第01讲函数的概念及其表示（2027一轮讲义）（学生）_崇文一轮讲义(2027彩色版)

第 01 讲 函数的概念及其表示
第 函
数
0
1
知识精讲 讲
函
数
知识点 1 函数的概念及其判断 的
概
函数的概念 念
及
非空性 一般地，设A，B是非空的实数集 其
表
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的
示
唯一性
数y和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
自主检测已知集合
1
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
A =  − 1 , 0 , 1  , B =  0 , 1 , 2  ，下列对应关系不能视作函数 f : A → B 的是（ ）
A． f ( x ) = x + 1 B． f ( x ) = x 2 C． f ( x ) = x D． f (x)= x
知识点 2 函数的定义域
函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做
函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
必记结论
几种特殊函数的定义域：
（1）分式函数：
y =
f
g
((
x
x
))
,
定义域是
g
(
x
)
 0
，分母不为0.
（2）0次幂类型：
y =  f ( x )  0 ,
定义域是
f ( x )  0
，底数不为0.
（3）根式类型：
y =2n f ( x ) ,定义域为f ( x ) 0，偶次根式被开方数为非负数.



y =2n+1 f
(
x
)，定义域为R，奇次根式被开方数为R.
（4）对数函数：真数大于0.
✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连
接。自主检测（2026·北京模拟预测）函数 的定义域为__________.
知识点 3 同一个函数
第 函 （1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
0 数
1 （2）结论：这两个函数为同一个函数.
讲
自主检测下列各组函数表示同一函数的是（ ）
函
数
概 A．
念
及
其
表
示
2
f ( x ) = x 2 ， g ( x ) = ( x ) 2 B． f ( x ) = 1 ， g ( x ) = x 0
x,x0
C． f (x)= ，
−x,x0
g ( t ) = t D． f ( x ) = x + 1
x2−1
，g(x)=
x−1
知识点 4 函数的表示方法
解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域)
列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特
列表法
征)
用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函
图象法
数图象最多有一个公共点)
自主检测若函数 ，且 ，则实数a的值为 .
知识点 5 分段函数
（1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来
表示，这种函数称为分段函数.
（2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域
的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
自主检测（2026·重庆渝中模拟）已知函数 f ( x ) =
 lo
2
g
x
2
−
x
1
，
，
x
x


2
2
，则 f ( f ( e ) ) = （ ）
A．ln2 B．1 C． e − 1 D． lo g
2
e − 1
题型突破
题型 1 函数的概念及其判断
例1-1下列图象中，可以表示函数的为（ ）
f ( x ) = x + 1 +
3
x 2
 1 1
f x− =x2+ f(a)=8
 x x2A． B． C． D．
例1-2下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（ ） 第 函
数
0
1 A． B． 讲
函 C． D．
数
的
方法技巧 利用函数概念判断 概
念
（1）A，B是非空的实数集. 及
其
（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数
表
示
集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.
【变式训练1-1】设集合
3
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
P =  x 0  x  4  , Q =  y 0  y  4  ，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关
系的有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 中， y 是 x 的函数的是（ ）
A． A = B = R ，对应关系 f : x → y =
1
x 2
B． A B  0 , )  = = + ，对应关系 f : x → y = x
C． A = B = R ，对应关系 f :x→y= x D． A = B = R ，对应关系 f : x → y 2 = x
【变式训练1-3变考法】（2026·浙江宁波模拟）已知集合 ， f ( x ) 是 的函数，且满
足 ，则这样的函数 的个数为（ ）
A．31 B．33 C．41 D．133
【变式训练1-4变载体】存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B． C． D．
题型 2 相同函数的判定
例2-1下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
例2-2【新情境】中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出
的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变
A
A
=
=
R

,
∣x
B
x
=


0
∣y
 ,
y
B

=
0
R
 ,
,
f
f
:
:
x
x
→
→
y
y 2
=
= x
x A = R , B =  ∣y y  0  , f : x → y = | x |
A=R,B=1, f :x→y=1
M =1，2，3，4，5 M →M
f ( f ( x ) ) = 1 f (x)
f
f
(
(
x
x
2
)
)
=
= x
2 x
x −
− 2
2
f ( s in x )
f
=
(
x
x )
f ( e
x
x

+ e
R
− x ) = x f ( e x − e − x ) = x
f (x)=x+ 2
f ( x ) = x 2 f ( x ) = x
f
f
( x
( x
)
)
=
=
1
2
3
lo
(
g
x
3
−
x
1
2
) 3
f (
f
x
(
)
x
=
)
lo
=
g
x
3
−
x
1化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．
第 函
0 数
1
讲
函
数
概
念
及
其
表
示
4
f ( x ) = x 2 ， g ( x ) = x B． f ( x ) = x + 1 ， g ( x ) =

−
x
x
+
−
， 1
， 1
x
x


− 1
− 1
C． f ( x ) =
x
x
2 −
+
4
2
， g ( x ) = x − 2 D． f (x)=1和g(x)=x0
方法技巧 判断两个函数为同一函数的关注点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不
一定是同一个函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
【变式训练2-1】（多选）下列函数中，与函数 f ( x ) = x 是同一个函数的有（ ）
A． y = ( x ) 2 B． y = 3 x 3 C． y = x 2 D． y =
x
x
3
2
+
+
x
1
【变式训练2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A． y =
| x
x
|
与y=1 B． y = ( x − 1 ) 2 与 y = x − 1
x2 x3+x
C．y= 与y=x D．y= 与y=x
x x2+1
【变式训练2-3】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【变式训练2-4·变载体】（25-26高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是
（ ）
A． f ( x ) = e ln x , g ( x ) = x B． f ( x ) =
x
x
2 −
+
4
2
, g ( x ) = x − 2
x2+x
f(x)=
x+1
sin2x
C． f (x)= ,g(x)=sinx D． f (x)= x,g(x)= x2
2cosx
【变式训练2-5·变载体】下列各组函数是同一函数的是（ ）
g ( x ) = x − 1 f ( x ) = 2 | x | g ( x ) = 4 x 2
f(x)= x2 g ( x ) = ( x ) 2 y= x+1 x−1 y= x2−1A．
第 函
数 0
1
讲
函
数
的
概
念
及
其
表
示
5
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
y =
x
x
与 y =  1 B． y =
x 2 +
x
3
+
x
1
+ 2
与 y = x + 2
C． y =
s i n 2
s
x
i n
+
x
2
+
s i
2
n x
与 y = s in x D． y =
ln ( x
2
+ 1 ) 2
与 y = ln ( x + 1 )
题型 3 已知函数解析式求定义域
例3-1下列函数中，定义域为 1 , +  ) 的是（ ）
A． f ( x ) = x + 1 B． f ( x ) = 2 x − 1
C． f ( x ) = ln ( x − 1 ) D． f ( x ) =
x
x
+
−
1
1
例3-2（2026·北京模拟）函数 f ( x ) = x + 1 +
3
x 2
的定义域为______________.
例3-3（25-26高三上·北京期中测试）函数 f ( x ) =
( x +
1 −
1 )
x
0
的定义域为 ______________.
例3-4（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数 f (x)= 1−x+lnx的定义域是（ ）
A． ( −  ,1  B． 1 , +  ) C． ( 0 ,1  D． ( 0 , )  +
【变式训练3-1·变考法】（2026·贵州贵阳·二模）已知集合 A =  x  ∣Z − 1  x  3  ， B =

x | y =
1 −
x
x 
，
则 A B = （ ）
A． [ − 1 ,1 ] B．[−1,0)(0,1] C． { − 1 , 0 ,1 } D．{−1,1}
【变式训练3-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 f ( x ) =
1 −
1
lg x
的定义域为（ ）
A． ( 0 , )  + B． ( 0 ,1 0 ) C． ( 1 0 , )  + D．(0,10)(10,+)
【变式训练3-3】（2026·北京朝阳·一模）函数 f ( x ) =
1
1
− x
+ lo g
3
x 的定义域为______________.
1
【变式训练3-4】函数y= 4−x2 + 的定义域为______________.
lg(2x−3)
【变式训练3-5】函数 f ( x ) =
ln
x( −
x
2
+ 1 )
的定义域为______________.
题型 4 求抽象函数的定义域
例4-1已知函数 f (x)的定义域为[−3,3]，则函数 g ( x ) =
f (
x
x
+
+
2
2 )
的定义域为______________.
例4-2已知函数y= f ( x2−1 ) 的定义域为−2,2，则函数y= f (x)的定义域为 ，函数y= f (x+1)的
定义域为 ．例4-3（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数
第 函
0 数
1
讲
函
数
概
念
及
其
表
示
6
f ( x − 1 ) 的定义域为  0 , 3  ，则函数 f ( 2 x − 1 ) 的定义域为
（ ）
A．  − 3 , 3  B．

0 ,
3
2

C． 1 , 7  D．

1 ,
5
2

方法技巧 抽象函数的定义域求法
（1）若 f ( x ) 的定义域为 ( a ， b ) ，求 f [ g ( x ) ] 中ag(x)b的解x的范围，即为 f[g(x)]的定义域．
（2）已知 f [ g ( x ) ] 的定义域，求 f(x)的定义域，则用换元法求解.
【变式训练4-1】已知函数 f ( x ) 的定义域为 ( − 1 , 2 ) ，则函数 g ( x ) =
f ( x
x
−
−
1
1
)
的定义域为（ ）
A． ( − 1 ,1 ) B．  1  C． ( 1 , 3 ) D． ( − 1 , 3 )
【变式训练4-2·变载体】已知函数 f x 2 2 x 2 的定义域为0,3，求函数 f (x)的定义域为
_______________.
【变式训练4-3·变载体】已知函数 y = f ( x ) 的定义域为  0 , 4  ，则函数 y =
f ( x
x
+
−
1
1
)
+ ( x − 2 ) 0 的定义域是
______________.
【变式训练4-4·变载体】已知函数 f (x)的定义域为  − 1 ,1 
f (x+1)
，则y= 的定义域为
x2−2x−3
______________.
【变式训练4-5·变载体】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数 f (x)的定义域是
 1
2
, 2

，则函数
f (log (2x−1))
y= 4 的定义域是__________．
8−x2−2x
题型 5 已知函数的定义域求参数
例5-1已知函数 f ( x ) =
a x
52 x
+
+
2 a
7
x + 1
的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B． ( −  , 0 )  (1 , +  )
C．  0 ,1 ) D．(-，01，+)
例5-2（2026高三上·广东梅州·模拟测试）已知函数 f ( x ) = m x 2 + m x + 1 的定义域是R，则m的取值范
围是（ ）
A．(0,4 B．0,4) C．4,+) D．  0 , 4 
1
例5-3（25-26高三上·江苏无锡·阶段测试）若函数 f (x)= 定义域为R，则k的取值范围
−kx2−2kx+3
为（ ）A．
第 函
数 0 1
讲
函
数
的
概
念
及
其
表
示
7
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
− 3  k  0 B． − 3  k  0 C． − 3  k  0 D． − 3  k  0
【变式训练5-1·变题型】已知函数 f ( x ) =
( a − 1 ) x 2 +
1(
a − 1 ) x + 2
的定义域是 R ，则 a 的取值范围是
（ ）
A． ( 1 , 9 ) B． ( 1 , 8 ) C． 1 , 9 ) D． 1 , 8 )
【变式训练5-2·变载体】已知函数 f(x)=log ( x2+ax+1 ) 的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
a
题型 6 配方法求函数的值域
例6 函数 f(x)=3+2x−x2(−2x3)的值域是______________.
【变式6-1】函数y=−x2+2x+3(0x3)的值域______________.
【变式6-2·变载体】函数 y = x + 1 − 2 x 的最大值为______________.
题型 7 判别式法求函数的值域
例7【新思维】已知 a , b  R ，且 a 2 + b 2 + a b = 1 ，则b的取值范围是______________.
x+1
【变式7-1】函数y= 的最大值为 ．
x2+8
【变式7-2·变考法】设实数x，y，z满足

4 z
x
2
+
−
y
x y
−
−
2
1
z
4
+
z
1
+
=
1 4
0
= 0
，则x2+y2的最大值是 ；最小值
是 ．
题型 8 基本不等式法求函数的值域
x2+4
例8 函数y= 的最大值为______________.
x2+5
x−1 x
【变式8-1】函数 f (x)= + 的值域为 ．
x−1 x−1
【变式8-2·原创题】已知 f ( x ) 满足 f(x−y)f(y)=2f (x), f (x)0，且 f (1)=4，则 f ( 2 − x ) + f ( x ) 的值
域为
题型 9 分离常数法求函数的值域
例9 f ( x ) =
x 2 −
x
x
− 1
− 1
， x  [ 2 , 3 ] ，则 f ( x ) 的值域为______________.
2x2−3x+5 3 
【变式9-1】函数y= 在x

,3

上的最大值为 ；最小值为 ．
x−1 2 
x2−4x+3
【变式9-2】函数y= 的值域是______________.
x2−1
题型 10 换元法求函数的值域例10【新思维】若
第 函
0 数
1
讲
函
数
概
念
及
其
表
示
8
y = x − 4 + 1 8 − 3 x ，则 y 的取值范围是______________.
【变式10-1】函数 y = 1 + x − 1 − 2 x 的值域为______________.
【变式10-2】【新角度】已知 f ( x ) =
1 0 −
s
2
in
c2 o
2
s
x
2 x
且 x 

0 ,
π
2

，则 f ( x ) 的最小值为______________.
【变式10-3·变考法】已知函数 f ( x ) = lo g
0 .3
x ， x   0 .0 2 7 , 0 .3  ，则函数 g ( x ) =
 f ( x )  2
f
−
( x
f
)
( x ) − 3
的值域
为______________.
题型 11 图象法求函数的值域
例11-1【新思维】函数y= 3x− 8+2x−x2 的值域为______________.
例11-2【新角度】给定函数 f ( x ) = x 2 − 2 , g ( x ) = −
1
2
x + 1 ，用 M ( x ) 表示函数 f (x),g(x)中的较大者，
即 M ( x ) = m a x  f ( x ) , g ( x ) ，则 M ( x ) 的最小值为______________.
【变式11-1】函数 y = x − 2 − x + 1 的最大值为______________.
【变式11-2·原创题】定义 m in  a , b , c  为 a , b , c 中的最小值，则 m in { 2 x + 1 , 3 − x , 2 −
x
2
} 的最大值
为 .
题型 12 待定系数法求解析式
例12-1一次函数 f ( x ) 在R上单调递增，且 f ( f ( x − 1 ) ) = 4 x + 5 ，则 f ( x ) = ______________.
例12-2已知函数 f ( x ) 为二次函数， f ( x ) 的图象过点 ( 0 , 2 ) ，对称轴为 x = −
1
2
，函数 f (x)在R上最小
值为
7
4
，则 f ( x ) 的解析式为______________.
【变式训练12-1】（2026高三·全国·专题练习）已知 f (x)是一次函数， f ( f ( x ) ) = 9 x − 4 ，且 f (0)0，
函数 g ( x ) 满足 g ( f ( x ) ) = 9 x 2 ，则（ ）
A． f (x)=−3x+2 B． f (x)=3x+1
C． g ( x ) = x 2 − 4 x + 2 D．g(x)=x2−2x+1
【变式训练12-2】已知函数 f ( x ) 对任意x满足： 3 f ( x ) − f ( 2 − x ) = 4 x ，二次函数g(x)满足：
g ( x + 2 ) − g ( x ) = 4 x 且g(1)=−4．则 f ( x ) = ，g(x)= .
【变式训练12-3·变考法】设二次函数 f ( x ) 满足 f(x−2)= f(−x−2)，且其图象在 y 轴上的截距为1，在
x轴上截得的线段长为 2，则 f(x)的解析式为______________.题型 13 换元法求解析式
例13-1（2026·河北唐山模拟）已知函数
第 函
数 0 1
讲
函
数
的
概
念
及
其
表
示
9
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( 1 − x ) =
1 −
x
x
2
2
( x  0 ) ，则 f ( x ) = （ ）
A． ( x
1
− 1 ) 2 − 1 ( x  0 ) B． ( x
1
− 1 ) 2 − 1 ( x  1 )
C．
( x
4
− 1 ) 2
− 1 ( x  0 )
4
D． −1(x1)
(x−1)2
( ) 例13-2（2026届·河南郑州·11月检测）已知函数 f x+1 =x，则函数 f ( x ) 的解析式为（ ）
A． f (x)=(x−1)2(x0) B． f (x)=(x+1)2(x0)
C． f (x)=(x−1)2(x1) D． f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x  1 )
【变式训练13-1】（2026高三·全国·专题练习）若函数 f
 x −
x
1 
=
1
x 2
−
2
x
+ 1 ，则 f ( x ) = （ ）
A．
1
x 2
B．
1
x 2
( x  1 ) C． x 2 D． x 2 ( x  1 )
【变式训练13-2】（25-26高三上·重庆·期中测试）已知 f ( x 2 + 1 ) = x 4 + 2 x 2 − 1 ，则函数 f ( x ) 的解析式为
（ ）
A． f x x 2 2 B． f ( x ) = x 2 − 2 ( x  1 )
C． f ( x ) = x 2 + 2 D． f ( x ) = x 2 + 2 ( x  1 )
【变式训练13-3】【新角度】已知函数 f ( x ) 在 R 上具有单调性，且 f ( f ( x ) + 3 − x ) = − 4 ，则
f ( − 2 ) = .
题型 14 方程组法求解析式
例14-1若函数 f (x)满足 f ( x ) − 2 f
 1
x

= x + 2 ，则 f ( x ) = _______________.
例14-2已知函数 f ( x ) 满足 2 f
 x +
x
1 
− f
 x −
x
1 
= x ，则 f (x)=_______________.
例14-3【新思维】（2026·辽宁锦州·二模） f (x)是定义在 R 上的函数，满足2f (x)+ f ( x2−1 ) =1对
xR都成立，则 f
(
− 2
)
= （ ）
A． 0 B．
1
3
1
C． D．
2
1
【变式训练14-1】已知 f (x)+2f (−x)=x2+2x，则 f (x) = _______________.
 1 
【变式训练14-2】已知函数 f (x)满足 f (x)+ f  =1+x，则 f (x)=_______________.
1−x【变式训练14-3】【新考法】设函数 f (x)的定义域为
第 函
0 数
1
讲
函
数
概
念
及
其
表
示
10
( 0 , )  + ，且满足 f ( x ) − 2 x f
 1
x

+ x 2 = 0 ，则 f ( x )
的最小值为_____.
题型 15 求函数的值
x 
例15-1已知 f  −1=2x+3，则 f(6)=（ ）
2 
A．31 B．17 C．15 D．7
例15-2【新考法】已知函数 f ( x ) =
1 −
1
x
 1   1   1  ，则 f   f   f  =（ ）
22  32 92
A．
9
2
B．5 C．9 D．10
例15-3【新思维】定义在 R 上的函数 f ( x )
x 1
满足 f (0)=0, f (x)=2− f (3−x), f  = f (x)，且当
3 2
0  x
1
 x
2
 1 时， f ( x
1
)  f ( x
2
) ，则 f

6
1
6 6

等于（ ）
A．
1
3 2
B．
1
6 4
C．
1
1
2 8
D．
2
1
5 6
【变式训练15-1·变考法】已知定义在 R 上函数 f (x)满足 f ( x
1
+ x
2
) = f ( x
1
) f ( x
2
)
1
，若 f 1 ，则
4
f (4)=（ ）
A．1 B．16 C．128 D．256
【变式训练15-2·原创题】已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足对于任意实数x，y均有 f ( x y ) = y f ( x ) ，且
2 f ( 2 ) = f ( 1 ) + 6 ，则 f (2027)=（ ）
A．677 B．1354 C．2027 D．4054
【变式训练15-3·原创题】已知定义在正整数集上的函数 f (x)满足 f ( x + f ( y ) ) = f ( x ) + y ，且有
f ( 1 + f ( 1 ) ) = 2 ，则（ ）
A． f ( 2 0 2 6 )  2 0 2 6 B． f ( 2 0 2 7 )  2 0 2 7
C． f (2027)2026 D． f (2026)2027
题型 16 已知函数值求参数
例16-1已知函数 f ( x ) = lo g
2
( x 2 + a ) ，若 f (3)=1，则 a = ．
例16-2【新考法】已知 f (x)是定义域为R的单调递增函数，且存在函数g(x)，使 f ( g ( x ) ) = 2 x − 1 ，若
x,x 分别为方程 f (x)+2x=7和g(x)+x=4的根，则x +x =（ ）
1 2 1 2A．8 B．4 C．
第 函
数 0
1
讲
函
数
的
概
念
及
其
表
示
11
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
− 4 D． − 8
【变式训练16-1】已知函数 f ( 2 x − 1 ) = x 2 − x + 1 ( x  0 ) ， f (a)=1，则实数 a = （ ）
A．1 B． − 1 C．  1 D．0或1
【变式训练16-2】设 f ( x ) =
x
x
+
−
1
1
， f (a)=2+ f (log 3)，则
2
a = （ ）
A．2+log 2 B．2+log 3 C．2−log 2 D．2−log 3
3 2 3 2
题型 17 求分段函数的函数值
例17-1（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 f ( x ) =
 lo
1
3
g
x
2
, x
x ,

x
0
 0
 1
，则 f  f   =（ ）
 2
A． − 1 B． −
2
3
C．2 D．3
例17-2（2026·河北保定·二模）已知函数 f ( x ) =

f

x −
c o
π
4
s

x ,
+
x
1
2

,
0
x  0
，则 f
 π
2

= ______________．
方法技巧 分段函数值的求法
（1）分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
（2）函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【变式训练17-1】设 f ( x ) =
 f
2
(
x
f
−
(
1
x
5 ,
+
x
5

) )
1
,
0
x  1 0
，则 f ( 9 ) 的值为（ ）
A．9 B．11 C．28 D．14
【变式训练17-2】已知函数 f ( x ) =
 3
f
x ,
(
x
x

−
2
2 ) , x  2
 9
，则 f  f  = .
 2
【变式训练17-3】【新考法】（多选）已知定义在1,+)上的函数 f ( x ) =

1
2
−
f
2

x
x
2
−

,
3
2
x
,1


2
x  2
，则下列结
论正确的是（ ）
A． f ( 4 ) = 0 B． f ( 5 ) = 2
C． f (100)100 D．函数 f (x)的值域为0,+)
题型 18 利用分段函数的值求参数
例18-1（2026·河北石家庄·一模）已知函数 f (x)=


x,x0
，若 f (2a)= f (2a+8)，则 f ( f (−6)) =
−x+a,x0（ ）
A．1 B．2 C．
第 函
0 数
1
讲
函
数
概
念
及
其
表
示
12
5
2
D．
3
2
2
例18-2已知函数 f ( x ) =
 x
x
2
+
−
3
4
,
x
x
+

3
0
, x  0
，若 f(a)=3，则实数a的值为__________．
【变式训练18-1】（2026·贵州毕节·二模）设函数 f ( x ) =
 x 3 +
lo g
12
1 , x
( x −

1
1
) , x  1
，若 f ( x ) = − 3 ，则 f ( x − 8 ) =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练18-2·变考法】已知函数 f ( x ) =
 a
f
x
(
+
x
ln
+
x
1
,
)
x
, x


0 ,
0 ,
若 f ( − 2 0 2 6 ) = a 2 − 2 ，a0，则 a = ______.
【变式训练18-3·变题型】（多选）已知函数 f ( x ) =
 x
x
+
2
3
−
,
4
x
x

+
a
3 , x  a
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 a = 0 时，不等式 f ( x )  0 的解集为 ( − 3 ,1 ) ( 3 , +  )
B．若函数 f(x)为R上的增函数，则实数 a 的取值范围是 ( 5 , +  )
C．若函数 f(x)的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 [ − 4 , 5 ]
D．若函数 f ( x ) 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ( −  , − 3 ] (1 , 3 ]
题型 19 解分段函数不等式
例19-1（2026·河北承德模拟检测）已知函数 f ( x ) =
 e
1
−
−
x −
x e
1
,
,
x
x


0
0
,
,
则 f (2x)+ f (x−3)0的解集是
（ ）
A． ( −  ,1 ) B． ( 1 , +  ) C． ( −  , − 3 ) D．(−3,+)
例19-2（2026·湖北黄冈阶段性检测）已知函数 f ( x ) =
 x
ln
2 −
x
2
−
x , x
1 , x


1 ,
1 ,
1
，则不等式 f (x) x−1的解集为
2
（ ）
 1
A．−,

B．
 2
( −  ,1  C． ( 0 , 2  D．  2 , +  )
方法技巧 求解分段函数不等式的方法
（1）求解分段函数不等式，需要对x分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.
（2）在同一坐标轴中画 f(x)的图象，虚线 y = a ，则函数 f(x)图象在虚线 y=a及以上的部分中x的取
( )
值范围，即不等式 f x a 的解集，从而得答案.【变式训练19-1·原创题】已知函数
第 函
数 0
1 讲
函
数
的
概
念
及
其
表
示
13
2027 新高考数学一轮总复习 崇文翰墨
f ( x ) =
 2
lo
x
g
−
3
1
( x
, x
+

1 )
0
,
,
x  0 ,
则不等式 f ( x ) ≤ 1 的解集为（ ）
A．  0 , 2  B．  0 ,1  C． ( −  , 2  D． ( −  ,1 
【变式训练19-2·变考法】（多选）已知函数 f ( x ) =

−
x
x
+
2
2
+
,
3
x
,

x
1
 1
，关于函数 f (x)的结论正确的是
（ ）
A． f (1 ) = 3 B． f ( 0 ) = 2
C．若 f ( x ) = − 1 ，则 x = 2 D． f ( x )  2 的解集为 ( −  , 0 )  ( 1 , +  )
【变式训练19-3·变题型】已知函数 f ( x ) =
 lo
−
g
x
2
( x + 1 )
,
,
x
x


1
1
则不等式 f ( 1 + x ) + f ( 1 − x )  3 的解集
为 ．
真题训练
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 f ( x ) 的定义域为R， f ( x )  f ( x − 1 ) + f ( x − 2 ) ，且当 x  3 时
f ( x ) = x ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f (1 0 )  1 0 0 B． f ( 2 0 )  1 0 0 0
C． f (1 0 )  1 0 0 0 D． f ( 2 0 )  1 0 0 0 0
2．（2022·北京·高考真题）函数 f ( x ) =
1
x
+ 1 − x 的定义域是 ．
2x,x0
3．（2023·上海·高考真题）已知 f (x)= ，则
1,x0
f ( x ) 的值域是 ；
4．（2023·北京·高考真题）已知函数 f(x)=4x+log x，则
2
f
 1
2

= ．
−x2+2, x1,
  1
5．（2022·浙江·高考真题）已知函数 f (x)= 1 则 f  f  = ；若当
x+ −1, x1,  2
 x
x  [ a , b ] 时，
1 f(x)3，则b−a的最大值是 ．