文档内容
第 04 讲 对数与对数函数
（含对数型糖水不等式的应用）
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题
对数函数模型的应用
2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用
对数函数的单调性解不等式
2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无
2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-
6分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊
点
3.熟练掌握对数函数 且 与指数函数 且 的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习知识讲解
1. 对数的运算
（1）对数的定义
ax N(a 0且a 1) x a N a
如果 ，那么把 叫做以 为底， 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底
N
数， 叫做真数
（2）对数的分类
一般对数：底数为a，a0,且a1，记为
常用对数：底数为10，记为lgN ，即：
自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为lnN ，即：
（3）对数的性质与运算法则
①两个基本对数：① ，②
②对数恒等式：① ，② 。
③换底公式： ；
推广1：对数的倒数式
推广2： 。
④积的对数： ；⑤商的对数： ；
⑥幂的对数：❶ ，❷ ，
❸ ，❹
2. 对数函数
（1）对数函数的定义及一般形式
形如： 的函数叫做对数函数
（2）对数函数的图象和性质
a 1 0a1
图
象
定义域：
值域：
性 当 时， 即过定点
质 0 x1 y(,0) x1 y(,0)
当 时， ； 当 时， ；
x1 y(0,) 0 x1 y(0,)
当 时， 当 时，
在 上为增函数 （5）在 上为减函数
3. 对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
考点一、 对数的运算
1．（2024·重庆·三模）已知 ，则 ．2．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．（2024·四川·模拟预测）若实数 ， ， 满足 且 ，则 （ ）
A． B．12 C． D．
1．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
2．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ．
3．（2024·辽宁丹东·一模）若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
考点二、 对数函数的定义域
1．（2024·河南·三模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海海南·二模）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．考点三、 对数函数的图象与性质
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图
象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
2．（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线 （ ， ）过函数 （ ，
且 ）的定点T，则 的最小值为 .
1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ ，y＝log （x＋ ）（a＞0，且
a
a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆上，则 的最小值为 .
考点 四 、 对数函数的单调性
1．（辽宁·高考真题）函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a的
取值范围为 ．
2．（2022高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为 ．
3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 是R上的单调递减函数，则实数a
的取值范围为 ．
考点 五 、 对数函数的值域与最值1．（山东·高考真题）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数 的值域为 ，那么 的取值范围是
.
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数 的最大值为 .
1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
2．（2023高一·全国·课后作业）函数 的值域是 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值
域为 ．
考点 六 、 对数函数中奇偶性的应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是奇函数，则 .
2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数 （m，n为常数）在
上有最大值7，则函数 在 上（ ）
A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若函数 的图象关于点 对称，
则 （ ）
A．-3 B．-2 C． D．1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数 ， 的最大值
为 ，最小值为 ，则 .
2．（2024·宁夏银川·二模）若 是奇函数，则 ．
考点 七 、 对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）A． B．
C． D．
5．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点 八 、 对数型糖水不等式的应用
1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
1. 比较大小: 与 ？
2．（2024·重庆·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．3．（2024·天津滨海新·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 为 上的奇函数，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线 与函数 分别交于 两点，且
，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
8．（2024·湖北·模拟预测）若函数 为偶函数，则 .
9．（2024·吉林·模拟预测）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为
．
10．（2024·四川成都·三模）函数 的图象过原点，且 ，若
，则 .
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·三模）已知 ， ， ， ，则下列大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 ，若 成立，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知 分别满足下列关系： ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 若 ，且 ，则下列关系式一定
成立的为（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若
且 ， ，则 的最小值为 ．
1．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ．
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．66．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
7．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
8．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足 ．已知某
同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
10．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a
