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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 12 讲 函数的图像（精讲）
①画函数的图像
②已知解析式选图像
③已知图像选解析式
④函数图像的平移、对称、伸缩变换
⑤函数图像的其他应用
一、必备知识整合
一、基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
二、描点法作图要点
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
三、函数图像变换
（1）平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
（2）对称变换
①y＝f (x)的图象―――――――→y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象――――――――→y＝f (－x)的图象；③y＝f (x)的图象―――――――――→y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象――――――――――→y＝log x(a＞0且a≠1)的图象．
a
（3）含绝对值的对称变换
① 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻折上来
得到的（如图（a）和图（b））所示
② 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对称得到函
数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对称图形，然后擦去
轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，擦去 轴左方的图像，然后做出 轴
右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
（4）伸缩变换
① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩短 到原来
的 倍得到．
② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长 或缩短 到原来
的 倍得到．
1.若
f(m+x)=f(m−x)恒成立，则 y=f(x)的图像关于直线x=m对称．
2.设函数
y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x−m)与 y=f(m−x)(m>0)的图象关于直线x=m对
称．
a+b
x=
3.若 f(a+x)=f(b−x)，对任意x∈R 恒成立，则 y=f(x)的图象关于直线 2 对称．
4.函数 与函数 的图象关于直线 对称．
5.函数.. ..与函数 的图象关于直线 对称．6.函数 与函数 的图象关于点 中心对称．
7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
二、考点分类精讲
【题型一 画函数的图像】
作函数图象的两种常用方法
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象
(1) ；
(2) .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）（2）把函数表达式写成分段函数的形式，进一步把每一段函数图象画出来即可.
【详解】（1）由题意 ，其图象如图所示：（2）由题意 ，其图象如图所示：
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（ ）|x|；
② y＝|log （x＋1）|；
2
③ y＝ .
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【详解】
解：（1） ① 把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图．
② 保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的
图象，如图．③ 把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图．
④ 结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图．
⑥ 把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图．
（2） ① 作出y＝（ ）x（x≥0）的图象，再将y＝（ ）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左
侧，即得y＝（ ）|x|的图象，如图①中实线部分．
② 将函数y＝log x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y
2
＝|log （x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
2
③ 因为y＝ ＝2＋ ，故函数图象可由y＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长
度得到，如图③.【考查意图】
基本的函数图象变换．
2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数 .
(1)画出函数 的图象；
(2)当 时，求实数 的取值范围，
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象；
（2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）因为 ，所以 的图象如图所示：（2）由题可得 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以实数 的取值范围为
【题型二 已知解析式选图像】
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南大理·期中）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用函数 的定义域 ，以及 时， 且 ，结合选项，
即可求解.
【详解】由函数 ，可得函数 的定义域为 ，且 ，
故排除B,C,当 时， 且 ，排除A.
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数 的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的定义域可排除B；求出 的奇偶可排除C，D.【详解】因为函数 的定义域为 ，解得： ，故B错误.
，则函数 为奇函数，故C，D错误；
故选：A.
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的
特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两
边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，
彼此相互依存.已知函数 ，则 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，排除选项B､D，再举特殊区间，排除C即可.
【详解】对于 ，
因为 ，所以 定义域为R，
又
，
所以函数 为奇函数，排除B､D：当 时，总有 ， ，
当 时， ， ，所以 ，排除C，
故选：A.
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】取特值可排除B，C；判断 为奇函数可排除D，即可得出答案.
【详解】当 时， ，故排除选项C；
当 时， ，故排除选项B；
令 ，则 在 上恒成立，
函数 在区间 上是奇函数，其函数图象关于原点对称，
故排除选项D，A选项正确.
故选：A.
4．（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 时 的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】 ，
因为当 时， 都为增函数，
所以， 在 上单调递增，故B，C错误；
又因为 ，
所以 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
5．（2024·四川·模拟预测）函数 的大致图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域及特殊值的函数值的符号判断即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，故排除B项、D项，
又因为 ，故排除C项.
故选：A.
【题型三 已知图像选解析式】
【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证 的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，且 ，
对于A， ，为偶函数，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，为奇函数，当 时， ，
因为 ， 在 为单调递增函数，所以 在 单调递增，故C正确；
对于D，当 时， ， ，所以 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，故D错误，
故选：C.
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据 排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在 处无意义，故A错误；
对于B： 的定义域为 ，故B错误；
对于C： 的定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故C错误；
对于D， 满足图中要求，故D正确.
故选：D.
2．（2024·广东广州·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A， ，为奇函数，排除；
对于B， ，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 ，不是R，舍去，故D正确.
故选：D3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得 为奇函数，即可排除B、D，由函数在 上的函数值的特征排除A.
【详解】由图可知 的图象关于原点对称，则 为奇函数，
对于A ： 定义域为 ，
当 时 ， ，所以 ，不符合题意，故A错误；
对于B： 定义域为 ，
且 ，
所以 为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误；
对于D： 定义域为 ，
且 ，
所以 为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误；
对于C： 定义域为 ， ，
所以 为奇函数，且当 时 ， ，所以 ，符合题意，故C正确；
故选：C
4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华
氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺
形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题
的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函
数图象的特征．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.
【详解】由函数图象可知， 的图象不关 轴对称,
而 ， ，
即这两个函数均关于 轴对称，则排除选项 、 ；
由指数函数的性质可知 为单调递增函数， 为单调递减函数，
由 的图象可知存在一个极小的值 ，使得 在区间 上单调递增，
由复合函数的单调性可知， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，
由图象可知 符合题意，故选： .
5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家
园 ”一首婉转动听的 美丽惠州 唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图 是惠州市风景
优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作
由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B,D;求得C,D中函数的最大值可排除C，即可.
【详解】由图可知，“心形”关于 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数 和 都不满足，故排除B、D；
的图象过点 ， ， ，
且 时， ，当且仅当 时，等号成立，
即函数 的最大值为 ，又“心形”函数的最大值为 ，故排除 ；
由 的图象过点 ， ， ，且 时，
，当 时，等号成立，
即函数 的最大值为 ，满足题意，故C满足．
故选： ．6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点．点 沿着边
， 与 运动，记 ．将动点 到 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图
像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】借助排除法，计算 、 可排除C、D，计算 时的情况可得 时图像不是
线段，可排除A.
【详解】由题意可得 ， ，
故 ，由此可排除C、D；
当 时点 在边 上， ， ，
所以 ，可知 时图像不是线段,可排除A，故选B．故选：B.
【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图
象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【分析】先变形得到 ，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.
【详解】 ，
故 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到 .
故选：A
一、单选题
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【分析】先变形得到 ，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.
【详解】 ，故 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到 .
故选：A
2．（2024·北京西城·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象再关于 轴对称，
得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数 的解析式.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为 ，
则函数 的图象再关于 轴对称得函数 .
故选：D.
3．（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【分析】
首先判断函数 为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【详解】函数 的定义域为 ，又 ，
所以 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
又 的图象是由 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A4．（2024·重庆·三模）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先推导出 ，即函数 的对称中心为 ，再根据函数的平移只需将
函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位，得到函数 ，则该函数关于 对称，即
可判断.
【详解】因为 定义域为 ，
则 ，所以函数 的对称中心为 ，
所以将函数 向右平移 个单位，向上平移 个单位，得到函数 ，
该函数的对称中心为 ，故函数 为奇函数.
故选：A.
5．（22-23高二上·贵州遵义·期末）已知函数 的图象如下图所示，则 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先由函数 的图象变换得到偶函数 的图象，再根据平移变换得到 的图象.
【详解】在 轴左侧作函数 关于 轴对称的图象，得到偶函数 的图象，
向左平移一个单位得到 的图象.
故选：A.
6．（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大
为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，
所以 ，即 ，
将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式 ，
因为所得图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，
所以 ，又 且 ，
解得 ，故选：D
【题型五 函数图像的其他应用】
函数图像的其他应用
1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象
(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致
图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的
图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横
坐标．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数 若函数 图象
与直线 有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出函数 的图象，结合图象求解即可.
【详解】将 的图象向下平移1个单位得到 ，再将 的图象的 轴下方的图象以 轴为
对称轴翻转至 轴上方可得到 ，
将 的图象向右平移1个单位得到 ，所以 的图象如图所示，
由图可知，当 时，函数 与 图象有且仅有三个不同的交点.
故选：B.
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对
称，则 （ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】利用函数 图象上取点，求得关于对称直线的对称点，代入函数 求得参数值，再检
验即得.
【详解】依题意，在函数 的图象上取点 ，点 关于直线 的对称点 必在函数
的图象上，
则有 ，解得 ，此时函数 即 ，相当于将函数 的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意.
故选：D.
2．（2024·广东江门·二模）若函数 的图象与圆 恰有4个公共点，则 的解析式可以为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.
【详解】作出 的图象，如图1所示，
作出 的图象，如图2所示，由图可知， 满足题意．
故选：D.
3．（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先画出函数 的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】因为 ，令 ，作出 图象，如图所示，令 ，由图知，要使对任意的 都有 恒成立，则必有 ，
当 时， ，由 ，消 得到 ，
由 ，得到 ，即 ，由图可知 ，
故选：B.
4．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在 上的 满足对 ，关于
的方程 有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，对 化简得 ，即 ，
画出 图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于 的方程 可化简为 ，
即 有7个不同的根，画出 的图象，观察可以看出当 有4个不同的根，
故只需 有3个不同的根即可，所以 .
故选：A.
二、多选题
5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 是偶函数 D．函数 是增函数
【答案】BC
【分析】根据对数函数真数大于0求解定义域判断A，根据偶函数定义判断C，根据函数图象判断BD.
【详解】要使函数 有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 是定义域为 的偶函数，
故选项A错误，C正确；
作出函数 的图象，如图：
由图象可知，函数 的值域为 ，也可根据偶函数性质易得函数 的值域为 ，故选项B正确；
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故选项D错误.
故选：BC
6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的值域为
B．若 有 个零点，则 或
C．若 有 个零点，则 或
D．若 的 个零点分别为： ， ， ，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】作出分段函数 的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于 的零点问题，可
以转化成 与 的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就 这条等高线
确定函数零点 ， ， 对应的函数值得到 ，结合 即得 的取
值范围.
【详解】
对于A选项，先作出 的图象如图，可得 时， ； 时，.
则 的值域为 ，故A项正确；
对于B选项，由 ，即 ，由图知当 或 时， 与 只有一个交点，
即 有一个零点，故B项错误；
对于C选项，同理由图知，当 或 时， 与 有两个交点，即 有两个零
点，故C项正确；
对于D选项，如图，当 时， 与 有三个交点，即 有三个零点 ， ，
，
则 ,且 ,则 ，于是 ，
因 ，可得 ，故 .故D项正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函
数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解.
