文档内容
第 01 讲 数列的概念及其表示
（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求直线与双曲线的交点坐标
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列
向量夹角的坐标表示
2024年全国甲卷，第18题,12分 利用an与sn关系求通项 错位相减法求和
2023年全国甲卷（理科），
错位相减法求和
利用 与 关系求通项或项
第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用 与 关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分
裂项相消法求和
累乘法求数列通项
2022年全国甲卷（理科），
求数列最值
利用 与 关系求通项或项
第17题,10分
2022年全国乙卷（理科），
判断数列单调性 数学新文化
第4题,5分
2021年全国甲卷（理科），
判断数列单调性 充分条件与必要条件
第7题,10分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用 与 的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用 与 关系求通项或项及通项公式构造的相
关应用，需综合复习知识讲解
1．数列的有关概念
概念 含义
数列的定义 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
数列{a}的第n项a 与n之间的关系能用公式a＝f(n)表示，这个公式叫做数列的
n n n
通项公式
通项公式
前n项和 数列{a}中，S＝a＋a＋…＋a 叫做数列的前n项和
n n 1 2 n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项间的大 递减数列 a ＜a 其中n∈N*
n＋1 n
小关系 常数列 a ＝a
n＋1 n
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3. 数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点(n，a)画在平面直角坐标系中
n
通项
把数列的通项使用公式表示的方法
公式
公式法
递推
使用初始值a 和a ＝f(a)或a，a 和a ＝f(a，a )等表示数列的方法
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
公式
4．若数列{a}的前n项和为S，通项公式为a，则a＝
n n n n
（1）已知S 求a 的三个步骤
n n
(1)先利用a＝S 求出a.
1 1 1
(2)用n－1替换S 中的n得到一个新的关系，利用a＝S－S (n≥2)便可求出当n≥2时a 的表达式．
n n n n－1 n
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
（2）S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
5．在数列{a}中，若a 最大，则若a 最小，则
n n n
6. 根据形如a ＝a ＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出 a －a 与n的
n＋1 n n 1
关系式，进而得到a 的通项公式．
n
7. 根据形如a ＝a·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，
n＋1 n
进而得到a 的通项公式．
n
8.形如a ＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式
n＋1
求通项．
9.根据形如a ＝pa ＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{a ＋x}，即将原递
n＋1 n n
推关系式化为a ＋x＝p(a＋x)的形式，再求出数列{a＋x}的通项公式，最后求{a}的通项公式．
n＋1 n n n
10. 数列的周期性
对于无穷数列 ,如果存在一个正整数 ,对于任意正整数 恒有 成立,则称 是周期为
的周期数列. 的最小值称为最小正周期,简称周期.
考点一、 数列周期性的应用
1．（湖南·高考真题）已知数列 满足 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
2．（2024·山东济宁·三模）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，满足
，则数列 的前2024项的和为 ．
6．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，数列 的首项为1，且满足 ．
若 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
3．（2024·山东滨州·二模）已知函数 ，数列 满足 ， ，
，则 ．
考点二、 数列单调性的应用
1．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太
阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．2．（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ，则“ ”是 是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ， 单调递增，则
的取值范围为 .
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等比数列 是递减数列，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西汉中·二模）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，数列 的前n项积为
且 ，下列说法错误的是（ ）
A． B． 为递减数列
C． D．
1．（2024·北京东城·一模）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 是递减数列，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ， ，若数列 是递增
数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
考点三、 用与的关系求通项或项
1．（2024·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·全国·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
3．（2023·全国·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
4．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
2．（2024·四川自贡·三模）已知数列 的前项和为 ，且 ．(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
4．（2024·全国·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 .
考点 四 、 累加法求数列通项公式
1．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 满足 ， （ ）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
2．（全国·高考真题）已知数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
3．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，求 ．
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ．(1)求 的通项公式；
(2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 , 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
考点 五 、 累乘法求数列通项公式
1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
2．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
1．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，有 ，
且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的
前91项和.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 （常数 ），数列 的前 项和为 ，且
．(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．
考点 六 、 递推数列构造等差数列
1．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ，且 ，其中 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知数列 满足 ，且对任意 都有
.
(1)设 ，证明： 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2024·山东青岛·二模）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.考点 七 、 递推数列构造等比数列
1．（重庆·高考真题）数列 中，若 =1， =2 +3 （n≥1），则该数列的通项 =
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ．求证： ．
3．（四川·高考真题）设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)证明：当 时， 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
1．（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
2．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
3．（23-24高三上·重庆·期中）设数列 的前 项之积为 ，满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前 项之和为 ，证明： .一、单选题
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 各项均为正数， ，且有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列 的首项 ，则（ ）
A． 为等差数列 B．
C． 为递增数列 D． 的前20项和为10
三、填空题
4．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ，则
.
四、解答题
5．（2024·四川雅安·三模）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
6．（2024·山西·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
7．（2024·河北沧州·三模）已知数列 满足 ， ， .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
8．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
9．9．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，则当 取最小值时，求 的值．
10．（2024·河北保定·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·三模）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列 的前 项和为 ， ，若 对任意的 恒成
立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·一模）已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）A．当 时， B．当 时，数列 是常数列
C．当 时， D．当 时，数列 单调递减
三、填空题
4．（2024·浙江绍兴·三模）记 为正项数列 的前 项积，已知 ，则 ；
．
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则
的最小值为 ．
四、解答题
6．（2024·山东·模拟预测）设数列 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
7．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
8．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
9．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求k的取值范围.
10．（2024·四川成都·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)若 ，证明： 是等比数列；
(2)若 是 和 的等差中项，设 ，求数列 的前n项和为 ．1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
5．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
6．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
7．（2020·全国·高考真题）数列 满足 ，前16项和为540，则 .8．（2018·全国·高考真题）已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
9．（2016·全国·高考真题）已知数列 的前n项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
10．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
