第05讲对数与对数函数（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 05 讲 对数与对数函数
函
知识精讲
数
与
基
知识点1 对数与对数运算
本
初
1．对数的概念 第 等
5
讲 函
（1）对数：一般地，如果
对 数
数
与
对
数
函
数
1
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a x = N ( a  0 , 且 a  1 ) ，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作x=log N ，
a
其中a叫做对数的 ，N叫做 .
（2）对数式与指数式的互化： a x = N  x = l o g
a
N .
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对
数______.
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即log 1=0；（2）底数的对数等于1，即log a=1；
a a
（3）对数恒等式alog a N = N(N 0).
3．对数的运算性质
如果a0,且a1,M 0,N 0，那么：（1） l o g
a
M + l o g
a
N = l o g
a
( M  N ) ；
（2） l o g
a
M − l o g
a
N = l o g
a
M
N
； （3） l o g
a
M n = n l o g
a
M ( n  R ) .
4．对数的换底公式
对数的换底公式： l o g
b
N =
l o
l o
g
g
c
c
N
b
( b  0 , 且 b  1 ; c  0 , 且 c  1 ; N  0 ) .
换底公式的变形及推广：
（1） l o g
a m
b n =
n
m
l o g
a
b ( a  0 且 a  1 , b  0 )
1
；（2）log b= (a0且a1;b0且b1)；
a log a
b
自主检测（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A． e 0 = 1 与 lo g
e
1 = 0
1
B． − 与
8 3 =2
lo g
8
1
2
= −
1
3
1
C．log 9=2与 D．log 7=1与71=7
3 92 =3 7
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数y=log x(a0,且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
a2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数
函
数
与
基
本
初
第
等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
2
y = l o g
a
x ( a  0 , 且 a  1 ) 的图象与性质如下表所示：
底数 a  1 0  a  1
图象
定义域
性质
( 0 ， +  )
值域 R
定点 函数图象恒过点 ( 1 ， 0 ) ，即x=1时， y = 0 .
当x1 时，
函数值的正负
y  0 ；
当0 x1时， y  0
当 x  1 时， y  0 ；
当0 x1时， y  0
单调性 在 ( 0 ， +  ) 上为增函数 在(0，+)上为减函数
函数
对称性
y = l o g
a
x 与 y = l o g
1a
x ( a  0 ， 且 a  1 ) 的图象关于 x 轴对称.
必记结论
底数a对对数函数函数图象的影响
(1)底数 a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”
当 a  1 时，对数函数的图象“上升”；
当 0  a  1 时，对数函数的图象“下降”.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低
无论是 a  1 还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
①上下比较：在直线x=1的右侧，a1时， a 越大，图象越靠近 x 轴；0a1时， a 越小，图象越靠近 x 轴；
②左右比较：比较图象与直线 y = 1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数 y=ax ( a  0 且 a  1 ）与对数函数y=log x(a0且
a
a  1 ）互为反函数，其图象关于直线
y= x对称.
自主检测（多选）已知 f (x)=log ( x2 −mx+m+3 ) 的定义域为
2027
D ，值域为 M ，则（ ）
A．若D=R，则M R
B．对任意mR，使得 f (−5)= f (−7)
C．对任意mR, f (x)的图象恒过一定点(1,2)
y
O
x = 1
( 1 ,0 )
lo g
a
x
x
y
O
x = 1
( 1 ,0 )
lo g
a
x
xD．若
函
数
与
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
3
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f ( x ) 在 ( , 3 )  − 上单调递减，则 m 的取值范围是  6 
思维拓展
拓展1 与对数函数有关的函数定义域
(1)对数函数 y = l o g
a
x 的定义域为(0，+)
f (x)0

(2)形如y =log f (x)的函数，定义域由g(x)0 来确定.
g(x)
 g(x)1

(3)形如 y = f ( l o g
a
x ) 的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.
拓展2 与对数函数有关的函数值域
(1)对数函数 y = l o g
a
x ( a  0 ， 且 a  1 ) 的值域利用函数的单调性求解.
(2)求形如 y = l o g
a
f ( x ) ( a  0 ， 且 a  1 ) 的复合函数的值域，求求 f ( x ) 的值域，然结合合函数
y=log x(a0，且a1)的性质确定函数
a
y = l o g
a
f ( x ) ( a  0 ， 且 a  1 ) 的值域.
(3)求形如 y = f ( l o g
a
x ) 的复合函数的值域，其中复合函数 f (log x)(a0，且a1) 一般是关于
a
log x(a0，且a1)的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围.
a
拓展3 与对数函数有关的函数单调性
对数型复合函数一般分为两类： y = f ( l o g
a
x ) 型和 y = l o g
a
f ( x ) 型.
(1)对于 y = f ( l o g
a
x ) ( a  0 ， 且 a  1 ) 型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令 t = l o g
a
x ，则
只需研究t =log x及
a
y = f ( t ) 的单调性即可.
(2)对于 y = l o g
a
f ( x ) ( a  0 ， 且 a  1 ) 型复合函数的单调性，首求由 f ( x )  0 确定函数的定义域，然
结判断 t = f ( x ) 在定义域上的单调性，然结合合底数a1 0a1， 来来确定 y=log f (x) 的单调
a
性，其核心是同增异减.
拓展4 与对数函数有关的函数奇偶性
由于对数函数的定义域为(0，+)，因而其本身是非奇非偶函数.但与对数函数有关且具有奇偶性的函数
却屡见不鲜.例如：
1+x
(1)函数 f (x)=log (a0，且a1)和函数
a1−x
f ( x ) = l o g
a
1
1
−
+
x
x
( a  0 ， 且 a  1 ) 均为奇函数.
(2)函数 f ( x ) = l o g
a
(
1 + b 2 x 2 + b x
)
( a  0 ， 且 a  1 ) 是奇函数.
b
(3)函数 f (x)=log ( abx +1 ) − x(a0，且a1)是偶函数.
a 2题型突破
函 题型1 对数与对数运算
数
与
例1-1若 基
本
初
第
等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
4
3 a = 5 b = 1 5 ， 则
1
a
+
1
b
= （ ）
A．1 B．log 5 C．log 3 D．2
3 5
例1-2（2026·新疆喀什·模拟）已知a0,a1， a y = 3 x ，且 y = lo g
a
x + 1 ，则 a = （ ）
A．3 B．2 C．
1
2
D．
1
3
例1-3（2026·山东泰安·模拟预测）已知3m = 2， n = lo g 3 6 ，则 n − 2 m = ____________.
方法技巧 对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
（2）对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
M
① log (MN)＝log M＋log N；②log ＝log M－log N；③log Mn＝nlog M (n∈R)．
a a a aN a a a a
【变式训练1-1·变考法】已知 a  1 ，且 lo g
a
8  lo g
a
2 = 1 − lo g
a
4 ，则 a = （ ）
A．2 8 B．
1
2
8 C．8 D．64
【变式训练1-2·变考法】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数 f ( x ) =
3
3
x
x
+ 1
，若 f ( a ) =
1
5
，则 f(−a)=
（ ）
1 2
A． B． C．
10 5 1
3
0
4
D．
5
【变式训练1-3】计算5log52+log 3log 4的值为____________.
9 2
【变式训练1-4】方程 lo g
2
( x − 5 ) = lo g
2
( x − 2 ) + 2 的解集为____________.
题型2 换底公式的应用
例2-1已知a=log 2,2b =3，则log 15=（ ）
5 2
1 1 b a
A． +b B． +a C． D．
a b a b
a lo g a N例2-2若
函
数
与
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
5
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lo g
3
a  lo g
a
b = 2 ( a  0 且 a  1 ) ，则b的值为 .
【变式训练2-1】若 lo g
2
a + lo g
a
2 = 2 ，则 a = （ ）
A．
1
2
B．1 C．2 D．4
【变式训练2-2】已知 lg 2 = a , lg 7 = b ，则 lo g
1 4
9 8 = （ ）
A．
a
a
−
+
b
b
B．
2 a
a
+
+
b
b
C．
a
a
−
+
2 b
b
D．
a
a
+
+
2 b
b
【变式训练2-3·变题型】．（2026·浙江杭州·3月质检）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“  x  0 , ln x  0 ”的否定为“x0,lnx0” B．“ x 2  1 ”是“x1”的必要条件
C．若 lo g
a
4  lo g
b
a = 2 ，则 b = 2 D． , s in ( x ) s in x s in c o s x c o s       R +  +
题型3 对数函数的概念、定义域和解析式
例3-1（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A． y = lo g
3
( x + 1 ) B．y=log x C．
π
y = lo g
2
3
x − 1 D． y = − ln x
2−x
例3-2函数 f(x)= 的定义域为（ ）
lnx
A． ( 0 ,1 )  (1 , 2 ] B． ( −  , 2 ] C． ( −  , 0 )  ( 0 , 2 ] D． ( 0 , 2 ]
例3-3已知对数函数 f ( x ) 过点
 1
4
， − 2

，则 f ( x ) 的解析式为___________； f ( x ) 在
 1
2
， 3 2

的最大值是
___________．
【变式训练3-1】已知 A =  y y = e x  ， B =  x y = lo g
2
( x + 3 ) − 2  ，则集合 ( ð
R
A ) I B = （ ）
A． R B． ( − 3 , +  ) C． ( −  , 0  D． ( − 3 , 0 
【变式训练3-2】已知函数 f ( x ) = lo g
a
( x + 2 ) ，若图象过点 ( 6 , 3 ) ，则 f (2)的值为（ ）
1
A．−2 B．2 C．1 D．−
2
【变式训练3-3·变载体】（2026·贵州毕节·一模）函数 f ( x ) = lo g
2 0 2 6
( x 2 − 1 6 x ) 的定义域为__________.
【变式训练3-4·原创题】已知函数 f ( x ) = lo g
a
 ( a 2 + 2 3 a ) x  是对数函数，则 a 1+ f (2 ) = __________．
【变式训练3-5·变考法】定义在R上的奇函数 f(x)，当 x  0 时， f ( x ) = lo g
3
( x + 3 ) + m ，则 f(−6)=
____________.
题型4 对数型函数图象过定点问题
例4-1函数 f (x)=log (x+2)+1(a0,a1)的图象经过的定点坐标为（ ）
a
A．(−2,2) B．(−2,1) C．(−1,1) D．(−1,2)例4-2函数 f(x)=log (2x−m)+n(a0，且
a
函
数
与
基
本
初
第
等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
6
a  1 ) 恒过点 (1 , 2 ) ，则 2 m − n = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式训练4-1·变考法】已知函数 y = lo g
a
( x + 3 ) − 1 （ a  0 ，a1）的图象恒过定点 A ，若点 A 也在函
数 f ( x ) = 3 x + b 的图象上，则 f ( lo g
3
2 ) = ．
【变式训练4-2·变设问】函数 y = lo g
a
( x + 3 ) − 1 （ a  0 ，且 a  1 ）的图象恒过定点 A ，若点 A 在
m x + n y + 2 = 0 上，其中 m , n  0
1 1
，则 + 的最小值为______．
m n
题型5 对数函数的图象
y =log x
例5-1函数 1 的图象大致是（ ）
5
A． B． C． D．
例5-2已知函数 y = lo g
a
( x + c ) ( a , c 为常数，其中 a  0 , a  1 ) 的图象如图，则下列合论成立的是（ ）
A． a  1 , c  1 B． a  1 , 0  c  1
C． 0  a  1 , c  1 D． 0  a  1 , 0  c  1
例5-3【新思维】（多选）如图，这是函数y= log x 和
a
y = lo g
b
x 的大致图象，其中0ab1，图象中
在点(1,0)处形成了4条曲线，从左至右分别记为 A
1
, A
2
, A
3
, A
4
，则（ ）
A． A
1
, A
3
是函数 y = lo g
a
x 的图象 B． A
1
, A
4
是函数 y = lo g
a
x 的图象
C．A,A 是函数y= log x 的图象 D．A,A是函数y= log x 的图象
2 3 b 2 4 b方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、
最低点等)排除不符合要求的选项．
函
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形合合法求解．
数
与
【变式训练5-1·变考法】（多选）函数
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
7
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f ( x ) = lo g
a
x + 1 ( 0  a  1 ) 的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2·变考法】如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． f ( x ) = ln
(
x 2 + 1 + x
)
B． f ( x ) = ln
(
x 2 + 1 − x
)
C． f ( x ) = ln x 2 + 1 + x D． f ( x ) = ln x 2 + 1 − x
【变式训练5-3·变载体】已知函数 f ( x ) =
 lo
2 x
g
−
2
x
6 x
, 0
+

9 ,
x
x


2
2
，若正实数 a , b , c , d 互不相等，且
f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) = f ( d ) ，则 a b c d 的取值范围为____________.
【变式训练5-4变考法】已知函数 f ( x ) =
 1 0
lg
x
x
,
,
x
x


0
0
，g(x)= f(x)+2x−m，若g(x)有一个零点，则m的
取值范围是（ ）
A．(−,1] B．(−,1) C． [1 , +  ) D．(1,+)
题型6 对数（型）函数的单调性
例6-1函数 f (x)=log ( x2−2x ) 的单调递增区间为（ ）
2A．
函
数
与
基
本
初
第
等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
8
( 2 , +  ) B． ( 1 , +  ) C． ( −  ,1 ) D． ( −  , 0 )
例6-2函数 f ( x ) = lo g
a
x ( 0  a  1 ) 的单调递减区间（ ）
A． ( 0 , a  B． ( 0 , )  + C． 1 , +  ) D． ( 0 ,1 
【变式训练6-1·变考法】对于实数a,b，“ a  b ”是“ lo g
5
a  lo g
5
b ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2−x
【变式训练6-2变考法】（多选）已知函数 f(x)=ln ，则（ ）
2+x
A． f ( x ) 是奇函数 B． f ( x )  0
C． f ( x ) 在 ( − 2 , 2 ) 上单调递减 D． f(x)在 ( 2 , +  ) 上单调递增
【变式训练6-3变考法】函数 y = f ( x ) ( x  R ) 的图像如图所示，则函数 g ( x ) = f ( lo g
a
x ) ( a  1 ) 的单调递
减区间是____________.
【变式训练6-4·变考法】 f ( x ) = ln c o s

2 x −
π
4

的单调递减区间为____________.
题型7 利用对数（型）函数的单调性求参数
例7-1已知函数 y = ln ( x 2 − 2 a x − 3 a 2 ) 在区间 1 , +  ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
 1
A．−,  B．
 3
( −  ,1 )
 1  1
C．−1,  D．(−1,0)0, 
 3  3
(2a−1)x+1,x1
例7-2（函数 f (x)= ，若 f (x)在
log x,x1
a
R 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．
 1
3
,
1
2

B．

0 ,
1
2

C．2,3) D． ( 2 , +  )
例7-3（【新载体】多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数 f ( x ) = lo g
a
x − 1 在区间(−,1)上单调递
增，则（ ）
A． 0  a  1 B．a1
C． f (a+2026) f (2027) D． f (a+2026) f (2027)【变式训练7-1变考法】“函数
函
数
与
基
本
初
第
等
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对 数
数
与
对
数
函
数
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f ( x ) = lg ( x 2 − a x ) 在区间 ( 2 , )  + 上单调递增”是“ a  1 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练7-2】已知函数 f(x)=lg ( x2−ax−5 ) 在(5,+)上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 4 )  − B． ( , 4   −
C． ( 4 , )  + D．4,+)
  lg ( x2+9 ) ,0x1 【变式训练7-3·变载体】已知函数 f (x)= 在区间
x2−3ax+2a,1x2
( 0 , 2 ) 上单调递增，则参数 a 的取
值范围是（ ）
A．4,+) B．  0 , )  + C．(−,4 D． ( −  , 0 
【变式训练7-4变角度】已知函数 f ( x ) = lo g
a
( x 2 − 3 a x ) 对任意的 x
1
, x
2
  1
2
, +   , x
1
 x
2
，都满足
f ( x
2
x
)
2
−
−
f
x
1
( x
1
)
 0 ，则实数a的取值范围是____________.
题型8 对数函数的最值（值域）
例8-1函数 f (x)=lg 10−2x2 的值域为（ ）
A． ( −  ,1  B． ( 0 ,1 
 1
C．0,

D．
 2

−  ,
1
2

例8-2【新思维】已知函数 f ( x ) = lo g
3
( x − 1 ) + lo g
3
( x + 1 ) ，则函数 f(x)的最小值为（ ）
A．-1 B．1 C． lo g
3
2 D． lo g
3
4
【变式训练8-1变考法】函数 f ( x ) = lo g
2
( 2 x )  lo g
8
( 8 x ) 的最小值为 .
【变式训练8-2变考法】（多选）对于函数 f ( x ) = lg ( x − 2 + 1 ) ，下列说法正确的是（ ）
A． f (x+2)是偶函数
B． f ( x + 2 ) 是奇函数
C． f (x)在区间 ( −  , 2 ) 上单调递减，在区间 ( 2 , +  ) 上单调递增
D． f ( x ) 没有最小值
【变式训练8-3变考法】已知函数 f ( x ) = lo g
a
x （a0，且 a  1 ），若函数 f (x)在区间3,a2上的最
 
大值与最小值之差为1．
(1)求函数 f (x)解析式；
x
(2)当x1,9，求函数g(x)= f   f (3x)的最值，并求出取得最值时对应的x的值；
9题型9 根据对数型函数的最值（值域）求参数
例9-1【新思维】已知函数
函
数
与
基
本
初
第 等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
10
f ( x ) =
 1
a
 x
− lo g
a
（x a  0 且a1）在 [1 , +  ) 上的值域为 [ 2 , +  ) ，则 a =
（ ）
A．4 B．2 C．
1
2
D．
1
4
例9-2【新角度】若函数 f ( x ) = lo g
a
( − 3 x 2 + 4 a x − 1 ) 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
 3 
A． ,1 B．
 
2  
(1 , 3 ) C．

0 ,
2
3 
D． ( 3 , +  )
【变式训练9-1·变考法】已知函数 f ( x ) = ln ( e 2 x − te x + 8 ) 存在最小值，则实数 t 的取值范围是（ ）
( ) ( )
A． 0,4 2 B． 1,4 2 C． ( 0 , 8 ) D． (1 , 8 )
【变式训练9-2】已知函数 f ( x ) = lo g
a
( e x − a x ) ( a  0 且 a  1 ) 的值域为 R ，则 a 的取值范围是（ ）
A．

0 ,
1
e

B．
 1
e
,1

C． ( 1 , e  D．  e , +  )
【变式训练9-3】已知函数 f ( x ) = lo g
a
( x 2 − a x + 1 ) 在区间  1
4
, 2  上有最大值 最小值，则实数 a 的取值范
围为（ ）
A．
 1
4
, 2

B．
 1
2
,1

 ( 1 , 2 ) C．
 1
4
,1

 ( 1 , 4 ) D．
 1
4
,1

 ( 1 , 2 )
【变式训练9-4·变考法】已知函数 f ( x ) = lo g
2
( x 2 − 2 a x ) 在  2 , 4  上的最小值是1，则 a = ____________.
【变式训练9-5·变载体】（2026安徽合肥·模式）已知函数 f ( x ) =
 −
lo
x
g
+
a
4
， x
，
x
x


3
3 ，
（ a  0 且a1）， 若
y = f ( x ) 有最小值， 则实数a的取值范围是____________.
题型10 比较对数的大小
例10-1已知a=lg99，b=log 10，c=100−0.01，则（ ）
3
A． c  a  b B． c  b  a C． b  a  c D． a  c  b
例10-2【新思维】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足 x  3 x = y 2 lo g
2
y = z 3 lo g
2
z = 1 ，则
（ ）
A．xyz B．zyx C．yzx D．xz y【变式训练10-1】设
函
数
与
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
11
崇文翰墨
2027新高考数学一轮总复习讲义 公众号“崇文翰墨”资料下载
a = lo g
0 .3
0 .4 ， b = lo g
0 .3
1 .1 ， c = lo g
0 .4
0 .3 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A． b  c  a B． c  b  a C． c  a  b D． b  a  c
【变式训练10-2】已知 a = e 0 .9 , b = lo g
2
9 , c = e − ln 3 ，则（ ）
A．bac B．bca C．cab D．acb
【变式训练10-3·变载体】已知函数 f (x)=log ( 2x+1 ) −x，若
2
a = f ( 2 ) , b = f

e
12 
, c = f ( π ) ，则a,b,c的
大小关系为（ ）
A． a  b  c B． c  a  b
C． b  a  c D． c  b  a
【变式训练10-4·变角度】三个数 a =
1
e
, b =
ln
2
2
, c =
ln
3
3
的大小顺序为（ ）
A． b  c  a B． b  a  c C． c  b  a D． a  b  c
【变式训练10-5·变考法】函数 y = f ( x ) 的定义域为 R ，满足：①  x  R , f ( − x ) + f ( x ) = 0 ，②任意
x
1
 x
2
，都有
f ( x
1
x
)
1
−
−
f
x
2
( x
2
)
 0 .设 a = − f

lo g
2
1
6

, b = f ( lo g
2
5 ) , c = f

1 0
12 
，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A． a  b  c B． b  a  c
C． c  b  a D．cab
题型11 解对数方程及不等式
例11-1 若实数 m 满足 ln
1
m
− 2 m + 2  0 ，则 m 的取值范围为（ ）
A． ( −  ,1 ) B． ( 0 ,1 ) C． ( 0 , )  + D． ( 1 , +  )
例11-2（2026·陕西西安·模拟）已知 f ( x ) = lo g
2
( 1 + 4 − x ) + x ，则满足 f ( 2 m − 3 )  f ( m ) 的实数m的取值
范围为（ ）
A． ( 1 , 3 )
3 
B． ,3 C．
2 
( −  ,3 ) D． ( 3 , +  )
例11-3 解不等式：
（1）log (2x+3)log (5x−6)；
2 2
（2）log (x−4)−log (2x−1)0（
a a
a  0 且a1）．方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
函
数 借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况
a
与 log x＞log b
a a
基 讨论
本
初
log x＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求解
第 a a
等
5
函 讲 【变式训练11-1】不等式log (2x+3)log (5x−6)的解集为（ ）
数 对 2 2
数
与 A．
对
数
函
数
12
( −  ,3 ) B．  − 3
2
,3  C．  − 3
2
, 6
5
 D．  6
5
,3 
【变式训练11-2】若函数 f ( x ) = ln 2
2
−
+
x
x
，则不等式 f ( − x 2 − 4 x − 2 ) + f ( 7 x )  0 的解集为（ ）
A． { ∣x 1  x  2 } B．

x 1  x 
7
2

C．

x
2
7
 x  2

D．
【变式训练11-3】（2026·江苏苏州·阶段考试）设函数 f ( x ) = lo g
2
x ，则满足 f ( x )  f ( x − 1 ) 的 x 的取值
范围是__________.
【变式训练11-4变载体】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知 f ( x ) = e x −
a
e x
+ x 是奇函数，则不等式
f ( ( lo g
2
x ) 2 ) + f ( 2 lo g
2
x − 3 )  0 的解集是____________.
【变式训练11-5·变角度】设函数 f ( x ) = lg x ，若 0  a  b 且 f ( a )  f ( b ) ，则 a b 的取值范围为
__________．
题型12 对数函数性质的综合应用
例12-1（2026·河北保定·阶段检测）（多选）已知函数 f (x)=log ( x2−2x ) ，则（ ）
3
A．函数 f ( x ) 的单调递增区间是1,+) B．函数 f ( x ) 的值域是 R
C．函数 f (x)的图象关于x=1对称 D．不等式 f (x)1的解集是(−1,3)
例12-2【新思维】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足： f (x)= f (x−6)，且当0x3时，
a+log (x+1), 0x1
f (x)= 0.5 （
 x(x−2), 1x3
a 为常数），则 f (2023)+ f (2026)的值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2例12-3已知函数
函
数
与
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
13
崇文翰墨
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f ( x ) = lo g
2
a
x
−
+
x
1
，且 f
 1
2

= − lo g
2
3 ．
(1)证明： f ( x ) 是奇函数；
(2)判断 f ( x ) 的单调性，并用定义证明；
 1  (3)若对任意x− ,1，不等式
 3 
f ( x )  8 x + m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
方法技巧 对数函数性质的综合应用求解策略
1.奇偶性：判断 f ( − x ) 与 f ( x ) 的关系，注意定义域需关于原点对称．
若 l o g
a
( − x ) = − l o g
a
x ，则 f ( x ) = l o g
a
x 非奇非偶（定义域 x  0 不关于原点对称）．
复合函数如 f ( x ) = l o g
a 1
1
+
x
x
，需求求定义域，来验证 f ( − x ) = − f ( x ) （奇函数）．
2.对称性：
若 f(a+x)= f(ax)，则图象关于直线 x = a 对称；
若 f ( a + x ) + f ( a x ) = 2 b ，则图象关于点 ( a , b ) 对称．
 2 
【变式训练12-1变考法】（2026·河南郑州·模拟检测）（多选题）关于函数 f (x)=lg −1，下列说
1−x 
法正确的有（ ）
A． f ( x ) 的定义域为 ( − 1 ,1 ) B． f ( x ) 的函数图象关于y轴对称
C． f ( x ) 的函数图象关于原点对称 D． f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增
【变式训练12-2变载体】（2026·湖南长沙·模拟）已知函数 f(x)=log x+log x(a0且a1)在
a (a+1)
( 0 , +  ) 上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．

0 ,
5
2
− 1 
 (1 , +  ) B．
 5
2
− 1
,1

 (1 , +  ) C．
 5
2
− 1
,1

D． (1 , +  )
【变式训练12-3】 f ( x ) = lo g
a
x ( a  0 , a  1 ) ，若存在x使得 f ( x + 1 ) , f ( a x ) , f ( x + 2 ) 成等差数列，则a的
取值范围为（ ）
A． ( 0 ,1 ) B． ( 1 , +  ) C． ( 1 , 2 ) D． ( 2 , )  +
lnx, 0xe,

【变式训练12-4】已知函数 f(x)= πx 方程 f(x)=k有四个不相等的实数根x,x ,x ,x ，
sin , ex5e, 1 2 3 4

 2e
则x +x +x +x 的取值范围为_______________.
1 2 3 4题型13 指（对）函数的实际应用
例13【新情境】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提
升倍数
函
数
与
基
本
初
第
等
5
函 讲
数 对
数
与
对
数
函
数
14
A 与训练数据量 x （单位： G B ）的关系式为
A = k 1 .5
ln x2 ，其中 k 为常数.当训练数据量为e4GB
时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数 A 达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高
的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：
ln 2  0 .7 , ln 3  1 .1 , ln 1 0  2 .3 ）
A． 1 0 4 ,8 G B B． 1 0 5 .1 G B C． 1 0 5 .4 G B D． 1 0 5 .7 G B
【变式训练13-1·变情境】深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
L = L
0
D
nG
0
（D为常数），其中L表示每一轮优化时使
用的学习率，L 表示初始学习率，
0
D 表示衰减系数， n 表示训练迭代轮数， G
0
表示衰减速度.已知某个
指数衰减的学习率模型中 G
0
= 2 0 ，当 n = 1 0 时，学习率为0.25；当 n = 3 0 时，学习率为0.0625，则学习
率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： lg 2  0 .3 ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【变式训练13-2·变考法】数学中的同构法是将不同的代数式（ 不等式、方程式）通过变形，转化为形
式合构相同 相近的式子，然结通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指
数等混合式子合构的等式 不等式问题.如 y = a e a 与y=blnb（将 b ln b 化为lnbelnb）可以同构为
f ( x ) = x e x .若已知关于a的方程 a e a = e 6 和关于b的方程 b ( ln b 2 ) e 3 1 ( a , b , )   − = −  R 可化为同构方程，则
 = ， ln ( a b ) = .
题型14 反函数
例14-1函数 y = − 2 x − 4 + 2 ( x  2 ) 的反函数是（ ）
A． y =
1
2
x 2 − 2 x − 4 ?( x  2 ) B． y =
1
2
x 2 − 2 x + 4 ?( x  2 )
1 1
C．y= x2−2x−4?(x2) D．y= x2−2x+4?(x2)
2 2
例14-2若函数y= f(x)的图象与y=log x+a的图象关于直线y=x对称，且 f(2)=18，则
3
a = （ ）
A． − 9 B． − lo g
3
2 C． lo g
3
2 D．9
【变式训练14-1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于（ ）
1
A．log x B． C．log x D．2x-2
2 2x 1
2
【变式训练14-2】已知函数y=ax+b（a0且a1）的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．
【变式训练14-3·变考法】（多选）（2026·江苏南京·3月检测）已知函数
函
数
与
基
本
初
第
等
5
讲 函
对 数
数
与
对
数
函
数
15
崇文翰墨
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y = x + e x 的零点为
x
1
, y = x + ln x 的零点为 x
2
，则（ ）
A．x +x 0 B．xx 0
1 2 1 2
C．ex 1 +lnx =0 D．
2
x
1
x
2
− x
1
+ x
2
 1
真题训练
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+)上单调递增的是（ ）
A． f ( x ) = − ln x B． f ( x ) =
1
2 x
C． f ( x ) = −
1
x
D． f ( x ) = 3 |x − 1|
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 f ( x ) =
 −
e
x
x
2
+
−
ln
2
(
a
x
x
+
−
1
a
) ,
,
x
x


0
0
在R上单调递增，则a的取值范围
是（ ）
A． ( −  , 0 ] B．[−1,0] C． [ − 1 ,1 ] D． [ 0 , +  )
3. （2026·天津·高考真题）已知函数 f(x)= lnx ，若a= f(20.3)， b = f ( 3 0 .3 ) ，c= f(3−0.5)，则 a ，
b ，c的大小关系为（ ）
A. abc B. bac C. cba D. cab
4．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小
2 3 5
关系不可能是（ ）
A． x  y  z B． x  z  y
C． y  x  z D．yzx
5．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
T = k lo g
2
N （单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 1 0 6 个单位增加到
1.024109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024109个单位增加到 4 .0 9 6  1 0 9 个单位
时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
1 1 5
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知a1且 − =− ，则a=____________.
log a log 4 2
8 a