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第 6 讲 函数的概念及其表示
知识点目录
【知识点1】函数的概念..........................................................2
【知识点2】函数的解析式........................................................3
【知识点3】分段函数............................................................4
基础知识
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应
关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的
一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相
同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
第1页 共5页定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点1
知识点
【知识点1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二
个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
典型例题
例1：
【例1】（2025•五华区校级模拟）已知集合 ， ，下列对应关系能构成函数
的是
A． ， B． ， C． ， D．
，
【例2】（2023•青羊区校级模拟）给出下列4个函数，其中对于任意 均成立的是
A． B．
C． D．
【例3】（2025•广东模拟）函数 的定义域为
第2页 共5页A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ，
【例4】（2025•扬州校级模拟）已知函数 的定义域为 ， ，则函数 的定
义域为
A． ， B． ，
C． D．
【例5】（2025•泉州模拟）函数 的值域为
A． ， B． ， C． D． ，
知识点2
知识点
【知识点2】函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
典型例题
例1：
【例6】（2025•台湾四模）若 为二次函数且 ， ，则 的解
析式为 ．
第3页 共5页【 例 7 】 （ 2025• 重 庆 模 拟 ） 设 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ： ， 都 有
且 为常数），则函数 ．
【 例 8 】 （ 2025• 河 北 模 拟 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足
，且 ，试写出一个满足上述条件的 的解析式：
．
【例 9】（2025•昆明模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当且仅当 时，
，则当 时， 的解析式为 ．
【例10】（2024•怀仁市校级四模）已知集合 ， ， ，函数
，若函数 满足：对任意 ，存在 ， ，使得 ，则
的解析式可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
知识点3
知识点
【知识点3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
第4页 共5页切记要代入检验．
典型例题
例1：
【例11】（2024•罗山县二模）若 ，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．
【例 12】（2022•上虞区模拟）设函数 ，则 （1） ，若
（a） ，则实数 的取值范围是 ．
【例13】（2020•西城区校级模拟）函数 ，满足 的 的取值范围
A． B． C． 或 D． 或
【例14】（2020•宝鸡二模）若 ，则 （3） ．
【 例 15 】 （ 2021• 市 中 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 数 列 满 足
，且 是递增数列，则实数 的取值范围是 ．
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