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考点巩固卷 24 古典概型、相互独立、条件概率及全概率公式(七大考
点)
考点01 互斥事件和对立事件
1．一批产品共100件，不合格品率为0.05.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判
断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则
再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.则这批产品被接受的概率为
_____.
2．（多选）已知事件 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．如果 ，那么
C．如果 与 互斥，那么
D．如果 与 相互独立，那么3．已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回
地随机抽取2个小球，事件 “取到红球和黑球”，事件 “第一次取到黑球”，事件 “第二次取
到黑球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）从含有若干次品的一批产品中随机取出三件，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件 为
“三件产品全是次品”，事件 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 互斥
C．事件 与 互斥 D． 是必然事件
5．（多选）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与
事件“全是男生”（ ）
A．是互斥事件 B．不是互斥事件 C．是对立事件 D．不是对立事件
6．（多选）从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，
互斥而不互为对立的是（ ）
A．至少有1个红球与都是红球 B．恰有1个红球与恰有2个红球
C．至少有1个红球与至少有1个白球 D．至多有1个红球与恰有2个红球
考点02 古典概型
7．某同学口袋中共有 个大小相同､质地均匀的小球 其中 个编号为 ， 个编号为 ，现从中取出 个小
球，编号之和恰为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行服务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙
安排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（ 2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色
外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为_____.
11．（ 2023·江西九江·统考一模）2022年11月第十四届中国国际航空航天博览会在珠海举办.在此次航展
上，国产大飞机“三兄弟”运油-20、C919、AG600M震撼亮相，先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、
强国的标志.国产大飞机“三兄弟”比翼齐飞的梦想，在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观
航展后各自从“三兄弟”模型中购买一架，则两位同学购买的飞机模型不同的概率是_____.
12．（ 2023·新疆·统考三模）从 至 世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的
《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校
团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则
所选的两部中至少有一部是杨辉著作的概率为_____．
考点03 独立事件的概率
13．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一
支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛
的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均为 ，且三人每次通过
与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性
取出2个球，记事件 “两球同色”，事件 “两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
15．（多选）已知事件A，B，且 ，则（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
16．若三个元件 、 、 按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，
当元件 正常工作且 、 中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件 、 正常工作的概率依次为 、 ，且这个系统正常工作的概率为 ，则元件 正常工作的概率为_____.
17．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答
活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率
是 ，甲、丙两位同学都答错的概率是 ，乙、丙两位同学都答对的概率是 .若各同学答题正确与否互不
影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为_____.
18．现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游
戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪
刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是
相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为_____.
考点04 条件概率
19．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生
中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（ ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
20．某医疗仪器上有 、 两个易耗元件，每次使用后，需要更换 元件的概率为 ，需要更换 元件的
概率为 ，则在第一次使用后就要更换元件的条件下， 、 两个元件都要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．用 五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件 {数字 在 的左边}，事件 { 与
相邻}，则 等于（ ）
A． B． C． D．
22．一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一
次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，
则 （ ）A． B． C． D．
23．从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率
为（ ）
A． B． C． D．
24．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有 个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭
个小孩中有女孩的条件下， 个小孩中至少有 个男孩的概率为_____.
考点05 条件概率公式的应用
25．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且 ， ， ，则
的值等于（ ）
A． B． C． D．
26．（多选）已知 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥， ， ，
B．若事件A，B相互独立， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
28．（多选）设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
29．已知 ， ， ，那么 _____．
30．已知随机事件A，B， ， ， ，则 _____.
考点06 全概率公式
31．已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取
一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二
次取到的也是科技书的概率为（ ）
A． B． C． D．
32．（多选）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱
中随机取出一球放入乙箱，事件 和 分别表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随
机取出一球，事件 表示由乙箱取出的球是红球，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
33．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.8，若第一
次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.4 ，已知第一次击中目标的概率是0.7 ，则第二次击中目标
的概率为_____ .
34．芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产
的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为 ，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯
片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为_____
35．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 ，其中 为显性基因， 为隐性基因，且这三种
基因型的比为 ，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为 的概率
是_____.
36．泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”
是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公
陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机
会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.
考点07 贝叶斯公式
37．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现
没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小
孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说
谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是 ．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大
家心目中每个小孩是诚实的概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
38．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、
乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为 .现从这20
块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为_____.
39．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%
安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在
飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它
被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
40．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以 表示事件“试验反应为阳性”，以
表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 ， 现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 ，即 ，则 （ ）
A． B． C． D．
41．（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为 ，加工出来
的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个零件，记事件
“零件为第i台车床加工”（ ），事件 “零件为次品”，则（ ）
A． B．
C． D．
42．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过
选拔，高一年级有 的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有 的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件 “在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件 “在三个年级中随机抽取1名学
生，该生来自高 年级”（ ）．请完成下表中不同事件的概率：
事件概
率
概率值
(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
