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模块二 图形与几何基础
第 06 讲 圆的证明与计算
（思维导图+2考点+15种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 圆的相关计算问题
►题型01 利用圆的相关性质求角度
►题型02 利用圆的相关性质求线段长
►题型03 利用弧长与扇形面积求解
►题型04 求不规则图形面积
►题型05 与圆有关的最值问题
考点二 圆的相关证明问题
►题型01 切线的性质与判定综合
►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直
►题型03 利用圆的性质判定相似三角形
►题型04 利用圆的性质判定全等三角形
►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形
►题型06 利用圆的性质判定线段相等
►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系
►题型08 利用圆的性质求证角平分线
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►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系
►题型10 正多边形与圆
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
圆的证明与计算是中考数学的重要组成部分，其题目类型多样，综合性强，对学生的逻
辑思维和空间想象能力提出了较高要求。
【考情分析】圆的证明与计算题型在中考中多以解答题形式出现，通常分为两问。第一问侧
重于几何证明，常涉及切线的判定、圆心角与圆周角的关系等；第二问则注重计算，包括线
段长度、面积求解以及角度的三角函数值等。这类题型不仅考查学生对圆的基本性质的掌
握，还考查其综合运用几何知识的能力。
【考点分析】
1）切线的判定与性质：判定切线是中考的常见考点，通常需要学生通过证明直线垂直于过切
点的半径来确认切线。此外，切线的性质，如切线长定理，也常在题目中出现。
2）圆心角与圆周角：理解和运用圆心角与圆周角的关系是解题的关键。学生需要掌握圆周角
定理及其推论，能够利用这些关系求解角度和线段长度。
3）弦、弧、半径的关系：垂径定理及其相关推论是求解圆内线段长度的重要工具。考试中常
要求学生利用垂径定理结合勾股定理进行复杂的计算。
4）图形的相似与解直角三角形：在涉及圆的计算题中，图形的相似和解直角三角形知识经常
被综合运用。学生需能够灵活运用相似三角形的性质和直角三角形的边角关系来求解。
圆的证明 【解题策略】
与计算
1）掌握基础知识：熟练掌握圆的基本概念和性质是解题的基础。学生应理解并牢记圆的定
义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念。
2）识别基本图形：能够将复杂的图形分解为基本的几何图形，如直角三角形、等腰三角形
等，有助于发现隐藏的线段关系和解题途径。
3）灵活运用定理：垂径定理、切线定理、圆周角定理等是解决圆的问题的重要工具。学生应
能够根据题目条件选择合适的定理进行证明和计算。
4）注重逻辑推理：圆的证明题要求学生具备严密的逻辑推理能力。在解题过程中，要注意每
一步推理的合理性和严谨性，确保证明过程的完整性和正确性。
【备考建议】
1）系统复习：对圆的相关知识点进行全面系统的复习，确保基础知识的扎实掌握。
2）多做练习：通过大量的习题练习，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。
3）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，分析解题过程中的思路和方法，形成自己的解题
策略。
4）查漏补缺：针对自己的薄弱环节进行有针对性的训练，及时弥补知识漏洞。
02知识导图·思维引航
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03 核心精讲 · 题型突破
考点一 圆的相关计算问题
►题型01 利用圆的相关性质求角度
1．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
3．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC=128°，则∠CDE等于（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
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4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，
k
EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D
x
恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．4√3 B．3√3 C．2√3 D．3
5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD的
延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
►题型02 利用圆的相关性质求线段长
6．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB，
∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
7．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则
AD的长为（ ）
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A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
8．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于
3
点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC= ，
5
则半径OC的长为 ．
9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为
（ ）
A．1 B．2 C．√2 D．√3
10．（2024·四川自贡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，
E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF，AF=________，BD=________；若AC=3，BC=4，则⊙O
半径长为________；
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(2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N．
求证：MN是⊙O的切线．
►题型03 利用弧长与扇形面积求解
11．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图
（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C，D分别为OA，OB的中
点，则花窗的面积为 m2．
12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心
角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，
交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则B´E的长l= （结果保留π）．
14．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作
出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作B´C，A´C，A´B．三段弧所围成
的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 ．
15．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
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【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
►题型04 求不规则图形面积
16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
17．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
18．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点
C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
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(1)求证：四边形ODCE是菱形；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
19．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，DE．
过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
►题型05 与圆有关的最值问题
20．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E为边CD的中
点，F为边AD上的一动点，将△≝¿沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为
．
21．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个
动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为
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22．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=2√5,BC=8．点P是BC边上一动点，点M
为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）．
8√105
A．2 B． C．2.4 D．√21−4
21
23．（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，点D，E分
√2 AE
别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD= CE，则下列结论：① =√2；
2 BD
②∠DFE=135°；③△ABF面积的最大值是4√2−4；④CF的最小值是2√10−2√2．其中正确的是
（ ）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
24．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面
内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为
.
1. 遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
1）作同弧所对的两个圆周角；
2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
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3）连接多个半径，构造等腰三角形.
2. 圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三
角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证
明.
3. 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边
形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
4. 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角
形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
5. 涉及弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算问题的解题方法：
1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给
条件求得.
2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式 ；当已知弧长l、半径R求扇形
的面积时，选用公式
3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合
实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个.
1．（2025·福建福州·一模）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点
C、D，若CD=12，PA=8，则cos∠ADB的值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若AC=2√3，
∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
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3π 3π √3 2π 2π √3
A． +√3 B． + C． +√3 D． +
2 2 2 3 3 2
3．（2025·河南郑州·一模）如图，AB是⊙O内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为⊙O的一条切
线，则∠1=（ ）．
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
4．（2025·陕西西安·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是CD的中点，
1
CD=4√3，cosD= ，则AB的长为（ ）
2
A．3√5 B．6 C．4√3 D．8
5．（2025·陕西西安·一模）如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧
BC恰好过圆心O，则BC的长是（ ）
A．3√3 B．3√2 C．2π D．2√3
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6．（2025·山东滨州·模拟预测）如图， 的角平分线 交其外接圆 于点 ，
△ABC CD O D
以下说法不正确的是（ ）
A．若∠ACB=60°，则√3CD=CA+CB
B．若∠ACB=90°，则√2CD=CA+CB
C．若∠ACB=120°，则CD=CA+CB
D．若∠ACB=150°，则(√6−√3)CD=CA+CB
7．（2025·江苏无锡·一模）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA B C D A B ⋯叫做“正方形的渐
1 1 1 1 2 2
开线”，其中D´A 的圆心为点A，半径为AD；A´B 的圆心为点B，半径为BA ；B´C 的圆心为点C，
1 1 1 1 1 1
半径为CB ；C ´D 的圆心为点D，半径为DC ；…，D´A 、A´B 、B´C 、C ´D ，…的圆心依次按A、
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B、C、D循环，当AB=1时，则A ´B 的长是 ．
2025 2025
8．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，
且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D为平面内一点，
且∠BDC=90°，连接AD，则AD的最小值为 ，最大值 ．
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10．（2024·重庆·一模）如图，半圆O，点O为圆心，直径AB长为6，再以点B为圆心，OB为半径作弧，
交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 ．
11．（2025·广东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角
坐标系内，在△ABO中，A、B两点坐标分别为A(−1,3)，B(−4,3)，O(0,0)．
(1)画出△ABO关于y轴对称的△A B O，并写出点A 的坐标；
1 1 1
(2)画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A B O，并写出点A 的坐标；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点A旋转到点A 所经过的路径长（结果保留π）．
2
12．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三条边BC,AC,AB及AB边上
的高CD分别记为a,b,c,h．
(1)求证：ab=ch；
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1 1 1
(2)求证： + = ；
a2 b2 h2
(3)若将Rt△ABC变为锐角△ABC，其他不变，如图，设其外接圆的直径为d，试探索并写出a,b,h,d这4
个量的一个等量关系，然后给出证明．
13．（2025·河南郑州·一模）如图（1）所示的心形图案，它由正方形的两条边和两个半圆组成．如图
（2），将心形图案放置在平面直角坐标系中，OC，OA分别为两个半圆的直径，正方形OABC的顶点O
在原点处，点A，C分别在y轴，x轴上，直线y=kx交两个半圆于点D，E．
(1)若OD=2OE，求k的值；
(2)若DO=5，OE=3，求阴影部分的面积．
考点二 圆的相关证明问题
►题型01 切线的性质与判定综合
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于
点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
2．（2024·山东济南·中考真题）如图，AB,CD为⊙O的直径，点E在B´D上，连接AE,DE，点G在BD
的延长线上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．
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(1)求证：AG与⊙O相切；
1
(2)若BG=4√5,sin∠DAE= ，求DE的长．
3
3．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，
与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求D´E的长l．
4．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点
C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
►题型02 利用圆的性质求证线段平行/垂直
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB
的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
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(1)如图1，若BE=1，CE=√5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
6．（2024·北京·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
(1)求证：OD∥BC；
OF 5
(2)延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若 = ，
BF 6
PE=1，求⊙O半径的长.
7．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的
切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB=5√6，BE=5，求⊙O的半径．
8．（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半
圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE．
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(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：______；
(2)求证：OD⊥AB；
(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的长．
9．（2024·安徽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB
于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．
►题型03 利用圆的性质判定相似三角形
10．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作
AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．
11．（2024·新疆·中考真题）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，A´D=B´D．
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(1)求证：△ACD∽△ECB；
(2)若AC=3,BC=1，求CE的长．
12．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD
的延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
►题型04 利用圆的性质判定全等三角形
13．（2023·山东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作
CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．
(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段
MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
14．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，DE．
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过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
15．（2023·湖南·中考真题）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直
径，∠ABD=45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G．且满足
∠CFE=45°．
(1)求证：直线l⊥直线CE；
(2)若AB=DG；
①求证：△ABC≌△GDE；
3
②若R=1，CE= ，求四边形ABCD的周长．
2
►题型05 利用圆的性质判定特殊的平行四边形
16．（2024·山东日照·中考真题）如图1，AB为⊙O的直径，AB=12,C是⊙O上异于A,B的任一点，连
接AC,BC，过点A作射线AD⊥AC,D为射线AD上一点，连接CD．
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【特例感知】（1）若BC=6．则AC=_______．
（2）若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；
【深入探究】若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=√3，连接OD．
（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；
（4）求OD长度的取值范围．
17．（2024·广西·中考真题）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC．点D，E分别是BC，AC的
中点，连接DE并延长至点F，使DE=EF，连接AF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)求证：AF与⊙O相切；
3
(3)若tan∠BAC= ，BC=12，求⊙O的半径．
4
18．（2023·浙江金华·中考真题）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C,D．
连接AB，过点A作AH⊥CD于点H．
(1)求证：四边形ABOH为矩形．
(2)已知⊙A的半径为4，OB=√7，求弦CD的长．
19．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点
C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
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(1)求证：四边形ODCE是菱形；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O
于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且D´B的中点为M，连接AD，CD．
(1)求∠ACB的度数；
(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若AC=6，求C´D的长．
►题型06 利用圆的性质判定线段相等
21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的
一点，连接AC，∠PCA=∠B．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
1
(2)若sin∠B= ，求证：AC=AP；
2
(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的长．
22．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，ADAB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，
以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF
交AB于点G．
(1)求证：BE=BG．
(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．
►题型07 利用圆的性质求线段比值或证明比例关系
24．（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点
D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)连接EO并延长，分别交⊙O于M,N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F=30∘，求
GM⋅GN的值．
25．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径
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作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；
(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=√5，AF=4√5，求CF的长和⊙O的直径．
26．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角
∠APB的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在A´C上（点P不与点
A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结
BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°．
∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE．
∵△ABC是等边三角形．∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在
PB
AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=2√2PA，则 的值为__________．
PC
27．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行
弦，弦AB交MC于点H．点A在M´C上，点B在N´C上，∠OND+∠AHM=90°．
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(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．
(2)求证：A´C=B´C．
3
(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧N´D的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN= ，
5
求NG的长．
28．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点
C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：AC⋅PC=BC2；
AF
(3)已知BC2=3FP⋅DC，求 的值．
AB
►题型08 利用圆的性质求证角平分线
29．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于
点E，延长AB交直线l于点C．
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(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．
30．（2023·安徽·中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3，求弦BC的长．
►题型09 利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系
31．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，
OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
32．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆⊙O 与⊙O 都经过A，B两点，点O 在⊙O 上，点C是
1 2 2 1
AO´ B上的一点，连接AC并延长交⊙O 于点P，连接AB，BC，BP．
2 2
(1)求证：∠ACB=2∠P
(2)若∠P=30°，AB=2√3．
①求⊙O 的半径；
1
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②求图中阴影部分的面积．
33．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位
于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
(1)求证：∠BAF=∠CDB；
(2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长．
►题型10 正多边形与圆
34．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接
ED，并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
(1)求证：AD平分∠CAE；
(2)求证：△ADE≌△ABG；
(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF的值．
35．（2023·湖南娄底·中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗
上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进
行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形
ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
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(1)求证：AE2=EF⋅EM．
(2)若AF=1，求AE的长．
S
正五边形ABCDE
(3)求 的值．
S
△AEF
36．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段
√5−1
进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，
2
OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行
研究．（其它可同理得出）
（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
BM BN √5−1
（2）求证： = ，且其比值k= ；
BN BE 2
MN
（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
BM
1. 【热考】判定直线与圆的切线的解题方法：
1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.
2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的
外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.
3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的
半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
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2. 【名师总结】在中考数学中，与圆有关的证明题常常是考生面临的难点之一。这类题目不仅考查学生
对圆的基本性质和定理的掌握，还考验其逻辑推理和解题技巧。
1）首先，熟悉圆的基本性质和定理是解题的基础。这些包括弧、弦、圆心角定理，圆周角定理，垂径定
理，切线定理以及切线长定理等。例如，圆周角定理指出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
而切线的性质定理则表明圆的切线垂直于过切点的半径。掌握这些定理，有助于我们在解题时快速找到突
破口。
2）其次，做辅助线是解决圆相关证明题的重要技巧。见到切线时，通常连接过切点的半径，以证明垂直
关系；见到直径时，则寻找直径所对的圆周角，利用其性质进行推导；若题目中有“弦的中点”或“弧的
中点”，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结论。例如，证明切线问题时，通过连接圆心和
切点，再利用半径垂直于切线的性质，往往能顺利导出所需的直角。
3）形成条件反射式的解题思路。看到题目中的某个条件或图形，脑海中应即刻呈现出可能的辅助线和解
题方向。如条件给出圆周角或圆心角的度数或等量关系，应寻找同弧或等弧所对的其他圆周角或圆心角；
见到平行线时，考虑利用平行线的性质进行角度转换等。
4）最后，多做与圆有关的证明题，善于总结规律和技巧。通过大量的练习，积累解题经验，熟悉常见的
解题模式。例如，圆中常出现的直角三角形相似，包括平行相似、错位相似、射影相似等，掌握这些相似
三角形的判定和性质，有助于快速解决求边长比例或长度的问题。
总之，中考中与圆有关的证明题虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和定理，熟练运用辅助线和解
题技巧，并结合综合法和分析法进行思考，就能轻松应对，取得理想的成绩。
1．（2025·浙江金华·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作
AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若CD=BF，AE=3，求DF的长．
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2．（2025·陕西西安·一模）如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB=AC．
(1)求证：∠BAC=2∠ABD．
(2)若AB=5，BC=6，求AE的长．
3．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连
接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
(1)求证：AE2=AF⋅AD；
2√5
(2)若sin∠ABD= ，AB=5，求S ．
5 △BOG
40．（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线
与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为C´B上一点，且C´F=C´A，连接BF并延长交射线DC于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
5
(2)若DC= EC，DA=4，求BE的长．
3
41．（2024·江苏泰州·一模）已知，△ABC是半径为5的⊙O的内接三角形，点D是△ABC的内心，射线
AD分别交BC、⊙O于点E、F．
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(1)如图1，连接BF，求证：△AEC∽△ABF；
(2)如图2，∠BAC=90°；
①若AB=8，求AF的长；
AF
②若∠ABC=30°，求 的值；
DF
(3)如图3，∠BAC=60°，射线BD、CD分别交⊙O于点G、H，点A在直线BC上方的圆弧上运动，无
论点A如何移动，线段DF、DG、DH中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
31
