文档内容
第 08 讲 对数函数
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用
2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算
2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质
2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题
4.能结合图像与性质解决综合型问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。知识讲解
知识点一.对数的定义
1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logN，
a
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.底数的对数是1，即loga＝1,1的对数是0，即log1＝0.
a a
知识点二．对数函数的定义
1.形如 y ＝ lo g x ( a > 0 ， a ≠1 )的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ( 0 ，＋∞ ) ．
a
2．对数函数的图象与性质
a>1 00且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
a
logx
2.函数y＝logx与y＝ 1(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
a
a
3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
注意：
1．在运算性质logMn＝nlogM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下
a a
应为logMn＝nlog|M|.
a a2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及00时，01
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较
慢;
a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时，y>1;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时，00,n>0,m≠n，则符合条件的一个函数解析式f(x)＝ ．
1.（2023高三上·全国·专题练习）已知f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)=log (x+1)(
a
a>0，且a≠1)，则函数f (x)的解析式是 .2.（2024·河北沧州·模拟预测）直线x=4与函数
f (x)=log
a
x(a>1),g(x)=log
1
x
分别交于A,B两点，
2
且|AB|=3，则函数ℎ(x)=f (x)+g(x)的解析式为（ ）
A．ℎ(x)=−log x B．ℎ(x)=−log x
2 4
C．ℎ(x)=log x D．ℎ(x)=log x
2 4
1
3.（2024·北京东城·一模）设函数f (x)= +1，则（ ）
lnx
(1) (1)
A．f (x)+f =2 B．f (x)−f =2
x x
(1) (1)
C．f (x)f =2 D．f (x)=2f
x x
4.（23-24高三上·北京·阶段练习）定义域为R的函数f (x)同时满足以下两条性质：
①存在x ∈R，使得f (x )≠0；
0 0
②对于任意x∈R，有f (x+1)=2f (x)．
写出满足上述性质的一个增函数f (x)= ．
考点二、 对数函数的求值、求参问题
1.（2024·湖北·模拟预测）已知函数f(x)=¿则f (log 12)=（ ）
2
10 13 35 37
A． B． C． D．
3 3 6 6
2.（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知定义在 R 上的函数f (x)是奇函数，且当 x≥0时，
f (x)=log (x+3)+a，则f (−3)=（ ）
2
A．1 B．−1 C．2 D．−2
1.（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足f (log 3)=−f (log 2)的是（ ）
2 3
1
A．f(x)=1+lnx B．f (x)=x+
x
1
C．f (x)=x− D．f (x)=1−x
x
( (1))
2.（2024·山东济宁·三模）已知函数f (x)=¿，则f f = .
2
a
3.（2024·河北·三模）已知函数f (x)=|lgx|，若f (a)=f (b)(a≠b)，则当2a ⋅3b取得最小值时， =
b．
4.（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=cosx⋅ln(√x2+1−x)+1，若f (m)=3，则f (−m)=
（ ）
A．−1 B．−3 C．−5 D．3
考点 三 、 对数函数的定义域与不等式
lg(10−x2)
1. （2024·青海海南·二模）函数f(x)= 的定义域为（ ）
x
A．(−√10,√10) B．(−∞,−√10)∪(√10,+∞)
C．[−√10,√10] D．(−√10,0)∪(0,√10)
lg(x−1)
2. （23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数f (x)= 的定义域为 ．
√4−x
ln(4−x)
1.（2022高三上·河南·专题练习）函数f (x)= 的定义域为（ ）
sinx⋅√x−1
π π π π
A．(1, )∪( ,4) B．(1,π)∪(π,4) C．[1, )∪( ,4] D．[1,π)∪(π,4]
2 2 2 2
f (x+1)
2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f (x)的定义域为[−2,2]，则函数F(x)= 的定义域为
lg|x|
（ ）
A．[−3,1] B．[−3,0)∪(0,1]
C．(−1,0)∪(0,1)∪(1,3] D．[−3,−1)∪(−1,0)∪(0,1)
1
3.（2024·北京通州·二模）已知函数 f (x)=x2+lg(x−2) 的定义域为 ．
4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数f(x)=lg(4x−2x−2)的定义域为 ．
考点 四 、 对数函数的值域问题
1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为(1,+∞)的是（ ）
1
A．y= B．y=√x+1 C．y=lg(|x|+1) D．y=2x+1
sinx
2.（2024高三·全国·专题练习）函数f (x)=lnx+x,x∈[1,e]的值域为 ．1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数y=log x+ 1 在区间 (1 ,+∞ ) 上的最小值为
3 log (3x) 3
9
.
2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=¿，则f (e+1)= ，函数f (x)的值域为 .
3.（23-24高三上·重庆·期中）已知a>0，函数f (x)=¿当a=2时，f (x)的值域为 ；若不存在x ，
1
x (x ≠x )，使得f (x )=f (x )，则实数a的取值范围是
2 1 2 1 2
4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数f (x)=log x−2log (x+1)值域为 .
2 2
考点 五 、 对数函数的定义域与值域求参问题
1.（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若函数f(x)=log (x2−ax+2a)(a>0)的值域为R，则f(a)
0.5
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−3] B．(−∞,−4] C．[−4,+∞) D．[−3,+∞)
2.（22-23高三·全国·对口高考）若函数y=lg(x2−ax+9)的定义域为R，则a的取值范围为 ；
若函数y=lg(x2−ax+9)的值域为R，则a的取值范围为 .
1.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知f (x)=¿，若函数y=f (x)的值域为R，则实数a的取值范围是
．
2.（2023·全国·模拟预测）若“∀x∈[3,27]，log x≤m”是真命题，则实数m的一个可能取值为
3
．
3.（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为 a，b，则在函数
ax−b−x
f (x)=ln(x2+ax+b)的值域为R的条件下，满足“函数g(x)= 为偶函数”的概率为（ ）
(a+b)x
2 2 3 3
A． B． C． D．
17 19 17 19
考点 六 、 对数函数过定点问题
1.（·山东·高考真题）函数 y=log (x+3)−1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A在直线
a1 2
mx+ny+1=0上，其中m、n>0，则 + 的最小值为 .
m n
2.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数f (x)=log (x+1)+2x (a>0，且a≠1)的图象过定点
a
.
1.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数y=log (x−1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P
a
在幂函数y=f(x)的图象上，则lgf(2)+lgf(5)= .
2.（2023·江西赣州·一模）已知函数y=1+log (2−x)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在圆
a
x2+ y2+mx+m=0外，则符合条件的整数m的取值可以为 .（写出一个值即可）
3.（2023·青海西宁·二模）已知函数y=log (3x−2)+2（a>0且a≠1）的图像过定点 A，若抛物线
a
y2=2px也过点A，则抛物线的准线方程为 .
4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列{a }为等比数列，函数y=log (2x−1)+2的图象过定点
n a
(a ,a )，b =log a ，数列{b }的前n项和为S ，则S 的值为 ．
1 2 n 2 n n n 10
考点 七 、 对数函数的单调性
f (x)=log (−2x2+3x+2)
1.（2022高三·全国·专题练习）函数 1 的单调递减区间为 ．
5
2. （2024·黑龙江·模拟预测）设函数f(x)=ln|x−a|在区间(2,3)上单调递减，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,3] B．(−∞,2] C．[2,+∞) D．[3,+∞)
1. （2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范
围是（ ）
A．a<0 B．−1≤a<0 C．−10且a≠1）在区间 − ,0 内单调递增，则a的
a 2
取值范围是（ ）
[1 ) [3 ) (9 ) ( 9)
A． ,1 B． ,1 C． ,+∞ D． 1,
4 4 4 4
3.（2024·陕西铜川·三模）若函数y=¿在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）( 1) ( 1] [1 1) [1 )
A． 0, B． 0, C． , D． ,1
3 5 5 3 5
考点 八 、 对数函数的图像
1
1.（2024·湖北·模拟预测）函数
f
(x)=ex−ex−lnx2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
lg|x|
2.（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）函数y= 的图像大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
x2+2
1.
（22-23高三上·甘肃平凉·阶段练习）函数y=(x2−1)⋅ln
的部分图象可能是（ ）
2(x2+1)
A． B．C． D．
ln(√x2+1+x)
2.（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数f(x)= 的大致图象为（ ）
√x2+1+x
A． B．
C． D．
xcos2x
3．（2024·四川成都·三模）函数f(x)=
的图象大致是（ ）
ln(x2+1)
A． B．
C． D．
考点 九 、 对数模型实际应用
1. （21-22高三上·江苏扬州·期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄
的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学
家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜
想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为x
π(x)≈ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
lnx
lge≈0.43，计算结果取整数）
A．1079 B．1075 C．434 D．2500
2. （2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传
S
输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C=W log (1+ )，其中S是信道内信号的平
2 N
S
均功率，N是信道内部的高斯噪声功率， 为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.
N
S
若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：lg2≈0.3010)
N
A．10% B．20% C．30% D．40%
1.（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：
在 室 温 25∘C下 ， 某 种 绿 茶 用 85∘C的 水 泡 制 ， 经 过 xmin后 茶 水 的 温 度 为 y∘C， 且
y=k⋅0.9227x+25(x≥0,k∈R).当茶水温度降至60∘C时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为
（ ）
（参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln7≈1.95,ln0.9227≈−0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
2.（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之
间的关系为lgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释
E
放的能量记为E ,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为E ，则比值 1
1 2 E
2
的整数部分为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前
一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（
）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010
）
A．23 B．100 C．150 D．232
考点 十 、 对数函数比较大小
1.（2020·全国·高考真题）若2x−2y<3−x−3−y，则（ ）
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<01 ( 1 1 ) 6 6
2.（2024·湖北武汉·二模）设a= ,b=2ln sin +cos ,c= ln ，则a,b,c的大小关系是
5 10 10 5 5
（ ）
A．aa>c B．b>c>a C．a>b>c D．c>b>a
考点 十一 、 对数函数综合应用
1.（23-24 高三下·江苏·阶段练习）已知函数f (x)=√3sin3x+cos3x,g(x)=2lg(x+1)，则函数
ℎ(x)=f (x)−g(x)的零点个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x)=¿ g(x)=x−3,方程f (g(x))=−3−g(x)有两个不同的
根，分别是x ,x ,则 x +x =（ ）
1 2 1 2
A．0 B．3 C．6 D．9
1.（2024·陕西西安·模拟预测）“0f (2)
C．f (3)f (a)，则实数a的取值范围是（ ）
2
( 5 3 )
A． − +4k,− +4k ，k∈Z B．(−1+4k,4k)，k∈Z
2 2
( 1 1 ) ( 3 1 )
C． − +4k, +4k ，k∈Z D． − +4k, +4k ，k∈Z
2 2 2 2
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数f (x)=3log (√x2+1−x)，正数a,b满足f (a)+f (3b−1)=0，
2
3b+a
则 的最小值为（ ）
ab
A．6 B．8 C．12 D．24
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x−1)，且当
x∈(−2,0)时，f(x)=log (x+3)，则f(2021)−f(2024)=（ ）
2A．1 B．−1 C．1−log 3 D．−1−log 3
2 2
2．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所
了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2008
年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0
级地震的（ ）倍
8 8
A．
7
B． 107 C．101.5 D．104.8
3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提
高计算速度和准确度.已知M={1,3}，N={1,3,5,7}，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则log (xy)为
3
整数的概率为（ ）
1 2 1 4
A． B． C． D．
4 5 2 5
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=log (2−x)的值域为(−∞,1]，则函数f (2x)的定义域
2
为
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=log (√x2+a−x)是奇函数，则a= .
2
6．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=¿，f(a)=2则a= .
2024 2024
[ 1]
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）[x]表示不超过x的最大整数，则∑[lgk]+∑ lg = .
k
k=1 k=1
1 1 1
1．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+ + +⋯+ 已经被研究了几百年，但
2 3 n
是 迄 今 为 止 仍 然 没 有 得 到 它 的 求 和 公 式 ， 只 是 得 到 了 它 的 近 似 公 式 ， 当 n很 大 时 ，
1 1 1
1+ + +⋯+ ≈lnn+γ.其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，γ≈0.577215664901⋯，至今为止都不确定γ
2 3 n
[ 1 1 1 ]
是有理数还是无理数.设[x]表示不超过x的最大整数，用上式计算 1+ + +⋯+ 的值为
2 3 2024
（ ）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=¿是R上的单调函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(0,1) B．(1,√3] C．(1,√3) D．(1,3)
x x
3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数f (x)= −2x(x>1),g(x)= −log x(x>1)的零
x−1 x−1 2
1 1
点分别为α,β，则 + 的值是（ ）
α βA．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·宁夏银川·三模）命题p:00且a≠1)在(−∞,3)
a
上单调，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(2,4)时，
f (x)=1+log x，则f(99)=（ ）
3
1
A．1 B．2 C．− D．－2
2
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知f (x)=x2g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以
为（ ）
1+x2 2
A．g(x)=ln B．g(x)=1−
1−x2 2x+1
C．g(x)=¿ D．g(x)=|x−2|−|x+2|
7．（2024·陕西渭南·二模）已知直线2mx+ny−4=0（m>0，n>0）过函数y=log (x−1)+2（a>0，
a
2 6
且a≠1）的定点T，则 + 的最小值为 .
m n
1．（2024·北京·高考真题）已知(x ,y )，(x ,y )是函数 y=2x的图象上两个不同的点，则
1 1 2 2
（ ）
y + y x +x y + y x +x
A．log 1 2< 1 2 B．log 1 2> 1 2
2 2 2 2 2 2
y + y y + y
C．log 1 2x +x
2 2 1 2 2 2 1 2
1
2．（2020·山东·高考真题）函数f (x)= 的定义域是（ ）
lgx
A．(0,+∞) B．(0,1)∪(1,+∞) C．[0,1)∪(1,+∞) D．(1,+∞)
3．（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（ ）
1 1 1
A．是偶函数，且在( ,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(− , )单调递减
2 2 2
1 1
C．是偶函数，且在(−∞,− )单调递增 D．是奇函数，且在(−∞,− )单调递减
2 2
4．（2020·海南·高考真题）已知函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(2,+∞) B．[2,+∞) C．(5,+∞) D．[5,+∞)5．（2020·全国·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：
K
I(t)= ，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为
1+e−0.23(t−53)
（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
6．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界
直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和lgP的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（ ）
A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态
B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
1
7．（2020·北京·高考真题）函数f(x)= +lnx的定义域是 ．
x+1
