文档内容
第 06 讲 函数的图象
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：掌握基本初等函数的图像.........................................................................................................................4
知识点2：函数图像作法..............................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：由解析式选图（识图）................................................................................................................................6
题型二：由图象选表达式............................................................................................................................................7
题型三：表达式含参数的图象问题............................................................................................................................9
题型四：函数图象应用题..........................................................................................................................................12
题型五：函数图象的变换..........................................................................................................................................14
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值..................................................................................................15
题型七：利用函数的图像解不等式..........................................................................................................................16
题型八：利用函数的图像求恒成立问题..................................................................................................................17
题型九：利用函数的图像判断零点的个数..............................................................................................................18
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................19
05课本典例·高考素材........................................................................................................................20
06易错分析·答题模板........................................................................................................................22
易错点：图像的变换问题..........................................................................................................................................22
答题模板：图像的变换问题......................................................................................................................................22考点要求 考题统计 考情分析
基本初等函数的图像是高考中的重要考
点之一，是研究函数性质的重要工具．高考
2024年全国甲卷第7题，5分
中总以一次函数、二次函数、反比例函数、
2024年I卷第7题，5分
（1）函数图像的识别 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等
2023年天津卷第4题，5分
（2）函数图像的应用 的图像为基础来考查函数图像，往往结合函
2022年天津卷第3题，5分
（3）函数图像的变换 数性质一并考查，考查的内容主要有知式选
2022年全国乙卷第8题，5分
图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图
2022年全国甲卷第5题，5分
像判断方程解的个数，属于每年必考内容之
一．
复习目标：
（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
（2）会画简单的函数图象.
（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识点1：掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函
数．
【诊断自测】函数 的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；
④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向左平移 个单位得到的；
②函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向右平移 个单位得到的；
③函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向上平移 个单位得到的；④函数 的图像是把函数 的图像沿 轴向下平移 个单位得到的；
（2）对称变换
①函数 与函数 的图像关于 轴对称；
函数 与函数的图像关于 轴对称；
函数 与函数 的图像关于坐标原点 对称；
②若函数 的图像关于直线 对称，则对定义域内的任意 都有
或 （实质上是图像上关于直线 对称的两点连线的中点横坐标
为 ，即 为常数）；
若 函 数 的 图 像 关 于 点 对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 都 有
③ 的图像是将函数 的图像保留 轴上方的部分不变，将 轴下方的部分关于 轴对称翻
折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ 的图像是将函数 的图像只保留 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 轴对称
得到函数 左边的图像即函数 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： 的图像先保留 原来在 轴上方的图像，做出 轴下方的图像关于 轴对称图形，然后擦
去 轴下方的图像得到；而 的图像是先保留 在 轴右方的图像，擦去 轴左方的图像，然后做
出 轴右方的图像关于 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数 与 的图像关于 对称．
（3）伸缩变换
① 的图像，可将 的图像上的每一点的纵坐标伸长 或缩短 到原
来的 倍得到．
② 的图像，可将 的图像上的每一点的横坐标伸长 或缩短 到
原来的 倍得到．
【诊断自测】若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于（ ）A．直线 对称 B．直线 对称
C．直线 对称 D．直线 对称
解题方法总结
（1）若 恒成立，则 的图像关于直线 对称．
（2）设函数 定义在实数集上，则函数 与 的图象关于直线
对称．
（3）若 ，对任意 恒成立，则 的图象关于直线 对称．
（4）函数 与函数 的图象关于直线 对称．
（5）函数 与函数 的图象关于直线 对称．
（6）函数 与函数 的图象关于点 中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
题型一：由解析式选图（识图）
【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【方法技巧】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选
出正确答案.
【变式1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型二：由图象选表达式
【典例2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的大致图象如图所示，则 的解析式
可能为（ ）A． B．
C． D．
【典例2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
【变式2-1】（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·湖南·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B． C． D．
题型三：表达式含参数的图象问题
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，
在同一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）A． B．
C． D．
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 （其中
）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，
以得出正确选项．
【变式3-1】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式3-2】（多选题）函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数 的大致图像可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（多选题）函数 的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
题型四：函数图象应用题
【典例4-1】如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点．点 沿着边 ， 与
运动，记 ．将动点 到 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 在边长为1的正方形边上运动， 是 的中点，
当点 沿 运动时，点 经过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【方法技巧】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 在初始位置与等边 的底边重合，之后 开始
在平面上按逆时针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 是
时间 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【变式4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿
运动， 表示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数 的
大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
题型五：函数图象的变换
【典例5-1】（2024·北京西城·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象再关
于 轴对称，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数 ，函数 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好
与函数 的图象重合，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于点 对称 D．关于点
对称
【变式5-3】已知函数 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 .若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【典例6-2】用 表示a，b，c三个数中的最小值，则函数
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．
【变式6-1】已知 ，设函数 在区间 上的最大值为 .若
，则正实数 的最大值为 .
【变式6-2】对 ， ，记 ，则函数 的最小值为
．
题型七：利用函数的图像解不等式
【典例7-1】已知函数 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 ，则
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根
据题意结合图像写出答案.
【变式7-1】已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．【变式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型八：利用函数的图像求恒成立问题
【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知函数 设 若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得
出参数的范围．
【变式8-1】已知函数 的定义域为 ,满足 ,且 时, .若
,都有 ,则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， .若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
题型九：利用函数的图像判断零点的个数
【典例9-1】（2024·高三·重庆渝中·期中）已知函数 ，若方程 有两个不相
等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】设函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程
解的个数．
【变式9-1】设函数 ，若 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（多选题）已知 ，若 恰有3个零点，则 的可能
值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【变式9-3】已知 ，定义： ，设 .若函数
有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数
,若 至少有3个不同的解,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 在区间 的大致图像
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年天津高考数学真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
4．（2022年新高考天津数学高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
1．已知函数 .（1）求函数 的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数 的图象；
（3）求函数 的零点（精确度为0.1）
2．如图， 是边长为2的正三角形，记 位于直线 左侧的图形的面积为 .试求函
数 的解析式，并画出函数 的图象.
3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变
量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根
据图象，说明这两种建议是什么吗？
易错点：图像的变换问题
易错分析： 平移变换是高中数学图像变换中的基础，包括左右平移和上下平移.在平移过程中，学生
常常会出现平移方向或平移单位长度的误判.学生在对称变换方面的易错点主要是对称关系的混淆.伸缩变
换主要涉及图像的横向和纵向拉伸或压缩，学生在这方面的易错点主要是伸缩比例的理解和应用.翻折变换
主要涉及图像沿x轴或y轴的翻折，在这方面的易错点主要是翻折轴的选择和翻折后的图像判断.
答题模板：图像的变换问题
1、模板解决思路
仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。
2、模板解决步骤
第一步：确定变换类型，理解变换规则
第二步：分析函数表达式，绘制草图
第三步：应用变换规则，验证结果
【易错题1】已知函数 ，则 的图象是（ ）A． B．
C． D．
【易错题2】要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
