文档内容
第 06 讲 函数的图象
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：掌握基本初等函数的图像.........................................................................................................................4
知识点2：函数图像作法..............................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：由解析式选图（识图）................................................................................................................................7
题型二：由图象选表达式............................................................................................................................................9
题型三：表达式含参数的图象问题..........................................................................................................................13
题型四：函数图象应用题..........................................................................................................................................18
题型五：函数图象的变换..........................................................................................................................................21
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值..................................................................................................24
题型七：利用函数的图像解不等式..........................................................................................................................27
题型八：利用函数的图像求恒成立问题..................................................................................................................30
题型九：利用函数的图像判断零点的个数..............................................................................................................34
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05课本典例·高考素材........................................................................................................................42
06易错分析·答题模板........................................................................................................................45
易错点：图像的变换问题..........................................................................................................................................45
答题模板：图像的变换问题......................................................................................................................................45考点要求 考题统计 考情分析
基本初等函数的图像是高考中的重要考
点之一，是研究函数性质的重要工具．高考
2024年全国甲卷第7题，5分
中总以一次函数、二次函数、反比例函数、
2024年I卷第7题，5分
（1）函数图像的识别 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等
2023年天津卷第4题，5分
（2）函数图像的应用 的图像为基础来考查函数图像，往往结合函
2022年天津卷第3题，5分
（3）函数图像的变换 数性质一并考查，考查的内容主要有知式选
2022年全国乙卷第8题，5分
图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图
2022年全国甲卷第5题，5分
像判断方程解的个数，属于每年必考内容之
一．
复习目标：
（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
（2）会画简单的函数图象.
（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识点1：掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函
数．
【诊断自测】函数 的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的定义域为 ，解得： ，故B错误.
，则函数 为奇函数，故C，D错误；
故选：A.
知识点2：函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得到的；
②函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位得到的；
③函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向上平移 个单位得到的；
④函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向下平移 个单位得到的；
（2）对称变换
①函数 与函数 的图像关于 轴对称；
函数 与函数的图像关于 轴对称；
函数 与函数 的图像关于坐标原点 对称；
②若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有
或 （实质上是图像上关于直线 对称的两点连线的中点横坐标
为 ，即 为常数）；
若 函 数 的 图 像 关 于 点 对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 都 有
③ 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻
折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对称得
到函数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对称图形，然后擦
去 轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，擦去 轴左方的图像，然后做
出 轴右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数 与 的图像关于 对称．
（3）伸缩变换① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩短 到
原来的 倍得到．
② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长 或缩短 到
原来的 倍得到．
【诊断自测】若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．直线 对称
C．直线 对称 D．直线 对称
【答案】C
【解析】因为函数 的图象是 的图象向右平移1个单位得到的，
的图象是 的图象也向右平移1个单位得到的；
又因为 与 的图象是关于 轴（直线 ）对称，
所以函数 与 的图象关于直线 对称.
故选： .
解题方法总结
（1）若 恒成立，则 的图像关于直线 对称．
（2）设函数 定义在实数集上，则函数 与 的图象关于直线
对称．
（3）若 ，对任意 恒成立，则 的图象关于直线 对称．
（4）函数 与函数 的图象关于直线 对称．
（5）函数 与函数 的图象关于直线 对称．
（6）函数 与函数 的图象关于点 中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．题型一：由解析式选图（识图）
【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 可知， ，即 ，显然该函数定义域关于原点对称，
由 可知，函数为奇函数，排除B, D两项，
又 ，排除A项，故C项正确.
故选：C.
【典例1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】当 时， ，故排除选项C；
当 时， ，故排除选项B；
令 ，则 在 上恒成立，
函数 在区间 上是奇函数，其函数图象关于原点对称，
故排除选项D，A选项正确.
故选：A.
【方法技巧】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选
出正确答案.
【变式1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 定义域为 ，即定义域关于原点对称，
且 ，
所以 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
注意到当 时，有 ，即 ，
此时函数图象位于 轴下方，故排除A，经检验B选项符合题意.
故选：B.
【变式1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，
因为当 时， 都为增函数，
所以， 在 上单调递增，故B，C错误；
又因为 ，
所以 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
题型二：由图象选表达式
【典例2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的大致图象如图所示，则 的解析式
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为 ，与图象不符，故A错误；
对于选项B：因为 ，与图象不符，故B错误；
对于选项C：因为 ，与图象不符，故C错误；
故选：D.
【典例2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于B，当 时， ，易知 ， ，
则 ，不满足图象，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，
又 ，则 的图象关于 轴对称，故C错误；
对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项A， 满足图中性质，故A正确.
故选：A.
【方法技巧】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
【变式2-1】（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，且 ，
对于A， ，为偶函数，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，为奇函数，当 时， ，
因为 ， 在 为单调递增函数，所以 在 单调递增，故C正确；
对于D，当 时， ， ，所以 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，故D错误，
故选：C.
【变式2-2】（2024·湖南·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当 时， ，
而对于D选项，当 时， ，故排除D.
故选：A.
【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象可得函数 为偶函数，且 ， ，当且仅当 时， ，
对于A，因为 ， ，所以函数 是偶函数，又
， ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，故解析式可能为A，故A正确；
对于B，由 ，不合题意，故B错误；
对于C，因为 ，所以 且 ，
所以函数 是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由 ，不合题意，故D错误.
故选：A.题型三：表达式含参数的图象问题
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，
在同一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四象限且递增，故
A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且 ，则 .
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符
合，B, D项均符合.
故选：C.
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 （其中
）的部分图象如图所示，则（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】选项A，B，C：由题意知
，
令 ，解得 或 或 ，
由题图可知函数 的一个极值点位于区间 ，
因此 ，又 ，所以 ，故 ，因此A，B正确，C错
误.
选项D：由题图可知 ，
若取 ，则 ，解得 ，因此D错误.
故选：AB
【方法技巧】
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，
以得出正确选项．
【变式3-1】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意可知，函数 的定义域为 ，当 时， ，函数 在 上单调递增，故B正确；
当 时， ， ，所以在 上单调递增，故D正确；
当 时，当 时， ；当 时， ；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
【变式3-2】（多选题）函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】当 时， 是偶函数，当 时， 为减函数，此时对应图象可能是C；
当 时， ，令 得 ， 为非奇非偶函数，且 ，
令 其对应方程的 ，设其对应方程的两根分别为 ， ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
即函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是
B；
当 时， 为非奇非偶函数， 在 处无定义，
取 时 且 单增，
时 且 单增， 时 单增，
此时对应图象可能是D；
对于A，由于图象无间断点，故 ，但此时 在 上不可能恒正，故选：BCD.
【变式3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数 的大致图像可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，故 定义域为 .
， ，
因为 时， 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增.
当 时， ，此时 为奇函数，故选项B正确；
当 时， ，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当 时，由 ，得 ，又 ，
所以 ，即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
综上可知， 在区间 上不严格单调递减，故选项A不正确；
当 时， ，此时 为偶函数，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.【变式3-4】（多选题）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】①当 时， ，
当 时， 是定义在R上的奇函数，当 时， ， ，
函数 在 上递减，在 上递增，
因此 在 上递增，在 上递减，A可能；
当 时， 是定义在 上的奇函数，
当 时， ， ，函数 在 上递增，
则 在 上递增，当 时， ，同理 在 上递增，B可能；
②当 时， 的定义域为 ， ， 为偶函数，
若 时，当 时， （注意 ），
当 时， ，则C不可能；
若 时，当 时， ，当 时， ，则D可能.
故选：ABD题型四：函数图象应用题
【典例4-1】如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点．点 沿着边 ， 与
运动，记 ．将动点 到 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，
故 ，由此可排除C、D；
当 时点 在边 上， ， ，
所以 ，可知 时图像不是线段,可排除A，故选B．
故选：B.
【典例4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 在边长为1的正方形边上运动， 是 的中点，
当点 沿 运动时，点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是
（ ）A． B．
C． D．
E．均不是
【答案】A
【解析】当点 在 上时， ，
当点 在 上时，
，
当点 在 上时， ，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
【方法技巧】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 在初始位置与等边 的底边重合，之后 开始在
平面上按逆时针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 是时
间 的函数．这个函数的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形，可得 ，
设等边 的边长为 ，且 ，其中 ，
可得 ，
又由 的面积为 ，可得 ，
且 ，
则 的面积为 ，
令 ，其中 ，
可得 ，所以 为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当 时，函数 取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C符合题意.
故选：C.【变式4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿
运动， 表示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数
的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，是一条过原点的线段；
当 时， ，是一段平行于 轴的线段；
当 时， ，图象为一条线段.
故选：A．
题型五：函数图象的变换
【典例5-1】（2024·北京西城·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象再关
于 轴对称，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为 ，
则函数 的图象再关于 轴对称得函数 .
故选：D.
【典例5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好
与函数 的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，
所以 ，即 ，
将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式 ，
因为所得图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ，
所以 ，又 且 ，
解得 ，
故选：D
【方法技巧】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图
象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于点 对称 D．关于点
对称
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 的图象关于原点对称，
函数 的图象可由 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A.
【变式5-3】已知函数 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，将 的图象关于 轴对称后再向下平移 个单位即得图2，
又将 的图象关于 轴对称后可得函数 ，
再向下平移 个单位，可得
所以解析式为 ，
故选：C.
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 .若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】画出 的图象如下图所示，
令 ，则 ，
且 ，则 ，
所以 且 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值为 ．
故选：D.【典例6-2】用 表示a，b，c三个数中的最小值，则函数
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在一个坐标系中画出 的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小
的点构成新的图像，如图：
其中A点，即 与 的交点，其纵坐标即为所求
联立 ，解得 ，
函数 的最大值为3
故选：C.
【方法技巧】
利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取
得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．
【变式6-1】已知 ，设函数 在区间 上的最大值为 .若
，则正实数 的最大值为 .
【答案】【解析】画出 的图象如下：
故 ，
由图象可知，当 时， 取得最小值，最小值为 ，
此时 ， ，
则 ①，
故只需要 ②，
将①代入②得 ，
化简得 ，解得 ，
故正实数 的最大值为 .
故答案为：
【变式6-2】对 ， ，记 ，则函数 的最小值
为 ．
【答案】 /1.5
【解析】函数 是函数 与函数 同一个 取得的两个函数
值的较大的值，
作函数 与函数 的图象如下，由图象可知，令 ，得 或 ，
故当 时， 的最小值为 ．
故答案为： ．
题型七：利用函数的图像解不等式
【典例7-1】已知函数 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 或 ，
解得 或 或 .
令 ，则 或 ，
解得 或 .
画出函数 图象的草图（如图），得满足 的 的取值范围为 .
故选:D.【典例7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 ，则
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意当 时, ，
当 时, ,
作出函数 的图象如图，
在同一坐标系中作出函数 的图象，
由图象可得不等式 解集为 ，
故选：C
【方法技巧】
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案.
【变式7-1】已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 即为 ，
当 时， ，故 无解，
当 时， 即为 ，
在同一平面直角坐标系下画出 和 的大致图像如图，
由图可得当且仅当 时， ，
综上所述， 的解为 ，又 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
当 时， ，
故 ，解得： ，所以 ，
综上所述，不等式 的解集是 .
故选：D.
【变式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数 ， ，则不等式
的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知 在同一坐标系下画出 ，
图象如下所示：
由图可知 的解集为 .
故选：A.
题型八：利用函数的图像求恒成立问题
【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ，作出 图象，如图所示，
令 ，由图知，要使对任意的 都有 恒成立，则必有 ，
当 时， ，由 ，消 得到 ，
由 ，得到 ，即 ，由图可知 ，故选：B.
【典例8-2】已知函数 设 若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，令 ，函数 的图象如图所示，
当函数 的图象经过点 时，得 .
当 的图象与 的图象相切时，
由 ，得 ，结合图形，由 得 .
若不等式 在R上恒成立，
当 时，需满足 ，即 ，
当 时，需满足 ，即 ，
所以 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
【方法技巧】
先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得
出参数的范围．
【变式8-1】已知函数 的定义域为 ,满足 ,且 时, .若
,都有 ,则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时, ,
因为 ,且 时, ,
所以 ;
当 时, ,
所以 ;
因为 ,
当 时, ,
所以 ;
所以 ,得 ,
由此做出函数图像得:
当 时, ,解得 或 ,
结合图像得 的解为: 或 ,
因为 ,都有 ,
所以 .
故选:B.
【变式8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当时， .若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为当 时， ； ，
所以 ，即若 在 上的点的横坐标增加2，则对应 值变为原来的 ；若减少2，则
对应 值变为原来的2倍.
当 时， ， ，
故当 时，对任意 ， 不成立，
当 时， ，
同理当 时， ，
以此类推，当 时，必有 .
函数 和函数 的图象如图所示：
因为当 时， ，
令 ，解得 ， （舍去），
因为当 时， 成立，所以 .
故选：A.题型九：利用函数的图像判断零点的个数
【典例9-1】（2024·高三·重庆渝中·期中）已知函数 ，若方程 有两个不相
等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 有两个不相等的实数根，
令 ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
且 ，当 时， 恒成立，
当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
且 ，
画出 的图象如下：要想 有两个不相等的实数根，则 ，
故 有两个不相等的实数根，则 .
故选：A
【典例9-2】设函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设函数 ，令 ，即 ，
所以问题转化为 ， 有3个交点；
在坐标系内，作出函数 的图像如下所示，
结合图象可知， ，故实数 的取值范围为 .
故选：B
【方法技巧】
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程
解的个数．
【变式9-1】设函数 ，若 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，函数 单调递增，函数值集合为 ，
当 时，函数 单调递减，函数值集合为 ，
当 时，函数 单调递增，函数值集合为 ，
作出函数 的图象与直线 ，如图，观察图象知，当 时，函数 的图象与直线 有3个交点，
所以 有三个不同的实数根，实数 的取值范围是 .
故选：C
【变式9-2】（多选题）已知 ，若 恰有3个零点，则 的可能
值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】AD
【解析】由 得 ，作出函数 ， |的图像，如图所示．
当 ，满足条件，
当 时，此时 与 有三个交点，
故符合条件的 满足 或 ．
故选：AD
【变式9-3】已知 ，定义： ，设 .若函数
有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令函数 ，显然函数 在 上单调递增，
而 ，则当 时， ，当 时， ，
于是函数 ，则 ，令函数 ，由 ，得 ，
因此函数 的零点，即函数 的图象与直线 交点的横坐标，
当 ，恒有 ，在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
观察图象知，当 ，即 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，
如图，直线 过点 ，它与 的图象交于两点 ，当 时， ，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
所以函数 有两个零点，实数 的取值范围是 .
故选：A
【变式9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数
,若 至少有3个不同的解,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解:由题知 ,
记 ,
所以 图象为 图象靠下的位置,
因为 ,有两个根,分别为 或 ,若 至少有3个不同的解,
则 有一个解或者两个解,
即 ,
解得 或 ,
当 时, ,
所以对称轴为 ,
若 至少有3个不同的解,
画 大致图象如下:
根据图象则需满足 ,即 ,
解得 ;
当 时, ,
所以对称轴为 ,
此时 大致图象如下:
根据图象则需满足 ,即 ,
解得 ,又因为 ,
故 ,
当 时, ,
解得根为-1,因为 的根为-1,1,此时 的根为-1,1,
不满足有三个根,故舍去,
综上: .
故选:B
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 在区间 的大致图像为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
3．（2023年天津高考数学真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；故选：D
4．（2022年新高考天津数学高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.1．已知函数 .
（1）求函数 的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数 的图象；
（3）求函数 的零点（精确度为0.1）
【解析】（1）由题意得：
（2）函数图象如下图所示：
（3）由图象可知，函数 分别在区间 和区间 内各有一个零点
取区间 的中点 ，用计算器可算得
再取 的中点 ，用计算器可算得
同理可得： ，
因为
原方程在区间 内的近似解可取为
同理可求得函数在区间 内的零点可取为
函数 满足精确度 的零点为 或
2．如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的面积为 .试求函数
的解析式，并画出函数 的图象.【解析】（1）当 时，
如图，设直线 与 分别交于 、 两点，则 ，
又 ， ，
（2）当 时，
如图，设直线 与 分别交于 、 两点，则 ，
又 ，
（3）当 时，
综上所述3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变
量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
【解析】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；
题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.
从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；
而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线.
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根
据图象，说明这两种建议是什么吗？【解析】（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量
为1.5时，公司收支持平；
射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.
（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.
易错点：图像的变换问题
易错分析： 平移变换是高中数学图像变换中的基础，包括左右平移和上下平移.在平移过程中，学生
常常会出现平移方向或平移单位长度的误判.学生在对称变换方面的易错点主要是对称关系的混淆.伸缩变
换主要涉及图像的横向和纵向拉伸或压缩，学生在这方面的易错点主要是伸缩比例的理解和应用.翻折变换
主要涉及图像沿x轴或y轴的翻折，在这方面的易错点主要是翻折轴的选择和翻折后的图像判断.
答题模板：图像的变换问题
1、模板解决思路
仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。
2、模板解决步骤
第一步：确定变换类型，理解变换规则
第二步：分析函数表达式，绘制草图
第三步：应用变换规则，验证结果
【易错题1】已知函数 ，则 的图象是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】设 ，则 ，从而排除ABD.
故选：C
【易错题2】要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【解析】 ，
故 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到 .
故选：A
