第06讲函数的图像（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 06 讲 函数的图象
函
知识精讲
数
与
基
本
初
等
知识点1 函数的图象 第
函
6
讲 数
1.函数的图象
函
将自变量的一个值 x 作为横坐标，相应的函数值 f(x )作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的 数
0 0
的
坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符 图
像
号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2描点法作函数的图象
（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；
（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
（4）描点连线，画出函数的图象．
1
自主检测函数
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y = c o s x 与y=lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
知识点2 图象变换
1.平移变换
2.对称变换
关于x轴对称 关于y轴对称
①y＝f(x)―――――→y＝ ； ②y＝f(x)―――――→y＝ ；
关于原点对称 关于y＝x对称
③y＝f(x) ―――――→ y＝ ； ④y＝ax (a>0且a≠1)―――――→y＝ ．3.伸缩变换
①把函数y = f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
函
数
与
基
本
初
等
第
函
6
数 讲
函
数
的
图
像
2
1
w
倍得y= f(x)(0<<1)
②把函数y = f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w
倍得y= f(x)(>1)
③把函数y = f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 w 倍得 y f ( x )  = (>1)
④把函数y = f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 w 倍得 y f ( x )  = (0<<1)
4.翻折变换
保留x轴上方图象
①y＝f(x)―――――――――→y＝ .
将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右侧图象，并作其
②y＝f(x)――――――――――→y＝ ．
关于y轴对称的图象
必记结论
（1）若 f ( m + x ) = f ( m − x ) 恒成立，则 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = m 对称．
（2）若 f ( a + x ) = f ( b − x ) ，对任意 x  R 恒成立，则 y = f ( x )
a+b
的图象关于直线x= 对称．
2
（3）函数 y = f ( a + x ) 与函数 y = f ( b − x )
a+b
的图象关于直线x= 对称．
2
（4）函数 y = f ( x ) 与函数 y = f ( 2 a − x ) 的图象关于直线 x = a 对称．
（5）函数 y = f ( x ) 与函数 y = 2 b − f ( 2 a − x ) 的图象关于点 ( a ， b ) 中心对称．
（6）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
自主检测定义在区间0,4上的函数 y = f ( x ) 的图象如下图所示，则 y = − f ( 4 − x ) 的图象为（ ）
A． B．
C． D．题型突破
题型1 作具体函数的图象
函
例1-1已知函数 数
与
基
本
初
等
第
函
6
讲 数
函
数
的
图
像
3
崇文翰墨
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f ( x ) = − x 2 + 2 x ．
（1）判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性；
（2）将函数 f ( x ) 写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．
例1-2作出下列各函数的图象．
(1)y= log (x+1)； (2)
2
y =
2 x
x
−
−
1
1
； (3)y=x2−2|x|−1．
【变式训练1-1】作出下列函数的图象．
x+2 1 x−1
(1)y= ； (2)y=

−1．
x−1 2
【变式训练1-2】已知函数 f (x)= x−1，g(x)=−x2+2x+1.函
数
与
基
本
初
等
函 第 (1)在图1同一坐标系中画出函数
6
数 讲
函
数
的
图
像
4
f ( x ) ， g ( x ) 的图象：
(2)用 m ( x ) 表示 f ( x ) ， g ( x )
g(x), f (x)g(x)
中的较小者，即m(x)= ，画出函数
 f (x), f (x)g(x)
m ( x ) 的图象(图
2），并求函数 m ( x ) 的解析式，写出 m ( x ) 的单调区间和值域（不需要证明）．
(3)若 m ( x )  − 2 ，求 x 的取值范围
题型2 函数的图象变换
例2-1【新思维】（2026·北京顺义·二模）把函数 f (x)=ax(a0,a1)的图象 C
1
向右平移2个单位长
度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
1
4
倍，得到图象C ，若此时图象
2
C
1
恰与C 重合，则
2
a 的
值为（ ）
1
A．4 B．2 C． D．
2
1
4
例2-2函数 g ( x ) =
( x +
|
1
x
)
+
lg
1
|
|
x |
的图象向右平移1个单位长度得到函数 f ( x ) 的图象，则 f ( x ) 的图象大致
为（ ）
A． B．C． D．
函
数
与
基
例2-3【新角度】已知图 本
初
等
第
函
6
讲 数
函
数
的
图
像
5
崇文翰墨
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1 对应的函数为 y = f ( x ) ，则图 2 对应的函数是（ ）
A．y= f (− x) B．y= f (−x) C． y = f ( x ) D．y=−f (−x)
【变式训练2-1】（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数 y = lg ( x + 1 ) 的图象，只需将函数 y = lg x
的图象（ ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
【变式训练2-2】（多选题）为了得到函数y=log x的图象，只需将函数y=log (2x)图象上（ ）
2 2
A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不
变
C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D．所有点沿x轴向右平移
1
2
个单位长度
【变式训练2-3·变考法】（2026·北京密云·一模）为了得到 y =
4
4
x
x
+ 1
的图象，只需把函数 y =
2
2
x
x
+ 1
的图
象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变）
1
C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）
2
【变式训练2-4·变考法】函数y= f (x)的图象如图所示，那么函数 y = f ( 2 − x ) 的图象是（ ）A． B． C． D．
函
数 【变式训练2-5·变载体】（25-26高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数
与
基
本
初
等
第
函
6 数 讲
函
数
的
图
像
6
y = lo g
2
( 2 x ) 的图象，只需
将函数 y = lo g
2
(
x
)
的图象上所有点（ ）
1
A．横坐标变成原来的 （纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
2
C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度
题型3 由解析式选择图象
例3-1（2026·安徽合肥·三模）当a0时，函数 f ( x ) =
x 2
e
−
x
a x
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
例3-2（2026·河北衡水·模拟预测）函数 f ( x ) = ( 2 x + 2 − x ) s in x 在区间

−
π
2
,
π
2

上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 由解析式判断函数图象的方法
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象．
函 【变式训练3-1】（2026·天津河北·二模）函数
数
与
基
本
初
等
第
函
6
讲 数
函
数
的
图
像
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f ( x ) =
2 x
x
+ 2 − x
的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2·变考法】若函数 f ( x ) =
a x 2 +
1
b x + c
的部分图象如图所示，则 f ( 5 ) = （ ）
2
A．− B．
3
−
1
1
2
1
C．− D．
6
−
1
3
【变式训练3-3·变载体】函数 f (x)=ax2+ ( 4a2−1 ) xsinx (aR)在区间−2π,2π上的大致图象不可能
 
为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数 f(x)=ax3+3x+3(aR)的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．题型4 利用函数图象选解析式
例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
函
数
与
基
本
初
等
第
函
6
数 讲
函
数
的
图
像
8
y = f ( x ) 的部分图象如图，则 f ( x ) 的解析式可能为：
（ ）
A． f ( x ) = x  2 1− x 2 B． f ( x ) = 2 1− 2x  x
C． f ( x ) = e x
1
−
−
e
x
−
2
x D． f ( x ) = 3
3
x
x
−
+
1
1
例4-2【新思维】（2026·天津·一模）已知函数 y = f ( x ) 的部分图象如下：
则 f (x)的解析式可能为（ ）
A． f ( x ) =  x − 1
x
 s in x B． f ( x ) =  x − 1
x
 c o s x
C． f ( x ) =
s in
x
x
D． f ( x ) =
c o s
x
x
【变式训练4-1·变情境】在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数
的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
1
A． f (x)= B．
x−1
f ( x ) =
x
1
− 1
C． f ( x ) =
x
12
− 1
D． f ( x ) =
x
12
+ 1
【变式训练4-2】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数 f ( x ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的解析式可能
是（ ）
A．𝑓(𝑥)=
𝑥3
B．𝑓(𝑥)=
𝑥
2(1−|𝑥|) 2(𝑥2+1)
𝑥3 𝑥2+1
C．𝑓(𝑥)= D．𝑓(𝑥)=
2(𝑥2−1) 2(𝑥2−1)
【变式训练4-3】如图，已知函数 f (x)的图象关于坐标原点O对称，则函数 f (x)的解析式可能是（ ）
A． f ( x ) = x 2 x B． f ( x ) = x ln x
ex ln x
C． f (x)= D． f (x)=
x x【变式训练4-4】（2026·四川南充·阶段检测）函数
函
数
与
基
本
初
等
第
函
6
讲 数
函
数
的
图
像
9
崇文翰墨
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f ( x ) 的图象如图所示，则 f (x)的解析式可能为
（ ）
A． f ( x ) =
1 0
x
c2 o
+
s x
1
B． f ( x ) =
1 0
x
s2 in
+
x
1
C． f ( x ) =
1 0 ( e
x
x
2
+
+
e
2
− x )
D． f ( x ) =
1 0 ( e
x
x
2
−
+
e
2
− x )
【变式训练4-5·变考法】（2026·北京东城·二模）已知函数y=F(x)的部分图象如图所示，若
F ( x ) = f ( x ) g ( x ) ，则 f ( x ) , g ( x ) 可以为（ ）
A． f ( x ) = s in 2 x , g ( x ) = s in x B． f ( x ) = s in 2 x , g ( x ) = c o s x
C． f ( x ) = c o s 2 x , g ( x ) = s in x D． f ( x ) = c o s 2 x , g ( x ) = c o s x
题型5 由函数的图象研究函数的性质
例5-1【新角度】已知函数y= f (x)的定义域为−1,5，其图象如图所示，则下列说法中错误的是
．．
（ ）
A． f ( x ) 的单调递减区间为 ( 0 , 2 ) B． f (x)的最大值为 3
C． f (x)的最小值为 − 1
D． f ( x ) 的单调递增区间为(−1,0)(2,5)
例5-2（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数 f ( x ) =
 (
2
x
−
− 1
ln
2 ) ,
( x
x
−

1 )
2
, x  2
，
则（ ）
A． x = 1 是 f (x)的极小值点 B．当 1  x  2 时， f (x) f ( x2)
C．当0x1时， f ( x )  f ( 2 x ) D．当−1x0时， f (x) f (4−x)
方法技巧 利用函数图象研究函数的性质的策略
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性;
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。
【变式训练5-1·变考法】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
函
数
与
基
本
初
等
第 函
6
数 讲
函
数
的
图
像
10
f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数，当
x  0 时， f ( x ) =
 8
x
,
2
0
x

, x
x


2
2
，则下列叙述正确的有（ ）
A． f ( − 1 ) = − 8
B．当x x −2时，有
1 2
f ( x
1
)  f ( x
2
)
C．当 0  x  a 时， f ( x ) 的最小值为4，则 a  2
D．若关于 x 的方程 f ( x ) = k x 有实数根，则所有实数根之和为零
题型6 利用函数的图象解不等式
例6-1（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数 f ( x ) =
a
x
x
+
+ 1
b
的图象如图所示，则关于x的不等式
f ( x )  a + b 的解集为（ ）
A． ( ,1 )  − B． ( −  , − 1  C．  0 ,1 ) D．  − 1 ,1 )
【变式训练6-1·变考法】（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数 f ( x ) 的定义域是 ( 0 , 3 ) ，其图象如图
所示，则不等式 ( 2 x − 4 ) f ( x )  0 的解集是（ ）
A． ( 0 ,1 ) B． ( 1 , 2 )
C． ( 0 , 2 ) D．(1,3)
【变式训练6-2·变载体】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，
已知函数y= f (x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，
则不等式 f ( x )  f ( − x ) + x 的解集为_____．
题型7 函数图象的实际应用
例7-1一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之
间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
函
A． B． 数
与
基
本
初
等
第
函
6
讲 数
C． D．
函
数
的
图
像
例7-2【新情境】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从
某时刻开始的15分钟内的速度
11
崇文翰墨
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v ( x ) 与时间 x 的关系，若定义“速度差函数” u ( x ) 为时间段  0 , x  内的最大
速度与最小速度的差，则 u ( x ) 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中d轴
表示该学生离家的距离，t轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（ ）
A． B．C． D．
函
数
与 【变式训练7-2·变情境】（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自
基
本 己种植的西红柿的销售量
初
等
第
函
6
数 讲
函
数
的
图
像
12
y （千克）随时间 x （天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大
约卖出了西红柿________千克．
【变式训练7-3·原创题】如图，直线 l 在初始位置与等边VABC的底边重合，之后 l 开始在平面上按逆时
针方向绕点A匀速转动（转动角度不超过 6 0  ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函
数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
真题训练
1. （2026·天津·高考真题）函数 f ( x ) 部分图象如图所示，则 f ( x ) 的解析式可能为（ ）
A. x+sinπx B. x−sinπx C. −x+sinπx D. xsinπx
的2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数y=9x的图象，只需把函数
函
数
与
基
本
初
等 第
函
6
讲 数
函
数
的
图
像
13
崇文翰墨
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y = 3 x 的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
1
C．纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
3
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 x [ 0 , 2 ]  Î
 
时，曲线y=sinx与y=2sin3x− 的交点个数为（ ）
 6
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 f ( x ) = − x 2 + ( e x − e − x ) s in x 在区间[−2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·高考真题）已知函数 f (x)的部分图象如下图所示，则 f ( x ) 的解析式可能为（ ）
A．
5 e x
x
−2
+
5 e
2
− x
B．
5
x
s in
2 +
x
1
5ex+5e−x
C． D．
x2+2
5
x
c o2 s
+
x
1
6．（2023·北京·高考真题）设 a  0 ，函数 f ( x ) =
 x
−
+
a
2
2
x
,
−
−
x
x
1

2
,
− a
, − a
x 
,
a

.
x  a , ，给出下列四个结论：
① f ( x ) 在区间(a−1,+)上单调递减；
②当 a  1 时， f(x)存在最大值；
③设M(x, f (x ))(x a),N(x , f (x ))(x a)，则|MN|1；
1 1 1 2 2 2
④设P(x , f (x ))(x −a),Q(x , f (x ))(x −a)．若
3 3 3 4 4 4
| P Q | 存在最小值，则a的取值范围是  0 , 1
2
 ．
其中所有正确结论的序号是 ．