当
2
x
1
 x
2
时，都有 x
1
f ( x
1
) + x
2
f ( x
2
)  x
1
f ( x
2
) + x
2
f ( x
1
) ，则以下判断
正确的是（ ）
A．若 f ( 1 ) = − 1 ，则 f ( 5 ) = 1 B．函数 f ( x ) 的最小正周期是4
C．函数 f (x)在  2 , 6  上单调递增 D．直线x=3是 f ( x − 1 ) 图象的对称轴
题型15 对称性、单调性的综合
例15-1（2026·重庆·一模）已知函数 f ( x ) = 2 x + 2 + 2 − x ，若关于m的不等式 f ( m − 1 ) − f ( 2 m + 1 )  0 成立，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A．(−,−2)(0,+) B．(−,−2)   4 ,+  
3 
2   2 
C．(−,−2)  ,+ D．(−,−2) − ,+
3   3 例15-2（2026·吉林·二模）已知函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
19
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) 的图象关于直线x=m对称，且 f ( x ) 在  m , +  ) 上单调递减，若
 x  ( 0 , +  ) ， f ( 1 + x )  f ( 1 − x ) ，则m的取值范围是（ ）
A． ( 0 ,1 ) B． ( −  ,1 ) C． ( −  ,0 ) D． ( 1 , +  )
【变式训练15-1·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数 f ( x ) = e (x x − )1 + x 2 − x ，则满足
f (m) f (m+2)的 m 的取值范围是（ ）
A． ( 0 )  ， + B．
1
2


− ， +

C． ( 1 )  − ， + D． ( 0 )  − ，
【变式训练15-2】已知函数 y = f ( x + 2 ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f ( x ) 在 ( −  ,2 ) 上单调递增，
f ( 3 ) = 0 ，则 f ( x ) f ( x + 2 )  0 的解集为（ ）
A． ( − 1 ,0 ) ( 2 ,3 ) B． ( − 1 ,0 ) ( 3 , +  )
C． ( −  , − 1 ) ( 3 , +  ) D． ( 1 , 3 )
【变式训练15-3】（多选）已知函数 f ( x ) 是定义在R上的奇函数，且 f(x+4)= f(x)，当 x  ( 0 , 2 ) 时，
f ( x ) = x 2 − 2 x ，则下列说法正确的是（ ）
A． f ( 0 ) = 0 B． f (1 ) = − 1
C． f ( 3 ) = − 1 D． f(x)在 (1 , 3 ) 上单调递增
题型16 对称性求函数的解析式
例16【新考法】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 f ( x ) = 2 s in x − x ．
（1）若函数F(x)与 f (x)的图象关于点
 π
2
,1

对称，求F(x)的解析式；
（2）当x0,π时，求 f (x)的最大值；
【变式训练16-1·变载体】已知函数 f(x)=x2+2x与 g ( x ) 的图象关于点 ( − 2 , 3 ) 对称， g(x)=
____________.
 1 
【变式训练16-2·变载体】已知函数g(x)=log

−2，与函数y= f (x)关于原点对称
3 −x
（1）求函数y= f (x)的解析式（2）已知
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
20
y = f ( x ) , x  1 ,9  ，求 y =  f ( x )  2 + f ( x 2 ) 的最大值及 y 取最大值时 x 的值．
题型17 函数性质的综合应用
例17-1 (多选)（2026·广东茂名·二模）已知f(x)是定义在 R 上的函数，且 f (1 − x ) = f (1 + x ) ，
f ( x ) + f ( 4 − x ) = 1 ，则（ ）
A． f ( 2 ) =
1
2
B． f ( x ) 是奇函数
C． f (x)的图象关于直线 x = 1 对称 D．4是 f (x)的周期
例17-2 (多选)（2026·湖南衡阳·二模）已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ， f(x)和 f ( x + 1 ) 均为偶函数，且
当 x  [ 0 ,1 ] 时 f ( x ) = − ( x − 1 ) 2 + 2 ，则（ ）
 1 7
A． f − = B．函数
 2 4
f ( x ) 的图象关于点 (1 , 0 ) 中心对称
C．函数 f(x)是周期为2的周期函数 D．函数 f(x)在 ( − 2 , − 1 ) 上单调递增
例17-3 (多选)（2026·四川广安·二模）【新思维】已知定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (0)=2，
f ( 3 − x ) + f ( x ) = 1 ，设 f ( x ) 在 R 上的导函数为 g ( x ) ，则（ ）
A． g ( 2 0 2 5 ) = 0
3 1
B．g = C．
2 2
g ( x − 6 ) = g ( x ) D．
2 0 2 7
n
= 1
f ( n ) = 1 0 1 2
【变式训练17-1·变考法】已知定义域为R的函数 f ( x ) 的图象经过坐标原点，若 f (1+x)+ f (1−x)=2，
f ( x ) − g ( x ) = 2 x ，且 g ( x + 2 ) 为偶函数，则
2 0
i=
1
f ( i ) = （ ）
A．190 B．210 C．230 D．400
【变式训练17-2·变考法】（多选）函数 f(x)对于任意的 x , y  R ，满足
f(x−y)− f(x+y)= f(x−1)f(y−1)，且 f ( 0 ) = 2 ，则（ ）
A． y = x f ( x ) 为偶函数 B． 4 是函数 f(x)的一个周期
2026
C．点(2025,0)是 f(x)图象的对称中心 D． f(i)=0
i=0
【变式训练17-3·变载体】定义在R上的函数 f (x)满足：①对任意xR，都有函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
21
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( 2 + x ) = f ( 1 ) − f ( − x ) ；② f ( 2 x ) 的图象关于直线x=1对称：③ f ( 2 ) = 1 , f  3
2
 =
2
2 ． 则下列说法正确
的是（ ）
A． f ( x + 2 ) 是奇函数 B． f ( x + 1 ) 是偶函数
C． f

−
1
2

= −
2
2
D．
2 0 2 5
k
= 1
f
 k
2

= 0
【变式训练17-4·变载体】已知定义在R上且不恒为0的函数 f ( x ) ，对任意的 x , y  R ，都有
f ( x y ) = x f ( y ) + y f ( x ) ，则（ ）
A． f ( 8 ) = 1 2 f ( 2 ) B． f ( x ) 为周期函数
C． f ( x )
n
是奇函数 D．若 f (2)=2，则 f(2k)=(n+1)2n−2
k=1
真题训练
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 ( 0 , +  ) 上单调递增的是（ ）
A． f ( x ) = − ln x B． f ( x ) =
1
2 x
C． f ( x ) = −
1
x
D． f ( x ) = 3 |x − 1|
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为2的偶函数，当 2  x  3 时，
f(x)=5−2x，则 f

−
3
4

= （ ）
A． − 1
2
B． − 1
4
C． 1
4
D． 1
2
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 f ( x ) = 2 x (x − a ) 在区间(0,1)上单调递减，则 a 的取值范围是
（ ）
A．(−,−2 B．−2,0)
C．(0,2 D．2,+)
2x−1
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若 f (x)=(x+a)ln 为偶函数，则a=（ ）
2x+1
1
A．−1 B．0 C． D．1
25．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
函
数
第
0
2
讲
函
数
的
性
质
22
f ( x ) =
 −
e
x
x
2
+
−
ln
2
(
a
x
x
+
−
1
a
) ,
,
x
x


0
0
在R上单调递增，则a的取值范围
是（ ）
A． ( −  , 0 ] B．[−1,0] C． [ − 1 ,1 ] D． [ 0 , +  )
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 f (x)=e−(x−1)2．记 a = f

2
2 
, b = f

2
3 
, c = f

2
6 
，则
（ ）
A． b  c  a B． b  a  c C． c  b  a D． c  a  b
7．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ， f (xy)= y2f (x)+x2f (y)，则
（ ）
A． f ( 0 ) = 0 B． f ( 1 ) = 0
C． f ( x ) 是偶函数 D． x = 0 为 f ( x ) 的极小值点
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 + a x + s in  x + π
2
 为偶函数，则 a = ____________.